SKKN: Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn

Đề tài này hẳn là đã có một số tác giả nghiên cứu. Song, điểm mới của đề tài này đó là vận dụng được nhiều phương pháp khác nhau, phân loại được các dạng toán tìm nghiệm nguyên, đề tài sử dụng một số bài toán thi học sinh giỏi cấp huyện và một số bài toán trên trang Violympic.vn.

Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy mảng kiến thức

“phương trình nghiệm nguyên” là một đề tài lý thú của Số học và Đại số Nội

dung này đã lôi cuốn nhiều người, từ các học sinh nhỏ đến các chuyên gia toánhọc lớn Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên mãi mãi còn là đối tượngnghiên cứu của Toán học

Ngoài phương trình bậc nhất hai ẩn, các bài toán tìm nghiệm nguyênthường không có quy tắc giải tổng quát Mỗi bài toán với số liệu riêng của nóđòi hỏi một cách giải riêng phù hợp Điều đó có tác dụng rèn luyện tư duy toánhọc mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo Chính vì thế mà các bài toán tìm nghiệmnguyên thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi về Toán ở tất cả các cấp

Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán các khối 6; 7 và bồidưỡng giải toán qua mạng lớp 9, tôi thấy có nhiều bài tập về chủ đề phươngtrình nghiệm nguyên khiến nhiều em học sinh gặp không ít khó khăn vì khôngnắm rõ các dạng cũng như các phương pháp giải chúng Vì vậy, tôi nghiên cứu

đề tài ‘‘Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn" nhằm hướng dẫn các em học sinh khá giỏi có thể nắm chắc và giải tốt

các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

* Điểm mới của đề tài

Đề tài này hẳn là đã có một số tác giả nghiên cứu Song, điểm mới của đềtài này đó là vận dụng được nhiều phương pháp khác nhau, phân loại được cácdạng toán tìm nghiệm nguyên, đề tài sử dụng một số bài toán thi học sinh giỏicấp huyện và một số bài toán trên trang Violympic.vn Để phù hợp với đốitượng học sinh, trong đề tài này tôi chỉ đề cập đến một số phương pháp cơ bản

và một số dạng toán cơ bản về chủ đề phương trình nghiệm nguyên hai ẩn.Phương trình nghiệm nguyên có rất nhiều dạng khác nhau với nhiều cách giảiphong phú khác nhau, vì thế trong đề tài này, tôi chủ yếu đưa ra các phươngpháp giải và thể hiện qua các ví dụ được lấy từ các tài liệu nâng cao môn Toán,

từ các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, các bài tập giải toán qua mạng

2.Phạm vi áp dụng của đề tài, sáng kiến, giải pháp:

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là chủ đề phương trình nghiệm nguyên hai

ẩn số trong chương trình môn Toán THCS Trong đề tài này tôi chỉ nghiên cứucác phương trình nghiệm nguyên với hai ẩn số

Đối tượng áp dụng của đề tài là học sinh khá, giỏi môn Toán lớp 9 ở cácđơn vị ( học sinh tham gia bồi dưỡng giải toán qua mạng )

II- PHẦN NỘI DUNG

1 Thực trạng nội dung cần nghiên cứu:

Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy tại đơn vị, trong quá trình bồi dưỡnghọc sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh thường ngại giải phương trình nghiệmnguyên, đặc biệt những phương trình không ở dạng mẫu mực, phương trìnhnhiều ẩn, những phương trình không giải được bằng những phương pháp giải cơbản đã được giáo viên hướng dẫn Học sinh thường lúng túng khi gặp nhữngphương trình có dạng lạ hoặc thoáng nhìn thấy có vẻ phức tạp, những bài toánkiểu như vậy làm giảm hứng thú và tính kiên nhẫn của trò trong quá trình họctoán

Có nhiều nguyên nhân dẫn đến học sinh gặp khó khăn khi giải các bàitoán về phương trình nghiệm nguyên, trong đó phải nhắc đến những nguyênnhân cơ bản, đó là: học sinh không hiểu thế nào là giải phương trình nghiệmnguyên, không nắm được cách biểu diễn nghiệm của phương trình nhiều ẩn,không nắm chắc hoặc nắm không đầy đủ các phương pháp giải phương trìnhnghiệm nguyên; không phân loại được các phương trình nghiệm nguyên, họcsinh thường mắc một số sai lầm khi giải phương trình nghiệm nguyên

