song với ba đường phân giác đó, ba đường này cắt đường tròn ở ba điểm A,B,C phải tìm. Cho đường tròn tâm O và tứ giác ABCD nội tiếp trong đó.Chứng minh rằng các đường thẳng kẻ qua trung [r]
Trang 1BÀI TẬP HÌNH HỌC 11 GIẢI BẰNG PHÉP BIẾN HÌNH
Các phép biến đổi hình học ở lớp 11(đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay, phép tĩnh tiến, phép vị tự) giúp học sinh giải nhiều bài toán hình học phẳng một cách thuận lợi
và gây được hứng thú cho học sinh Sau đây là một sỗ thí dụ
Bài toán 1 Chứng minh rằng trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O của một tam giác thẳng hàng, đồng thời GH = 2OG
Giải: (xem hình 1)
B
C2 C1
O G H
A B1 B2 C G Hình 1
Bài toán 2 Cho hai đường tròn bán kính khác nhau cắt nhau ở điểm A a) Chứng minh rằng tồn tại hai điểm phân biệt M và N sao cho hai đường tròn đã cho là hình vị tự của nhau với các phép vị tự tâm M và tâm N b) Chứng tỏ góc < MAN = 900 Giải: (xem hình 2)
b) Trong hai phép vị tự của hai đường Hình 1
tròn với tâm M và N nói trên thì O1 là ảnh của O2 Điểm A biến thành A1 trong phép tâm M, biến thành A2 trong phép tâm N Theo tính chất của phép vị tự thì O1A1// O2A, O1A2//O2A, do đó A1,O1,A2 thẳng hàng Bởi vậy góc < A1AA2 = 900, do đó góc < MAN = 900 Xét phép vị tự tâm G tỉ số k = -2.Các điểm B1 và C1 lần lượt có ảnh tương ứng là B và C Vì phép vị tự bảo toàn độ lớn của góc nên đoạn thẳng B1O biến thành đoạn thẳng nằm trên đường thẳng BB2, đoạn thẳng C1O biến thành đoạn thẳng nằm trên đường thẳng CC2 , do đó giao điểm O của B1O và C1O biến thành giao điểm H của các đường cao BB2 và CC2 Từ đó suy ra ba điểm O, G và H thẳng hàng Vì k=-2 nên dễ thấy rằng GH = 2OG a) Gọi O1 và O2 là tâm hai đường tròn đã cho, PQ và RS là hai đường kính của (O1) và (O2) vuông góc với đường thẳng O1O2 Phép vị tự cần tìm phải biến PQ thành RS, nghĩa là P thành R, Q thành S hoặc P thành S, Q thành R Trong trường hợp đầu thì tâm vị tự là giao điểm của hai đường thẳng PR và QS (điểm M); trong trường hợp sau thì tâm vị tự là giao điểm của hai đường thẳng PS và QR
(điểm N)
Trang 2Bài toán 3 Cho ba điểm M,N và K trên một đường tròn Dựng một tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn đó sao cho AM,BN VÀ CK là các đường phân giác của các góc tương ứng <A,<B và <C
Hình 3
Giải: ( xem hình 3)
Gọi ABC là tam giác phải dựng Vẽ qua M,N,K các tiếp tuyến với đường tròn đã cho rồi xét tam giác A1B1C1 (A1,B1,C1 là các giao điểm của ba tiếp tuyến đó) Vì các cặp cung
ứng cũng song song Từ đấy suy ra các dựng tam giác ABC: Qua M,N,K dựng ba tiếp
song với ba đường phân giác đó, ba đường này cắt đường tròn ở ba điểm A,B,C phải tìm Bài toán 4 Cho đường tròn tâm O và tứ giác ABCD nội tiếp trong đó.Chứng minh rằng các đường thẳng kẻ qua trung điểm các cạnh của tứ giác và vuông góc với cạnh đối diện thì đồng quy tại một điểm
OM và ON Hình 4
biến thành đường thẳng song song với chính nó)
Do đó suy ra các đường thẳng a,b,c và d đồng quy tại một điểm E là ảnh của điểm O trong phép đối xứng tâm P
Giải: (xem hình 4)
Gọi M,N,F,K lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC, CD và AD Các đường
thẳng kẻ qua các điểm M,N,F,K lần lượt
vuông góc với AB, BC, CD, DA cắt nhau ở
tâm đường tròn O Rõ ràng tứ giác MNFK là
hình bình hành, ta gọi P là tâm đối xứng của
nó.Với phép đối xứng tâm P thì các điểm
F,M,K,N biến thành các điểm M,F,N,K tương
ứng Gọi a,b,c, và d là các đường thẳng lần
lượt đi qua các điểm M,N,F và K và vuông
góc với các cạnh CD,AD,AB và BC Rõ ràng
rằng với phép đối xứng tâm P thì a,b,c và d là
ảnh của các đường thẳng OF,OK,OM và ON
(vì trong phép đối xứng tâm thì đường thẳng
biến
Trang 3Bài toán 5 Cho hình thang cân ABCD (AD = BC) Kéo dài các cạnh bên AD và BC cắt nhau tại L Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACL và BDL cắt nhau ở tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang đã cho
AK đối xứng với cung BK Thêm vào đó Hình 5
cung AK bằng cung KC ( vì góc < ALK = <CLK), do đó bốn cung KC, KD, AK,BK bằng nhau nên các dây trương bốn cung đó cũng bằng nhau (AK=BK=KC=KD), tức K là tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang ABCD
Bài toán 6 Cho tam giác ABC Tìm một điểm P trên mặt phẳng sao cho tổng các khoảng cách: l = AP+BP+CP nhỏ nhất
B 1
P 1 B
P
Rõ ràng l sẽ nhỏ nhất nếu các điểm P1 và Hình 6
Bài toán 7 Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác đều
một điểm
C1
B A1
O
O1
B1
Hình 7
Giải: (Xem hình 5)
Tam giác ABL là tam giác cân với
đường cao LM là trục đối xứng của nó
Đường tròn ACL là ảnh đối xứng qua
trục LM của đường tròn BDL, giao điểm
K của đường tròn BDL với trục đối xứng
LM biến thành chính nó - cũng là giao
điểm của đường tròn ACL với LM Với
phép đối xứng trục LM này thì cung KC
đối xứng với cung KD, cung AK đối
Giải: (Xem hình6)
Gọi ABC là tam giác đã cho, P là một
điểm tuỳ ý trên mặt phẳng Quay tam
giác ABC quanh điểm A một góc 600
=B1P1+P1P+CP
Giải: (Xem hình 7)
Gọi O là giao điểm của AA1 và BB1 Quay
chiều kim đồng hồ Với phép quay này thì tam
góc <A1AC = <BB1C, do đó <AOB1 = <ACB1,
nghĩa là < AOB1 = 600 Đặt trên đường thẳng
Trang 4Nhận xét: Điểm O nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AB1C, góc <AOC = 1200 Tương tự góc <AOB = < BOC = 1200
Bài tập tự luyện:
1) Dưng tam giác đều có ba đỉnh nằm trên ba đường song song không cách đều cho trước
2) Cho đường thẳng xy và hai điểm M,N không nằm trên đường thẳng đó Dựng một
điểm X trên đường thẳng xy sao cho < NXx = 2 < MXy
giác cân MPQ có đáy PQ nằm trên cạnh Ox , đỉnh M nằm trên cạnh Oy, một cạnh bên đi qua điểm Avà cạnh bên còn lại đi qua điểm B
4) Cho tam giác thường ABC Dựng đoạn thẳng DE sao cho D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh BC và AD = DE = EC
12 - 8 - 2010
Nguyễn Văn