Ứng dụng phương pháp tam thức bậc hai vào các bài toán trung học phổ thông

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✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❞↕♥❣

ax2 +bx+c = 0✱tr♦♥❣ ✤â x ❧➔ ➞♥ ✈➔ a, b, c ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè ✈î✐ a 6= 0✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ❧➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♠ëttr♦♥❣ ❝→❝ ❞↕♥❣ s❛✉

✹

+ 3

4 > 0

✽

f(1) = (5α4 + 3)−(α8 + 6α4 −3) +α8 −4α4 −9 = −5α4 −3 < 0✳

❙✉② r❛

af(1) = (5α4 + 3)(−5α4 −3) = −(5α4 + 3)2 < 0✳

◆❤÷ ✈➟②✱ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ✤↔♦ ✈➲ ❞➜✉ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ t❛ s✉② r❛ ♣❤÷ì♥❣tr➻♥❤ f(x) = 0 ❧✉æ♥ ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ x1, x2 ✈➔ x1 < 1 < x2✳ ✷

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✹✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝â ♥❣❤✐➺♠t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t➼♥❤ ∆ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ∆ ≥ 0✳ ❚✉②

♥❤✐➯♥✱ ❦❤✐ ❝→❝ ❤➺ sè ❝õ❛ x ♣❤ù❝ t↕♣ t❤➻ ✈✐➺❝ t➼♥❤ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ∆ ≥ 0s➩ ❝ç♥❣ ❦➲♥❤✱ ❦❤â ❦❤➠♥✳ ❉♦ ✈➟②✱ →♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ ✤↔♦ ✈➲ ❞➜✉ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝

H ❙♦ s→♥❤ ♥❣❤✐➺♠

❚ø ✤à♥❤ ❧➼ ✤↔♦ ✈➲ ❞➜✉ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✱ ❝❤ó♥❣ t❛ rót r❛ q✉② t➢❝ s♦s→♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈î✐ ❝→❝ sè t❤ü❝ ♥❤÷ s❛✉✿

❱➼ ❞ö ✶✳✹✳✺✳ ❚➻♠ m ✤➸ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ❝â ♥❣❤✐➺♠

2x2 + 6mx −3 = 0

▲í✐ ❣✐↔✐✳ ✣➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❜➔✐ t♦→♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❞ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐→♥ t✐➳♣✱ ❝öt❤➸ ❧➔ t➻♠ m ✤➸ ❤➺ ✭✶✳✶✺✮ ✈æ ♥❣❤✐➺♠✳

❚❛ ❝â

| −3x| ≤ 6 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2✳

✶✽

✶✾

4 < m < 1

⇔ 34 < m < 1✳

✷

✷✵

✶✳✺ ✣ç t❤à ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐

❈❤♦ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ f(x) = ax2 +bx + c✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✤ç t❤à ❝õ❛ f(x)

✤÷ñ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s❛✉✳

✷✶

❈❤÷ì♥❣ ✷

❙û ❞ö♥❣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣

tr➻♥❤✱ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ✈➲ ✈➟♥ ❞ö♥❣ t❛♠t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ✈➔ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤tr♦♥❣ ❦❤✉æ♥ ❦❤ê ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❣✐→♦ ❞ö❝ ♣❤ê t❤æ♥❣✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♠é✐ ❞↕♥❣t♦→♥ ✤÷ñ❝ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝ö t❤➸✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣

✷✽

✤÷ì♥❣ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

(x − α)(ax2 +Bx+C) = 0✱

✈➔ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✷✳✶✷✮ s➩ ♣❤ö t❤✉ë❝ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐

✸✹

❑❤✐ ✤â✱ f(x) = 0 ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ x1, x2✳ ❚❛ ❝â

a 6= 0✱ e 6= 0✱ e

a =

db



bx+ dx

+c = 0 ✭✷✳✷✵✮

✣➦t t = x + d

bx✱ ❦❤✐ ✤â |t| ≥ 2

s

db

✳ ▲ó❝ ♥➔②✱ t❛ ✤÷❛ ✭✷✳✷✵✮ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈î✐ ➞♥ t rç✐ ❣✐↔✐✳

