Giải tích toán học-Các ví dụ và bài tập-Liasko (Phần II tập 1)

Tài liệu tham khảo dành cho sinh viên khối các trường kỹ thuật.Giai tich toan hoc-Cac vi du va bai tap-Liasko (Phan II tap 1)

¥.¥ LIASKO, A.C BOIATRUC, IA G, GAL, GP GOLOVAC

GIẢI TÍCH TOÁN HỌC

CÁC VÍ DỤ VÀ CÁC BÀI TOÁN

PHAN | (TAP ID

Người địch:

HOÀNG ĐÚC NGUYÊN, ĐOÀN VĂN BẢN

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC VÀ TRUNG HỌC CHUYÊN NGHIỆP

Hà Nội — 1979

WH, ASIIKO, AK BOAPUYK, 6.1 TAH, P.I1 POAOBAY

MATEMATHUECKHH AHA.IH3

BHPHMEPAX :H 3AHAHAX

Pñ7H, OY HKLM

HECKOABHMX TEPEMEHHDIX, KPATHDIE H KPHBOJIMHEMHDIE MHTETPA/IH

W3ñ41€1bcKo€ 0Ốb€ÄHH€HIIE

«BULA HIKO7A >

TO/IOBHOE H3/1ATEJIbCTBO Khen — 1977

CHƯƠNG ï

CHUỖI

§1 CHUỖI SỐ DẤU HIỆU HỘI TỤ CỦA CHUỖI CÓ DẤU KHÔNG ĐỒI

1 Khải niệm chung Ta gọi chuỗi số là biểu thức

ns ay

và các số đu được gọi là các số hạng của chuỗi số đó

Ñếu tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy tông riêng Š\ của chuỗi (1): Jim S,= 5,

n

trong do 4, = y ay, thi chuỗi (1) được gọi là hội tụ, Nếu lim S z= hoặc không

tồn tại thì chuỗi (1) được gọi là phản ky

Nếu a, > 0 thi chudi (1) được gọi là chuỗi tượng ; nếu aạ >> Ö (n == 1, 2, ) thì chuỗi (1) được gọi là chuỗi dương thực sự

2, Phần dư của chuỗi số sau số hạng thứ z Chuỗi

kan+1

được gọi là phần dư thứ n của chuỗi (1) hay là phần đư sau số hạng thử n và được ký hiệu là ra Nếu chuỗi (Ð) hội tạ thì phần dư rụ — 0 khi ñ — sơ Chuỗi (1)

hội tụ hay phân kỳ đồng thời với phần dư của nó và vì vậy khi nghiên cứu sự

hội tụ của chuỗi ta thường thay nó bằng phần đư thứ n

3 Điều kiện cần về sự hội tự của chuối, Đề chuỗi (1) hội tu, điều kiện cần

là thôa mãn đẳng thức

n—>e°

‘4 Tiew ehaan Cosi, Didu kiện căn và đủ để chuỗi €) hồi tụ la X/e >> 0 3À

‘sao cho én > N và với mọi số tự nhiên ø bất đẳng thức sau đây được thôa mãn:

| Äs¿p Tổ | ee fag cb Gage Hoe Ht nap |e -

8 Chudi-ditu hoa tang quát Chuỗi số

n=1 được gọi là chuối điều hòa tồng quái Chuỗi (4) hội tạ khí p >> 1 và nhàn ky khi p<T Nếu ø = I thì chuỗi này được gọi là chuỗi điều hỏa

6 Chuối trội, Nếu ứa < ca (n == 1,2 ), Gp > 0 thì chuỗi

(5)