Khi áp d ng đ t i n y t i đ n v , tôi đã ti n h nh ụng đề tài này tại đơn vị, tôi đã tiến hành ề tài này tại đơn vị, tôi đã tiến hành ài này tại đơn vị, tôi đã tiến hành ài này tại đơn vị, tôi đã tiến hành ại đơn vị, tôi đã tiến hành ơn vị, tôi đã tiến hành ị, tôi đã tiến hành ến hành ài này tại đơn vị, tôi đã tiến hành

kh o sát đ i v i đ i tuy n b i d ảo sát đối với đội tuyển bồi dưỡng giải toán qua mạng ối với đội tuyển bồi dưỡng giải toán qua mạng ới đội tuyển bồi dưỡng giải toán qua mạng ội tuyển bồi dưỡng giải toán qua mạng ển bồi dưỡng giải toán qua mạng ồi dưỡng giải toán qua mạng ưỡng giải toán qua mạng ng gi i toán qua m ng ảo sát đối với đội tuyển bồi dưỡng giải toán qua mạng ại đơn vị, tôi đã tiến hành

l p 9 v ch đ ph ới đội tuyển bồi dưỡng giải toán qua mạng ề tài này tại đơn vị, tôi đã tiến hành ủ đề phương trình nghiệm nguyên hai ẩn, số liệu ề tài này tại đơn vị, tôi đã tiến hành ươn vị, tôi đã tiến hành ng trình nghi m nguyên hai n, s li u ệm nguyên hai ẩn, số liệu ẩn, số liệu ối với đội tuyển bồi dưỡng giải toán qua mạng ệm nguyên hai ẩn, số liệu

Để giải quyết vấn đề trên, giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh thông hiểunhững khái niệm, thuật ngữ cơ bản, biết được cách biểu diễn nghiệm củaphương trình một ẩn, phương trình hai ẩn

Một số khái niệm, thuật ngữ cơ bản, đó là:

Phương trình hai ẩn là phương trình có dạng f(x;y) = 0

Nghiệm của phương trình hai ẩn f(x;y) = 0 là các bộ số (x; y) thỏa mãn

phương trình đó

Nghiệm nguyên của phương trình hai ẩn f(x;y) = 0 là các bộ số nguyên

(x;y ) thỏa mãn phương trình đã cho

Giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn f(x;y) = 0 là tìm tất cả các bộ

số nguyên (x,y) thoả mãn phương trình đó

2.2 Giải pháp 2: Phân loại các dạng phương trình nghiệm nguyên Dạng 1: Phương trình bậc nhất 2 ẩn

Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 12x – 7y = 45 (1)

2 4

2 ( 2

x x

x x

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

x – 1 - y 2 - 6Suy ra:

1 1 1







xy y

Giải

Nhân hai vế của phương trình với 6xy, ta có:

6y + 6x + 1 = xyĐưa về phương trình ước số ta có:

* Nếu x  2 ta có: 2x  4

Suy ra vế trái chia cho 4 dư 3; vế phải chia cho 4 dư 0 hoặc 1 ( mâuthuẫn)

Vậy, phương trình có nghiệm là: (0; 2); (0; -2)

2.3 Giải pháp 3: Hướng dẫn các phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm nguyên.

Khi giải phương trình với nghiệm nguyên do phải lợi dụng các tính chấtcủa tập hợp Z nên ngoài các biến đổi tương đương ta còn dùng đến các biến đổi

mà các giá trị của ẩn mới chỉ thoả mãn điều cần chứ chưa phải điều kiện cần và

đủ của nghiệm Trong trường hợp này ta cần kiểm tra các giá trị đó bằng cáchthử vào phương trình đã cho Vì vậy, việc giải phương trình với nghiệm nguyênthường gồm 2 bước:

Bước 1: Giả sử phương trình có nghiệm nguyên (x0, y0, z0…) ta suy ra các

ẩn phải nhận các giá trị nào đó

Bước 2: Thử lại các giá trị đó của ẩn để khẳng định tập hợp nghiệm của

Để giải các phương trình nghiệm nguyên trong chương trình THCS tathường dùng các phương pháp sau đây:

2.3.

1 Nhóm phương pháp dùng tính chia hết

Phương pháp 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn

Ví dụ 1: Giải phương trình với nghiệm nguyên

2x + 13y = 156 (1)

Giải: Giả sử x, y là các số nguyên thoả mãn phương trình (1)

Ta thấy 156  13 và 13y  13 suy ra 2x  13

x = 13t

y = 12 – 2t

Ví dụ 2: Số nghiệm nguyên của phương trình 6x – 3y = 5 là …… ? ( Đề

thi Violympic Toán 9 vòng 13 năm 2013 )

Giải

Ta thấy : vì x nguyên, y nguyên nên

6x  3 và 3y  3

=> 6x – 3y  13

Mà 6x – 3y = 5 => 5  3 Điều này là vô lí

Vậy, số nghiệm nguyên của phương trình trên là 0

Phương pháp2 : Đưa về phương trình đưa về ước số:

Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

 (3y + 1) ( 3x – 1) = 2 (phương trình ước số)

Vì x và y là các số nguyên nên 3x – 1 và 3y + 1 là các số nguyên và làước của 2 Ta có bảng sau:

(t  Z)

3x – 1 - 1 1 - 2 2

Vậy nghiệm của phương trình là: (0; - 1); (1; 0)

Ví dụ 2: Phương trình x + xy +y = 9 có số nghiệm nguyên là ……? ( Đề

thi Violympic Toán 9 vòng 14 năm 2014 )

Vậy, số nghiệm nguyên của phương trình là 8

Phương pháp 3: Tách ra các giá trị nguyên

Ví dụ: Giải phương trình với nghiệm nguyên

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

9x – y2 – y + 2 = 0

Giải

Biến đổi phương trình ta có: 9x + 2 = y(y + 1)

Ta thấy vế trái chia cho 3 dư 2 nên y(y + 1) chia cho 3 dư 2

Do đó chỉ có thể: y = 3k + 1; y +1 = 3k + 2 (k  Z)

Khi đó 9x + 2 = (3k + 1) (3k + 2)

 9x = 9k(k + 1)

 x = k(k + 1)Thử lại: x = k(k + 1), y = 3k + 1 thoả mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm nguyên là

Ví dụ : Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của

* Với ab = 1  a = 1, b = 1 thay vào (1) ta có: c = - 4 (loại)

* Với ab = 2  a = 1, b = 2 thay vào (1) loại

* Với ab = 3  a = 1, b = 3 thay vào (1) ta có: c = 8

* Với ab = 4  a = 1, b = 4 thay vào (1) ta có: c = 5

 a = 2, b = 2 thay vào (1) ta có: c = 4

* Với ab = 5  a = 1, b = 5 thay vào (1) ta có: c = 4 loại vì a  b  c

* Với ab = 6  a = 1, b = 6 thay vào (1) loại

 a = 2, b = 3 thay vào (1) loạiVậy bộ 3 số phải tìm là: 1; 3; 8 hoặc 1; 4; 5 hoặc 2; 2; 4

Phương pháp 2: Xét từng khoảng giá trị của ẩn

Ví dụ: Số các nghiệm nguyên dương của phương trình 1 1 41

Do đó 41 1x 1y 

x

1 + 1y =

Vậy, số nghiệm nguyên của phương trình là 5

Phương pháp 3: Chỉ ra nghiệm nguyên rồi nhận xét.

Ví dụ: Tìm các số tự nhiên x sao cho 2x + 3x = 35

* Với x = 0 thì vế trái bằng 2 => x = 0 không phải là nghiệm nguyên củaphương trình

* Với x = 1 vế trái bằng 5 => x = 1 không phải là nghiệm nguyên củaphương trình

* Với x = 3 ta có 23 + 33 = 35 thoả mãn phương trình

* Với x > 3 ta có 2x + 3x > 23 + 33 = 35 => 2x + 3x > 35

Vậy, số tự nhiên x duy nhất thỏa mãn phương trình là x = 3

Phương pháp 4 : Sử dụng điều kiện   0 để phương trình bậc 2 có nghiệm.

Ví dụ: Số nghiệm nguyên của phương trình x + y + xy = x2 + y2 (1)

 = (x + 1)2 – 4(y2 - y) = y2 + 2y + 1 – 4y2 + 4y = - 3y2 + 6y + 1 = - (3y2 – 6y - 1)

  0  3x2 – 6y – 1  0

 3y2 – 6y +3 – 4  0  3(y - 1)2  4

 (y – 1)2  1

Vì y nguyên nên y – 1 nguyên, Vậy ta có bảng sau :

* Với y = 0 thay vào (2) ta có: x2 – x = 0  x1 = 0; x2 = 1

* Với y = 1 thay vào (2) ta có: x2 – 2x = 0  x3 = 0; x4 = 2

* Với y = 2 thay vào (2) ta có: x2 – 3x + 2 = 0  x5 = 1; x6 = 2

Thử lại các giá trị trên nghiệm đúng (1)

Do đó, nghiệm nguyên của phương trình là: (0;0); (1; 0); (0; 1); (2; 1); (1; 2);(2;2)

Vậy, phương trình (1) có 6 nghiệm nguyên

2.3.4 Nhóm phương pháp dùng tính chất về chia hết của một số chính phương

Phương pháp 1: Sử dụng tính chất về chia hết của một số chính phương

* Các tính chất thường dùng

- Các số chính phương không có tận cùng là 2; 3; 7; 8

- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2

- Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0; 1

- Số chính phương chia cho 4 có số dư là 0; 1

- Số chính phương chia cho 8 có số dư là 0; 1; 4

Ví dụ: Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của 2 số nguyên liên tiếp

Giải

Giả sử 9x + 5 = n(n + 1) với n  Z

 n2 + n – (9x + 5) = 0

Để phương trình bậc 2 đối với n có nghiệm nguyên, điều kiện cần là  là

số chính phương Nhưng  = 1 + 4(9x + 5) = 36x + 21  3 nhưng không chiahết cho 32

Vậy 36x + 21 không phải là số chính phương

Do đó không tồn tại số nguyên n nào để 9n + 5 = n(n + 1) tức là khôngtồn tại số nguyên x để 9x + 5 là tích của 2 số nguyên liên tiếp

Phương pháp 2: Tạo ra bình phương đúng

Ví dụ: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên ?

3x2 + 4y2 = 6x + 13 (1)( Đề thi vòng 17 – Violympic Toán 9 năm 2013 )

Vậy, phương trình (1) có 5 nghiệm nguyên

Phương pháp 3 : Xét các số chính phương liên tiếp

Hiển nhiên giữa 2 số chính phương liên tiếp không có số chính phươngnào Do đó với mọi số nguyên a, x ta có:

- Không tồn tại x để a2 < x2 < (a + 1)2

- Nếu a2 < x2 < (a + 2)2 thì x2 = (a + 1)2

Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước không tồn tại số

nguyên dương x sao cho:

Từ (1) và (2) suy ra: x2 < (k + 1)2 < (x + 1)2 Vô lý

Vậy không tồn tại số nguyên dương x để x(x + 1) = k(k + 2)

2.3.5 Nhóm phương pháp đặt ẩn phụ

a) Đặt ẩn phụ kết hợp với xét tính chia hết của ẩn:

Ví dụ 1: Tìm tất cả các nghiệm nguyên x;y thoả mãn:

2 2

3 7

và x = y = 0

Giá trị x = y = 0 không thoả mãn phương trình (I)

+Với m = 1 thì k = 3, suy ra p = 9, q =  1

Vậy x = 5, y = 4 hoặc x = 4, y = 5

Do đó , nghiệm của phương trình (I) là (4;5) và (5;4)

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau : 19x2  28y2  729

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 7x2  13y2  1820

Vậy (1) có 4 nghiệm (u,v) là (1;1) , (1,-1) , (-1;1) và (-1;-1)

Từ đó suy ra , phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên (x, y) là (13;7) , (-13; 7), (13;-7) và (-13;-7)

b) Đặt ẩn phụ kết hợp với phương pháp đưa về phương trình tích:

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

c) Đặt ẩn phụ kết hợp với tạo ra bình phương đủ:

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

  (x nguyên dương tuỳ ý)

d) Đặt ẩn phụ kết hợp với xét các số chính phương liên tiếp:

Ví dụ 6: Tìm ngiệm nguyên của phương trình:

1 Ý nghĩa của đề tài, sáng kiến, giải pháp :

Bài toán phương trình với nghiệm nguyên là một dạng toán khó đối vớihọc sinh Để giải loại toán này cần phải biết vận dụng nhiều phương pháp khácnhau một cách linh hoạt Trên đây là một số giải pháp cơ bản mà trong quá trìnhgiảng dạy thực tế hay được sử dụng để hướng dẫn học sinh Tóm lại, để hướngdẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn, tôi thựchiện ba nhóm giải pháp chủ yếu đó là :

Nhóm giải pháp 1 : Hướng dẫn học sinh nắm vững các khái niệm, những

thuật ngữ về phương trình nghiệm nguyên ;

Nhóm giải pháp 2 : Phân loại các dạng phương trình nghiệm nguyên hai

ẩn ;

Nhóm giải pháp 3 : Hướng dẫn các phương pháp cơ bản thường dùng để

giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn

Qua quá trình hướng dẫn một cách cụ thể như vậy tại đơn vị, tôi nhậnthấy học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp vào giải cácbài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp Đối với học sinh giỏi các em đã biết sửdụng, kết hợp các phương pháp để giải được các bài toán ở dạng khó hơn Qua

đó giúp học sinh hứng thú khi gặp dạng toán này nói riêng và học môn Toán nóichung

Kết quả :

Sau khi khảo sát đối với đội tuyển giải toán qua mạng lớp 9 năm 2014 với

số lượng 06 em về chủ đề phương trình nghiệm nguyên hai ẩn, kết quả thu đượcnhư sau :

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP :

‘‘HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN HAI ẨN"

Quảng Bình, tháng 10 năm 2015

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Đ

ộc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÊN Đ Ề TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP :

‘‘HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN HAI ẨN"

Họ và tên: Dương Văn Dũng

Chức vụ : Giáo viên

Đơn vị : THCS Thái Thủy - Lệ Thủy - Quảng Bình

Quảng Bình, tháng 10 năm 2015