Về một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

LÍI CAM OANTæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi... LÞ DO CHÅN — T€I To¡n håc l mët mæn khoa håc tü nhi¶n, âng vai trá r§t quan trång trongc¡c l¾nh vüc nghi¶n cùu khoa

LÍI CAM OAN

Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi C¡c sè li»u, k¸tqu£ n¶u trong luªn v«n l  trung thüc v  ch÷a tøng ÷ñc ai cæng bè trong b§tk¼ cæng tr¼nh n o kh¡c

  n®ng, th¡ng 05 n«m 2020

T¡c gi£

inh Thanh Hçng

LÍI CƒM ÌN

Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu · t i khoa håc n y t¡c gi£ b y täláng c£m ìn s¥u s­c ¸n Th¦y gi¡o TS Tr¦n ùc Th nh, ng÷íi ¢ h÷îng d¨nch¿ b£o tªn t¼nh trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu khoa håc B¶n c¤nh â,t¡c gi£ xin c£m ìn ch¥n th nh ¸n Tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m-¤i håc   N®ng,

¤i håc Qu£ng B¼nh ¢ t¤o i·u ki»n mð lîp Th¤c s¾ ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§pt¤i Qu£ng B¼nh, xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p ¢ c£m thæng, õng

hë v  gióp ï trong suèt thíi gian tæi tham gia håc Cao håc v  vi¸t luªn v«n.Tuy nhi¶n i·u ki»n n«ng lüc b£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶n trong · t i nghi¶ncùu khoa håc n y ch­c ch­n khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât T¡c gi£ k½nhmong c¡c Th¦y cæ gi¡o v  b¤n åc câ nhúng þ ki¸n gâp þ º luªn v«n ho nthi»n hìn

  N®ng, th¡ng 05 n«m 2020

T¡c gi£

inh Thanh Hçng

( [5], [8]) 522.3 Sû döng b§t ¯ng thùc º gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n ( [5], [8]) 58

MÐ †U

1 LÞ DO CHÅN — T€I

To¡n håc l  mët mæn khoa håc tü nhi¶n, âng vai trá r§t quan trång trongc¡c l¾nh vüc nghi¶n cùu khoa håc v  trong cuëc sèng h ng ng y Ð bªc håc phêthæng, to¡n håc ÷ñc coi l  mët mæn håc cì b£n, l  n·n t£ng º c¡c em håcsinh ph¡t huy n«ng lüc b£n th¥n, l  ti·n · º c¡c em håc tèt c¡c bë mæn khoahåc kh¡c

B§t ¯ng thùc l  mët chõ · khâ v  công l  d¤ng to¡n r§t quan trång trongch÷ìng tr¼nh phê thæng C¡c k¸t qu£ v· nëi dung n y ¢ ÷ñc tr¼nh b y r§t

ho n ch¿nh, ¦y õ ð nhúng t i li»u trong n÷îc v  Quèc t¸ M°t kh¡c, trongc¡c k¼ thi tuyºn sinh ¤i håc-Cao ¯ng, °c bi»t l  c¡c k¼ thi Håc sinh giäi, tav¨n hay g°p c¡c d¤ng b i to¡n v· b§t ¯ng thùc º gióp håc sinh phê thængt¼m hiºu c¡c ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùc v  c¡c ùng döng cõa b§t

¯ng thùc trong mët sè b i to¡n kh¡c nhau, çng thíi n­m ÷ñc c¡c k¾ thuªtchùng minh c¡c d¤ng b§t ¯ng thùc cö thº v  h» thèng chóng theo mët logicnh§t ành l  nhi»m vö m  · t i luªn v«n n y · cªp ¸n

Vîi möc ½ch nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùc v  ùngdöng công nh÷ d÷îi sü ành h÷îng cõa th¦y gi¡o Tr¦n ùc Th nh, chóng tæi

¢ quy¸t ành chån nghi¶n cùu · t i:  V· mët sè ph÷ìng ph¡p chùngminh b§t ¯ng thùc v  ùng döng Chóng tæi hy vång t¤o ÷ñc mët t ili»u tham kh£o tèt cho nhúng ng÷íi quan t¥m ¸n mët sè ph÷ìng ph¡p chùngminh b§t ¯ng thùc v  ùng döng cõa nâ trong mët sè b i to¡n phê thæng

2 MÖC CH NGHI–N CÙU

Nghi¶n cùu nh¬m t¼m hiºu v  l m rã c¡c v§n · sau:

(1) Kh¡i ni»m, t½nh ch§t cõa b§t ¯ng thùc

(2) Mët sè ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùc.

(3) Ùng döng cõa b§t ¯ng thùc trong mët sè b i to¡n phê thæng nh÷ gi£iph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh, ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n hay b i to¡n cüctrà

3 ÈI T×ÑNG V€ PH„M VI NGHI–N CÙU

èi t÷ñng nghi¶n cùu l  c¡c chuy¶n · v· b§t ¯ng thùc v  c¡c ùng döng cõachóng

Ph¤m vi nghi¶n cùu l  mèi li¶n quan giúa c¡c èi t÷ñng tr¶n; c¡c ùng döng

º gi£i mët sè b i to¡n

4 NHI›M VÖ NGHI–N CÙU

Nhi»m vö nghi¶n cùu l  t¼m hiºu v· b§t ¯ng thùc; c¡c d¤ng b i tªp ùngdöng

5 PH×ÌNG PHP NGHI–N CÙU

Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu lþ thuy¸t: åc t i li»u, ph¥n t½ch, so s¡nh, têng hñp

v  sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p suy luªn cõa to¡n håc

6 C‡U TRÓC CÕA LUŠN V‹N

Bè cöc luªn v«n gçm 2 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Mët sè ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùc

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa b§t ¯ng thùc,sau â l  mët sè ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùc

1.1 Mët sè kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n cõa b§t ¯ng thùc

Möc n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa b§t ¯ng thùc.1.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùc

Möc n y d nh º tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùcnh÷: ph÷ìng ph¡p sû döng ành ngh¾a, ph÷ìng ph¡p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng,ph÷ìng ph¡p ph£n chùng, ph÷ìng ph¡p quy n¤p to¡n håc, ph÷ìng ph¡p tamthùc bªc hai, ph÷ìng ph¡p sû döng c¡c b§t ¯ng thùc quen thuëc nh÷ AM-GM,Cauchy-Schwarz, Bernouli, ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hay ph÷ìng ph¡p dçn bi¸n

còng c¡c v½ dö kh¡ a d¤ng º minh håa cho c¡c ph÷ìng ph¡p â.

2.3 Dòng b§t ¯ng thùc º gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n

Möc n y tr¼nh b y mët sè v½ dö v· vi»c sû döng b§t ¯ng thùc º gi£i ph÷ìngtr¼nh nghi»m nguy¶n

1.1 Mët sè kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n cõa b§t ¯ng thùc ( [7])

Möc n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa b§t ¯ng thùc.1.1.1 ành ngh¾a Gi£ sû A v  B l  hai biºu thùc b¬ng sè ho°c b¬ng chú.+) A ÷ñc gåi l  lîn hìn B, kþ hi»u A > B, n¸u hi»u A  B l  mët sè d÷ìng

+) A ÷ñc gåi l  lîn hìn ho°c b¬ng B, kþ hi»u A ≥ B, n¸u hi»u A  B l mët sè khæng ¥m

+) A ÷ñc gåi l  nhä hìn B, kþ hi»u A < B, n¸u hi»u A  B l  mët sè ¥m

+) A ÷ñc gåi l  nhä hìn ho°c b¬ng B, kþ hi»u A ≤ B, n¸u hi»u A  B l mët sè khæng d÷ìng

Khi â A > B; A < B; A ≥ B; A ≤ B ÷ñc gåi l  c¡c b§t ¯ng thùc

1.1.2 M»nh · a) T½nh ch§t giao ho¡n: Vîi c¡c sè thüc A v  B b§t ký, ta câ

A ≤ B ⇔ B ≥ A

b) T½nh ch§t b­c c¦u: Vîi c¡c sè thüc A, B, C b§t ký, ta câ

A ≤ B, B ≤ C ⇔ A ≤ C

1.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùc

Möc n y d nh º tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ngthùc nh÷: ph÷ìng ph¡p sû döng ành ngh¾a, ph÷ìng ph¡p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng,ph÷ìng ph¡p ph£n chùng, ph÷ìng ph¡p quy n¤p to¡n håc, ph÷ìng ph¡p tamthùc bªc hai, ph÷ìng ph¡p sû döng c¡c b§t ¯ng thùc quen thuëc nh÷ AM-GM,Cauchy-Schwarz, Bernouli, ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hay ph÷ìng ph¡p dçn bi¸ncòng c¡c v½ dö kh¡ a d¤ng º minh håa cho c¡c ph÷ìng ph¡p â

Do (x − 1)2 ≥ 0,(y − 1)2 ≥ 0,(z − 1)2 ≥ 0 vîi måi x, y, z n¶n K ≥ 0 vîi måi

x, y, z D§u ¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi x = y = z = 1



a

2 − c

2+



a

2 − d

2+



a

2 − e

2

a, b, c, d, e n¶n K ≥ 0 vîi måi a, b, c, d, e.

D§u ¯ng thùc x£y ra ⇔ b = c = d = e = a

2.1.2.3 V½ dö Cho a, b l  c¡c sè thüc Chùng minh b§t ¯ng thùc

Bði v¼ (a + b)2 ≥ 4ab n¶n ta câ

(a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 ≥ 4(a + b)c ⇒ 16 ≥ 4(a + b)c

Suy ra

16(a + b) ≥ 4(a + b)2c ≥ 16abc

i·u n y k²o theo

a + b ≥ abc

T÷ìng tü ta công câ b + c ≥ abc v  c + a ≥ abc V¼ vªy

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ a3b3c3

1.2.5 V½ dö Cho 2 sè a, b thäa m¢n a + b = 1 Chùng minh r¬ng

2

⇔ a2 − ab + b2 ≥



a + b2

2

B§t ¯ng thùc cuèi óng n¶n ta câ i·u ph£i chùng minh.

1.2.8 V½ dö ( [7]) Cho x, y, z l  c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n i·u ki»n

i·u væ lþ câ thº l  tr¡i vîi gi£ thi¸t ho°c l  nhúng i·u tr¡i ng÷ñc nhau tø

â suy ra b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh l  óng

Mët sè h¼nh thùc chùng minh ph£n chùng:

+) Dòng m»nh · £o

+) Phõ ành rçi suy ra i·u tr¡i vîi gi£ thi¸t

+) Phõ ành rçi suy ra i·u tr¡i vîi i·u óng

+) Phõ ành rçi suy ra hai i·u tr¡i ng÷ñc nhau

+) Phõ ành rçi suy ra k¸t luªn

1.2.9 V½ dö Chùng minh r¬ng khæng câ 3 sè d÷ìng a, b, c n o thäa m¢n c£

1.2.10 V½ dö Cho a, b, c l  c¡c sè thüc b§t k¼ Chùng minh r¬ng câ ½t nh§tmët trong c¡c b§t ¯ng thùc sau ¥y l  óng

Tø gi£ thi¸t ta câ a > b > 0 Gi£ sû b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh l  sai, tùc

l  ta câ b§t ¯ng thùc a2 + b2 ≥ 1 Khi â k¸t hñp vîi gi£ thi¸t ta ÷ñc

V¼ a > b > 0 n¶n ta câ a(b − a) < 0 Suy ra a(b − a) − 2b2 < 0, tùc l 

b[a(b − a) − 2b2] < 0 Do â b§t ¯ng thùc tr¶n khæng thº x£y ra, tùc l  b ito¡n ÷ñc chùng minh Vªy i·u gi£ sû khæng thº x£y ra, tùc l  a2 + b2 < 1.1.2.12 V½ dö (IMO 2001) Cho a, b, c l  c¡c sè thüc d÷ìng Chùng minh r¬ng

1 − x2; b

28ac =

y2

1 − y2; c

28ba =

khæng câ nghi»m thuëc tªp hñp sè tü nhi¶n

Gi£ sû (1.3) câ nghi»m (x,y,z)∈ N3 Tø (1.3) ta câ (z + 1)ab c M  (a; c) =(b; c) = 1suy ra (z + 1) c, m  z + 1 > 0 n¶n tø â z + 1 ≥ c T÷ìng tü, ta công

câ x + 1 ≥ a, y + 1 ≥ b Tø c¡c ¡nh gi¡ n y ta ÷ñc

1.2.4 Ph÷ìng ph¡p quy n¤p to¡n håc

Gi£ sû ta c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc A(n) ≥ 0 vîi A(n) l  mët biºuthùc câ chùa sè nguy¶n d÷ìng n vîi n ≥ n0

Ta thüc hi»n chùng minh b¬ng quy n¤p nh÷ sau:

+) Chùng minh b§t ¯ng thùc óng vîi gi¡ trà ¦u ti¶n cõa n l  n0

+) Gi£ sû b§t ¯ng thùc óng vîi n = k ≥ n0 tùc l  A(k) ≥ 0

+) Sau â chùng minh A(k + 1) ≥ 0 düa v o A(k) ≥ 0

an + bn



a + b2

n

k

k+1

Ta câ



a + b2

k+1

= a + b2



a + b2

k

Tø 1.4 n¶n ta ch¿ c¦n chùng minh

x + 12

2.x

Tùc l 

⇔ (x − 1)2(xk+1− 1)2 ≥ 0

B§t ¯ng thùc luæn óng Vªy theo nguy¶n lþ quy n¤p ta câ i·u ph£i chùngminh ¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi x = 1

1.2.17 V½ dö (Thi v o lîp 10 Chuy¶n, HKHTN-HQGHN 1996)

Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n, ta câ

A(n) = (n3 + 5n) 6

Vîi n = 1 ta câ A(1) = 6 6 n¶n b i to¡n óng vîi n = 1

Gi£ sû b i to¡n óng vîi n=k, ngh¾a l  A(k) 6 vîi A(k) = k3 + 5k, ta chùngminh b i to¡n óng vîi n = k + 1

1.2.18 V½ dö Cho a, b, c l  ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c vuæng câ c l c¤nh huy·n Chùng minh vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n ta câ

Vªy f (x, y) > 0 vîi måi x, y.

1.2.20 V½ dö ( [7]) Chùng minh r¬ng vîi måi sè thüc a v  b ta câ

3(1 − a + a2)(1 − b + b2) ≥ 2(1 − ab + a2b2)

Vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc d÷îi d¤ng

(a2 − 3a + 3)b2 − (3a2 − 5a + 3)b + 3a2 − 3a + 1 ≥ 0

V¸ tr¡i l  tam thùc bªc hai cõa b câ a2 − 3a + 3 > 0, ∀a ∈ R v 

∆b = (3a2 − 5a + 3)2 − 4(a2 − 3a + 3)(3a2 − 3a + 1)

= −(a2 − 3a + 1)2 ≤ 0, ∀a ∈ R

Do â v¸ tr¡i luæn khæng ¥m v  b i to¡n ÷ñc chùng minh

¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi:

Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû a = max{a, b, c}

Khi â, b§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi

(3a − 2b)c2 + (2a2 − ab − 3b2)c + 3a2b − 2ab2 ≥ 0

⇔ (31x − 3y)z2 + (96y2 − 35x2 − 5xy)z + 31x2y − 3xy2 ≥ 0.

V¸ tr¡i l  tam thùc bªc hai cõa z vîi h» sè cõa z2 d÷ìng n¶n ta ch¿ c¦n chùngminh

(96y2 − 35x2 − 5xy)2 − 4(31x − 3y)(31x2y − 3xy2) ≤ 0

⇔ (x − y)(x − 4y)(1125x2 + 2631xy + 2304y2) ≤ 0

V¼ (x − y) ≥ 0, (x − 4y) ≤ 0 v  (1125x2+ 2631xy + 2304y2) ≥ 0 n¶n b§t ¯ngthùc cuèi luæn óng Do â, b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh

1.2.23 V½ dö ( [7]) Cho a,b,c l  c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n i·u ki»n

(3) B§t ¯ng thùc AM-GM (Cæ si) cho n sè khæng ¥m

a1 + a2 + + an

a1a2 an

¯ng thùc x£y ra khi a1 = a2 = = an

1.2.24 V½ dö ( [7]) Chùng minh r¬ng vîi måi sè thüc d÷ìng a v  b ta câ

1.2.26 V½ dö (TSH khèi D 2005) Cho x, y, z l  c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n

i·u ki»n xyz = 1 Chùng minh r¬ng

Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM cho 2 sè d÷ìng ta câ

≥ (x + y + z)2 =



4712

2

(c + a)2 + c

4(a + b + c).

Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ

(a + b + c)



a(b + c)2 + b

b(c + a) +

c(a + b)

2

Theo H» qu£ 1 ta câ

a

(b + c) +

b(c + a) +

c(a + b) =

a2(ab + ac) +

b2(bc + ba) +

c2(ca + cb)

≥ (a + b + c)

22(ab + bc + ca)

¯ng thùc x£y ra khi x = y = z = 3

2.1.2.33 V½ dö ( [4]) Cho a, b, c, x, y, z l  c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n i·u ki»n

x√

x + 2y√

y.

y + 2z√

z +

2y√y

z√

z + 2x√

2z√z

y√

y + 2z√

z +

2y√y

z√

z + 2x√

2z√z

b2b(c + 2a) +

c2c(a + 2b)

b2b(c + 2a) +

c2c(a + 2b)

i

2a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b)

= 2(a + b + c)

23(ab + bc + ca)

≥ 6(ab + bc + ca)3(ab + bc + ca) = 2.

+) N¸u x − α

a

2+y − β

Do |a| ≤ 1, |b| ≤ 1 n¶n ta °t: a = cosα, b = cosβ, α, β ∈ [0; π]

Khi â ta câ

1.2.36 V½ dö ( [1]) Chùng minh r¬ng vîi måi tam gi¡c ABC ta câ

cosA + cosB + cosC ≤ 3

D§u b¬ng x£y ra khi v  ch¿ khi tam gi¡c ·u

1.2.37 V½ dö ( [1]) Cho a, b, c l  c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n i·u ki»n

Theo gi£ thi¸t tçn t¤i 3 gâc nhån cõa mët tam gi¡c thäa m¢n a = tanA,

b = tanB, c = tanC Khi â ta câ

cosB

⇔ 22 + 32 + 42 + 2.3.4.cos(B + C) − 2.2.4.cosB − 2.2.3.cosC ≥ 0

⇔ 22+32+42+2.3.4.cosB.cosC−2.3.4.sinB.sinC−2.2.4.cosB−2.2.3.cosC ≥ 0

⇔ (2 − 4cosB − 3cosC)2 + (4sinB − 3sinC)2 ≥ 0

B§t ¯ng thùc cuèi còng luæn óng, do vªy ta câ

2√tan2A + 1 =

tanB

3√tan2B + 1 +

tanC

4√tan2C + 1a

1.2.38 V½ dö ( [1]) Chùng minh r¬ng vîi måi tam gi¡c ABC ta câ

√3

2 .

B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh

1.2.39 V½ dö (· thi chån HSG 11 t¿nh Qu£ng B¼nh n«m håc 2010-2011)Cho c¡c sè thüc d÷ìng x, y, z Chùng minh r¬ng

2xy(z + x)(z + y) +

2yz(x + y)(x + z) +

3zx(y + z)(y + x) ≥ 5

(b + c − a)(c + a − b)

4ab

= c

2 − (a − b)24ab

= c

2 − a2 − b2

12

= −1

2cosC +

1

2.

T÷ìng tü ta công câ

yz(x + y)(x + z) = −

1

2cosA +

1

2,zx

3zx(y + z)(y + x) =

≤ −3sinB

2 − 13

2+ 116

≤ 11

6 .

Suy ra

2xy(z + x)(z + y) +

2yz(x + y)(x + z) +

3zx(y + z)(y + x) ≥ 7

kþ hi»u P (a, b, c) v  ta ph£i chùng minh P (a, b, c) ≥ 0 Dçn bi¸n ch½nh l  mëtc¡ch t¡ch b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh th nh hai b§t ¯ng thùc ìn gi£n hìntùc l  ¡nh gi¡ P (a, b, c) qua mët biºu thùc trung gian ch¯ng h¤n

P (a,

√

bc,

√bc), P



a,b + c

b + c2

!

,

sau â ¡nh gi¡ biºu thùc trung gian.

Nh÷ vªy, ta câ thº tâm t­t theo 2 b÷îc nh÷ sau:

B÷îc 1: P (a, b, c) ≥ PT G v  c¦n s­p thù tü c¡c bi¸n º b§t ¯ng thùc óng.B÷îc 2: Chùng minh PT G ≥ 0

Thæng th÷íng thüc hi»n b÷îc 2 tr÷îc º kiºm tra t½nh óng cõa ph÷ìng ph¡pdçn bi¸n, sau â thüc hi»n b÷îc 1, chó þ s­p thù tü c¡c bi¸n ch¯ng h¤n

a = min{a, b, c} ho°c a = max{a, b, c}

(1) N¸u i·u ki»n b i to¡n cho têng 3 sè a + b + c = k



≥ 0

Khi â ta c¦n s­p thù tü a = min{a, b, c} ho°c a = max{a, b, c}

(2) N¸u i·u ki»n b i to¡n cho t½ch ba sè b¬ng 1

Ta t¼m c¡ch ¡nh gi¡

P (a, b, c) ≥ P (a,

√bc,

√bc) ≥ 0

P (a,

√bc,

√bc) = P

Khi â ta c¦n s­p thù tü a = min{a, b, c} ho°c a = max{a, b, c}

(3) N¸u i·u ki»n b i to¡n cho b¼nh ph÷ìng cõa ba sè a2 + b2 + c2 = k

!

≥ 0

Khi â ta c¦n s­p thù tü a = min{a, b, c} ho°c a = max{a, b, c}

1.2.40 V½ dö ( [7]) Cho a,b,c l  c¡c sè thüc d÷ìng Chùng minh r¬ng

a2 + b2 + c2 + abc + 5 ≥ 3(a + b + c)

Ta chùng minh

P (a, b, c) = a2 + b2 + c2 + abc + 5 − 3(a + b + c) ≥ 0

Gi£ sû a = min{a, b, c} X²t hi»u

2+ c2 +



a + b2

2+ abc −



a + b2

2c

= (a − b)

2

2 − c(a − b)

24

Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû a = min{a, b, c} suy ra √bc ≥ 1

Ta chùng minh P (a, b, c) ≥ P (a,√

bc,√bc)

Thªt vªy

P (a, b, c) − P (a,√

bc,√bc)

M°t kh¡c

P (a,

√bc,

√bc) = P



B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1

1.2.42 V½ dö ( [7]) Cho a,b,c l  c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n a2+ b2+ c2 = 3.Chùng minh r¬ng

º chùng minh i) ta x²t

P (a, b, c) − Pa,b + c

b + c2

#

t = 13

(1) D¤ng nguy¶n thõy: Cho a ≥ −1 v  1 ≤ n ∈ Z ta câ (1 + a)n ≥ 1 + na

D§u b¬ng x£y ra khi v  ch¿ khi a = 0 ho°c n = 1

(2) D¤ng suy rëng:

+) Cho a > −1 v  α ≥ 1 ta câ (1 + a)α ≥ 1 + α.a

D§u b¬ng x£y ra khi v  ch¿ khi a = 0

+) Cho a ≥ −1 v  0 < α < 1 ta câ (1 + a)α ≤ 1 + α.a

D§u b¬ng x£y ra khi va ch¿ khi a = 0 ho°c α = 1

1.2.45 V½ dö ( [3]) Vîi måi a,b>0 Chùng minh r¬ng

ab + ba > 1

N¸u a ≥ 1 hay b ≥ 1 th¼ b§t ¯ng thùc luæn óng.

N¸u 0 < a v  b < 1, ¡p döng b§t ¯ng thùc Bernouli ta câ



1a

5



3b

a + b + c

5+



3b

a + b + c

5+

Ch֓ng 2

Ùng döng cõa b§t ¯ng thùc

Ch÷ìng n y d nh º tr¼nh b y mët sè ùng döng cõa b§t ¯ng thùc º gi£imët sè b i to¡n v· gi£i ph÷ìng tr¼nh; h» ph÷ìng tr¼nh; ph÷ìng tr¼nh nghi»mnguy¶n hay b i to¡n t¼m gi¡ trà lîn nh§t, nhä nh§t

2.1 Sû döng b§t ¯ng thùc º t¼m gi¡ trà lîn nh§t, nhä nh§t ( [7])

(1) N¸u f (x) ≥ A vîi ∀x th¼ f(x) câ gi¡ trà nhä nh§t l  A

(2) N¸u f (x) ≤ B vîi ∀x th¼ f(x) câ gi¡ trà lîn nh§t l  B

2.1.1 V½ dö Cho 2 sè thüc x 6= 0, y 6= 0 thay êi v  thäa m¢n i·u ki»n:

xy(x + y) = x2 + y2 − xy T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc

2

Theo gi£ thi¸t ta câ

xy(x + y) = x2 + y2 − xy

= (x + y)2 − 3xy