được gọi là chuỗi trội của chuỗi (1) Từ sự hội tụ của chuỗi trội Œ) suy ra sự hội

tụ của chuỗi (1) và từ sự phân kỳ của chuỗi (1) suy ra sự phân kỳ của chuỗi trội bất kỳ của nó

tụ của chuỗi với các số hạng bạ suy ra sự hội Lụ của cbuỗi (1), và từ sự phận kỹ

của chuỗi (1) suy ra sự phân kỳ của chuỗi với các số hạng bạ Đặc biệt nẾn dy — by

khi n —> ©s thì các chuỗi với các số hạng a; và bạ đồng thời hội tụ hoặc đồng thời phân kỳ

8 Dấu biện so sánh với lay thừa, Nếu khi n—> œ

1

= OF

Un = O ( ) thì với p >> 1 chuỗi (1) hội tụ, với @ < 1 chuỗi (1) phân kỹ (đấu hiệu này được suy từ đấu hiệu so sánh ehung của chuỗi),

thì với 1, <Z 1 chuỗi đó hội tụ, và với /,>» 1 thì nó phân kỳ Với ÿ = l1 thì sự hội

tụ của (1) chưa xác định được, bởi vì có những chuỗi hội tụ hoặc những chuỗi phân kỳ mà L = 1,

4

19 Dầu hiệu Cosi Nếu (Í) là chuỗi đương và

ne

lim Via = 4%

noe thi voi q@< 1 chuỗi đó hội lụ, và nến g > 1 thì nó phân kỹ Với g = 1 thì sự hội 1ụ của chuỗi chưa xác định được

41, Dấu hiệu Raabe Nếu (1) là chuỗi đương thực sự và

lim 2 ( — 1) == p

thì với p > 1n6 hd: tu va voi p <i né phân kỳ Với p =— 1, sự hội tự hay phân

kỳ của chuỗi (1) chưa xác định được :

33 Dấu hiệu Gaoxơ Nến (1) là chuỗi đương thực sự và

nyt " + nite trong đó e > 0, | 0g | <7 c thì với ^ >> 1 chuỗi (1) hội Lạ và với x << 1 chuỗi (@) phân kỹ Nếu A -> 1 thì chuỗi hội tụ khi g > 1 và phản kỹ khi ụ < 1 Chủ ý rằng dấu hiệu Gaoxơ tông hợp đấu hiệu Đalambe và Raabe

13 Dấu hiệu tích phân Côsi Nếu hàm /(£)⁄3> 0 khi x (> 0 và không tăng

thi chuỗi ứ9 hội tự hay phân ky đồng thời với tích phân suy rộng ự hãy y 8 I 3 8

Bây giờ đễ thấy rằng dãy Š„ hội tụ, tức là chuỗi số đã cho bội tụ (theo định

nghĩa) Tông của chuỗi là

Selim S$, = lim = (1 ———-) =

mPa im = ( 3x77) L

2.a) qsine + g’sinde + + g®sinna ++

-b) geosa + q’cos2a + + qreosna + (1g) <1)

Gidi Gia six u, va vy lA cdc day téng riéng twong wng ctta b) va a) u va là tông của chủng Khi đó dùng công thức Ởle e'? = cosp + ising (i = V—T) tạ có

thd vidt uy + ivy = qe $ ge Ef qteltt a= et — ge Chú ý đến

diéu kién | q| <1 tacé: | ge! | <i; từ đó suy ra rằng

lim (gttei@t hay = 9,

q ( 1& 2geoss + g* 1 — 2gcosa + 4? )

Vi vậy u = # cosa — đ —_ qsing

Từ đỏ suy ra lim ‘sin (#2 + 1) 2 = U hay lim (sinarcosx + cosnasing) = = 0

n«>eœ

Chủ ý đến (1), từ hệ thức trên ta thấy rằng

lim cosz ==.U( s° Âm) Ũ Q)