2 +x✳

❝✳ ▼ët sè ❞↕♥❣ ❦❤→❝

✸✽

✷✳✺ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ô ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❧♦❣❛r✐t

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ô

✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❧♦❣❛r✐t ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ô ✈➔ ♣❤÷ì♥❣tr➻♥❤ ❧♦❣❛r✐t ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤➦t ➞♥ ♣❤ö✳ ❑❤✐ ✤➦t ➞♥

x > 1logx(x3 + 1) < logx(x+ 1)2

f(1) = m −1 ≥ 0 ⇔ m ≥ 1✳

✹✺

(2.39) ⇔ 4 cos3x −3 cosx −2 cos2x+mcosx = 0

⇔ 4 cos3x −2 cos2x+ (m −3) cosx = 0

⇔  cos4 cosx2= 0x −2 cosx+m −3 = 0 (1)(2) ✭✷✳✹✵✮

❈❤÷ì♥❣ ✸

Ù♥❣ ❞ö♥❣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ tr♦♥❣ ❦❤↔♦ s→t ❤➔♠ sè

①→❝ ✤à♥❤ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ R✳

▲í✐ ❣✐↔✐✳ ✣➸ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ R t❛ ❝➛♥ ❝â

sin6x+ cos6x+asinxcosx ≥ 0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ R

⇔ (sin2x+ cos2x)3 −3 sin2xcos2x(sin2x+ cos2x)

m ≤ 7−

√

658

✺✻

y = x2 +x+m + 4

x − m ✳

✺✼

♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ sü t÷ì♥❣ ❣✐❛♦ ♥➔② s➩ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❞ü❛ ✈➔♦ ✤çt❤à ❤➔♠ sè✳

9(m2 − m)(1−2x1)(m2 − m)(1−2x2) < 0

⇔



m < 1(1−2x1)(1−2x2) < 0 ✭✸✳✶✸✮

H ❙ü t÷ì♥❣ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ✤ç t❤à ❤➔♠ sæ ❜➟❝ ❜è♥ ✈î✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣

✻✷

❇➔✐ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ sü t÷ì♥❣ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ✤ç t❤à ❤➔♠ sè ❜➟❝ ❜è♥ ✈î✐ ♠ët

✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ r➜t ❦❤â ✤è✐ ✈î✐ ❤å❝ s✐♥❤ ♣❤ê t❤æ♥❣✳ ❱➻ ✈➟②✱tr♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤➾ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❤➔♠ sè ❜➟❝

❉♦ ✈➟②✱g(y)❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺ty1, y2 > 0♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤ä❛ ♠➣♥y2 = 9y1✱tù❝ ❧➔

kx+q = mx2 +nx+q

dx+e , d 6= 0, x 6= −e

✣➸ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝ò♥❣ t❤✉ë❝ ♠ët ♥❤→♥❤ t❤➻ ✭✸✳✶✹✮ ♣❤↔✐ ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺tt❤ä❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

❑➌❚ ▲❯❾◆

▲✉➟♥ ✈➠♥ ✏Ù♥❣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔♦ ❝→❝ ❜➔✐t♦→♥ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤æ♥❣✑ ✤➣ ✤↕t ✤÷ñ❝ ♠ö❝ ✤➼❝❤ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ö ✤➲ r❛✱

♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✳

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❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖

❬✶❪ ❚r➛♥ ❱➠♥ ❍↕♦✱ ❱ô ❚✉➜♥ ✭✷✵✶✼✮✱ ❙→❝❤ ●✐→♦ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✶✵✱ ◆❳❇

●✐→♦ ❞ö❝✳

❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉ ✭✷✵✵✷✮✱ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣tr➻♥❤✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝✳