Tìm tất cả các số nguyên tố có tính chất trên.. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT TÔN ĐỨC THẮNG
-KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ IV
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN ; LỚP: 11
Trang 2Câu 1(4đ) Giải hệ phương trình:
Giải
Thế vào (2) ta được:
2x 4x 5 x 4x 1 2x 4x 4 3
0,5
2 2
2
2
0,5
2
2
0,5
( / ) 2
(3)
( ) 2
0,5
2
Do 2x2 4x 4 4x 1 0
Nên (4) vô nghiệm
0,5
Vậy
;
S
0,5
Trang 3Câu 2 ( 4 đ)
Cho dãy số u n xác định như sau:
1
* 1
1
2017
1 ( ) 2017
n n
u
Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số u n ?
Giải
điểm
Ta có: u n 0, n N*
Suy ra:
1
n
1
1
1
2017
2016
n
0,5 đ
1
1 1 2017 2017
2016
n n
n
u
0,5đ
Lại có:
1
1 1
2017
2016
n n
n n
u
(Cô si)
1đ
Mặt khác:
2017
n
0,5 đ 0,5đ
Trang 4Vậy limu n 1
Câu 3 (3 điểm):
Cho ABC có ACB 2ABC Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho CD = 2BD và E đối xứng với A qua D
Chứng minh rằng ECB 180 0 2EBC
g điểm
Gọi H là trung điểm DC, thì ABEH là hình bình hành Lấy điểm G trên tia
đối CB sao cho CG = CA
Đặt: BD = DH = HC =
a
3, CA = b, AB = c, BE = AH = x, AD = DE = y,
CE = z
0,5đ
Ta có ABG đồng dạng CAG nên:
2
0,5đ
Sử dụng công thức tính đường trung tuyến trong các tam giác: ACD,
ABH, CDE ta có:
2
9
(2)
2
9
(3)
2
9
(4)
0,5đ
Trang 5Từ (2) và (3) suy ra:
3
kết hợp với (1) ta có:
Từ (3) và (4) suy ra:
2
3
kết hợp với (1) và (5) ta có:
2a
z b
3
0,5đ
do đó,
2
x z z a hay BE2 CE CE BC CE.EP
(trong đó: Điểm P nằm trên CE và CP = BC) suy ra
0,5đ
Ta lại có BEP CEB nên hai tam giác BEP và CEB đồng dạng
do đó:
2
(đpcm)
0,5đ
Câu 4(3 điểm) Tìm đa thức f(x) thỏa mãn: x.f x 1 x 3 .f x
Đáp án câu 4:
Ta có: x.f(x-1)= (x-3).f(x) (1)
Cho x = 0 f(0) = 0 (2)
Cho x = 1 f(1) = 0 (3)
Cho x = 2 f(2) = 0 (4)
0,5
(2) ;(3); (4) ta suy ra f(x) chia hết cho x; x-1; x-2 0,5
f(x) = x.(x-1).(x-2).P(x) 0,5
Trang 6Thay vào (1) Ta có :
x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x-1) = x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x)
0,5
Vậy: f(x) = x.(x-1).(x-2).C Với C là hằng số
Câu 5(3 điểm) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho 2n 1
chia hết cho n Tìm tất cả các số nguyên tố có tính chất trên
điểm Đáp án câu 5
Ta có 2 3 1 chia hết cho 3
Ta chứng minh, với mọi số nguyên dương m ta luôn có 23m 1 chia hết cho 3m(1)
Với m 1, (1) đúng
Giả sử (1) đúng với số m nguyên dương tùy ý, tức là tồn tại k nguyên dương sao
cho 23m k.3m 1
Khi đó: 2 3m1 3 m k 13 3 1m 1t
, t nguyên dương
1
Do đó (1) luôn đúng với m nguyên dương, tức là có vô số số nguyên dương n thỏa
mãn 2n 1
chia hết cho n
0,5
Giả sử n là số số nguyên tố và 2n 1
chia hết cho n Khi đó theo định lí Fecma,
chia hết cho n
0,5
Suy ra n chia hết cho 2n 1 2n 2 3 n 3 0,5
Vậy n = 3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn bài toán 0,5
Câu 6 (3 điểm)
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một
số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết
cho 9
Đáp án câu 6
+) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau
Trang 7thì chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có A97 cho 7 vị trí còn lại Vậy
7
9
9
1đ
+) Giả sử B 0;1; 2; ;9 ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 9 nên số có
chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 sẽ được tạo thành từ 8 chữ
\ 0; 9 ; \ 1; 8 ; \ 2; 7 ; \ 3; 6 ; \ 4; 5
1đ
nên số các số loại này là A88 4.7.A77
Vậy xác suất cần tìm là:
8 7
8 7 7 9
A
1đ