Các đẳng thức (1) và (2) tương đương với đẳng thức

lim (eos2a+ + sỉn Pray == = 0 n—*

điền đó mâu thuẫn với công thức đã biết sin?s + cos’e = 1) Nguén géc của mâu

thuẫn đó chính là công thức (Í) Đo đó nếu # >¿ ÿx thì chuỗi đã cho phân kỳ Sự hội tụ của chuỗi khi = k= (k nguyên) là hiển, nhiên và trong trường hợp đó

tồng của chuỗi bằng không

của chuỗi đã cho mà không thay đổi thứ tự trước sau của chúng, cũng bội lụ

và cũng có tông như vậy vệ

Chứng mình, Từ sự hội tụ của chuỗi y ứa Suy Pa sự lồn tại giởi hạn của

n=t day con bất kỳ của dãy tổng riêng của chuỗi, và giới ban đó bằng téng S eta chuỗi Ta có thề chọn đấy con đó đưới dang

S y= So Heb + {py 4 = pp

ab ag bit ay s1 tuy +e + “pi = Spy

ay bg bee ob TT” 1= Speed

Khi đó theo dan bai lim 55, = 5 Nhung vì đấy tộng riêng của chuỗi thứ

hai 4; + Ag+ + An bang Su 1 nên lim (4; + dg + + da) eting bang Š,

+

đó là điều phải chứng minh

Điều khẳng định ngược lại không đúng vì từ sự hội tụ của dãy con không

suy ra được sự hội tụ của đấy chính Ta có thể lấy ví dụ Giá sử ay = (— 1)P+!,

Chứng mình, Giả sử pv là đẩy con tùy Ý của các số Lự nhiền ; Sạ và Sp, tượng

ứng là dãy tông riêng của chuỗi thứ nhất và chuỗi thứ bai Khí đó do các số

hạng ứa dương nên ta có các bất đẳng thức;

Sy SSS So, voi moi n (1 <a py)

»

Sp, SSS Spy voi moi nr (py <A < po)

Spy Sn SS py, VOI MO! A De << Pg)

Chuyên qua giới hạn bất đẳng thức sau cũng khi ¿—>> và chú Ý rằng chuỗi thứ

hai hội tụ, ta nhận được :

Gidi Hién nhién diy lang viéng ‘ctia chudi d& cho la diy ting, Ta sé chứng minh rằng nỏ khòng bị chặn Muốn vậy ta chi cin xét mot day con 3a olla nd (a ==

Tw do suy ra rang day con Sgu khong bi chita, nghia là day 5S, efing khong

bị chặn, Như vậy chuỗi đã cho phân kỷ

+" V8 TT (et WIFE (uy? gettin? la,

Bởi vậy đối với đầy Lồng riêng của chuỗi (1) ta có ước lượng

Từ đỏ, lưu ý tính đơn điệu của &¿, ta kết luận rằng chuỗi (1) hội Lụ, Khi đó trên

cơ sở ví dụ 6 chuỗi đã cho cũng hội tụ 5 4

co chudi di cho phan ky

19 Cho hai chuỗi phân kỳ » đạ và » bạ với các số hạng không âm Có

n=1 n=1 thể nói gì về sự hội lụ của các chuối

a) 3} mịn (ims ba) va ) 3) max (tg: Da)?

10

Gidi a) Néu a, <6, voi moi n thi min (ay, ba) = ay Do dé thea dau bài

chuỗi a) phân kỹ Nếu như các chuỗi » Congas »„ ban, chẳng hạn, phân kỳ, còn

Ví du, diy d6 c6 thé dwéi dang:

Ca flan,» ban, 42, 92m, +2, bang + 3 of (> Me)

Trong trưởng hợp này dãy (ông riêng của chuỗi na là tồng của các đấy tổng riêng của các chuỗi hội tụ (1), đo đó nó hội tụ +7 `

Như vậy chuỗi 35 min (đa, bạ) có thê hội tụ và cũng có thể phân kỹ,

b) Vi max (da, bn) > Gn >> U nên Sĩ >> Sa =>Eee (theo giả thiếu khi nce (ở đây Sy, ðu tương ứng là các đấy lồng riêng dủa các chuỗi b} và 5 ø) Do đó tróng trường hợp nảy chuỗi b) luôn luỏn phan Ry

11 Chứng minh rằng nếu chuỗi » đạ (đ, >>) bội tụ thì chuỗi XY a

cũng hội tụ

Chứng mình, Hiều nhiên rằng đẩy lồng riêng ca của chuỗi thứ hai đơn điện

và không giảm Ngoài ra do aa >U và chuỗi thứ nhất hội tự nên la có bất

đẳng thức:

ceed tet pO Sa taf ta = == S? < conal

` Bởi vậy, dựa vào định lý về đấy đơn điệu và giỏi nải, suy ra tồn tại lim cy,

n~—œ

tức là chuỗi thứ hai hội tụ theo định nghĩa

11

Chủ ý rằng điều khẳng định ngược lại không đúng Thật vậy giả sử

đ =S- Khi đó chuỗi x aor i tụ @heo đấu biệu se sảnh với chuỗi

cũng là chuỗi bội tu Tinh hội tụ của chuỗi thứ ba được suy lừ tính

+ Rs hức Ất nổi ‘ 5 1 tank 1A hội tạ của chuỗi thứ nhất nếu trong do ta dat by = —va dung két qua la chudi

phần dư của chuỗi được xét là phân kỳ, Do đo chính chuối § ấy ‘phan kỳ,

Cñủ thích, Từ điều kiện của bài toàn ta suy ra rẴng du s=~— + o (+)=

n—>

Chang mink Theo tiêu chuần Gôsi, từ sự hội tụ của chuỗi suy ra rằng

We>0 3N sao cho ÿ n >N và mọi p > 0 co bai dAng thtte day, + Gay + + +ứn¿; < = Vi a, la day duong đơn điệu, nên từ bất đẳng thức trên ta suy

&

TA Play, < — Tiép theo ta Hin lwot dit p= nr vA p=n-+- 4, tir dé ta thay ring 2Nftgn << & va (22 +1) deny, Ce khin >N, Do dé nữa < £ với n >> 2N bất kỳ (chin va 16) Bo la diéu cần phải chứng minh

13

Sử dụng Liêu chuẩn Côsi, chứng mình sự hội tụ của các chuỗi sau:

1s, 205 — G082): + (o82+ — cosä+ bot cosnx — cos(n + 1)# bon

+ cos(n + p)x — coSỆn + p+ la | — | cos(n+1)e _ _ cos(n+2)a

Do đó nếu lấy N= = + 1 thì theo tiêu chuần Côai chuỗi đã cho hội tụ

Sử dụng tiêu chuần Cỏsi chứng mính các chuỗi sau đây phân kỳ

via tyra Vary *

Chitng minh, Gia str ¢ = T Ta có ước lượng

Giải Chủ ý rằng số hạng tông quat a, ctia chuỗi có dang

(+ detge)t (gtyte ta) tet

nhận được bằng cách nhóm các số bạng của chuỗi đã cho, là hội tụ Muốn vậy

trước tiên ta đánh giá từng số hạng của chuỗi (1) Ta có

sánh chung chuết (1) cĩng hội tụ, Khi đó đựa trên điều khẳng định trong bài 6

1a kết luận rằng chuỗi đã cho hội tụ

oo

n=1

ta thấy rằng chuỗi (2) hội tụ theo dấu hiệu Đalambe

Bây giờ ta sử dụng bất đẳng thức (1) và đấu hiệu so sanh chung thi có thé khẳng định rắng chuỗi đã cho hội tu

Giải Mội cách không khó khăn la tim được lim ( +) =

Chứng mình, GIÁ sử s > 0 và đủ nhỗ đề cho s << qy — q Theo định nghĩa

giới hạn, với e đó ta tìm được số NÑ sao cho các bất đẳng thức sau được thỏa mãn:

g—< ME cCg + 6g 8< TH <0 + Bọ,

any

qTe<h<q+e

đa Nhân các s bất đẳng thức này vế với vế ta được

ang = BPN San <Q + PN crys

riêng tương ứng Š„ khác với Lồng Š của chudi Be hon 16789

Giải, Ta sẽ đùng kết quả trong bài trước ở đây ta đái n =1 Khi đó

ty = + và với n >> Í 1a có: p< > Dodé R, < 2 (5) < 107%, tir dé ta

Ching minh Ta chon & >> 0 sao cho théa m&n bất đẳng thức e < 1 — g Do

sự tồn tại giới hạn trên hữu hạn, với di chon ta tim duge sé N ma bit dau tr do

Bởi vì chudi Y) (q -Ƒ e)* bội tụ, nên theo dấu hiệu so sánh chung, ta kết luận rẵng chuỗi 3” ø„ cũng hội tụ

Điều khẳng định ngược lại không đúng Chẳng hạn ta xét chuỗi

>> ti Ty Ty Tạp Tớ chú ý rằng

Chứng minh điều khẳng định từ (1) suy ra (2) có thể được tiến hành giống

như trong bài 81, chương I, tap I

ĐỂ chứng mỉnh rằng từ (2) không suy ra được (1), ta xét chuỗi với

b) khi g > 1 chuỗi đó phân kỳ (đấu hiệu Êôsi tồng quật)

Chứng mình Giả sử q < 1 Với e cổ định thôa mãn điều kiện 0 << < 1 — q, theo già thiết ta tìm được số Ñ mà bắt đầu từ đó các bất đẳng thức sau được thỏa mãn 0 < ứy,;¡ < (g + E)N?Ù, , OS a Gg t+ 8)" (g + s <1) Nhưng vì chuỗi È (@ + e)" hội tụ nên theo đấu hiệu so sảnh chung, từ bất đẳng thức cuối cùng fa suy ra chuỗi Z a„ hội tụ

Giả sử @ > 1 Khi đó với s được chọn từ điều kiện Ö < 8 < g — 1 la lìm

được 3, sao cho với moi k > Äf các phần tử,của dẩy con any, War q khi

ny, — + ©) sé thda man các bất đẳng thức

Giải Theo đấu hiéu Cosi téng quat, ta cd

— _lan a_— Inn

Tim (ES) 2 <lim (=) no A ey,

( * m1) = I+ oad * Faas t? (5 i) kh noc

Theo đấu hiện Gaoxơ, tử đó ta thấy: với p > 2 chuỗi hội tụ và với ø < 2 chuỗi phân kỳ

Giải Bin di ty 85 ~~ vé dang

4q_ _ vn @++ VŨ 2+V9 .(24+Vn+1Ð 2

== ] <==

È và lập dãy Raabe R, ta thay chudi hoi tu

39 x p@+D.@+n=D 1 ý

n1

Giải Loại trừ các trường hợp tầm thường*khi ø là số nguyên âm hoặc

bằng không ta đơn giản tỷ số

(2n~—~ 1) Ỷ i + An) nie

23

Giải Lập tỷ số

we ae: ral (9) (tama th )O+pteG))=

hiệu Gaoxơ, đề thiết lập các điều kiện phân kỳ của các chuỗi tương ung, trong

tất cả các bất đẳng thức nhận được, ta thay dấu >> bằng dấu <

thia, = 6 ( nP— * 7) ở đây s » 0 bé tùy ý, " dang thời nếu p > 0 thi a, gidm tới

0 khi n —> so, tức là qu với n>n, đơn điệu giảm, tiến tới không khi n —> œ,

24

Chứng mình Ta bắt đầu với trường hợp p > 0 Cố định s, tùy ý (0 < 8; < Ø),

— o khi t—> œ nên từ bit

này thấy được như sau : với n >> n„,ở đây n„ là số đủ lớn, + >o (5) -<0 đó

>> 1) phần thử bai eủa mệnh đề được chứng tổ là đứng

đa

Ghủ ý rằng tỷ số này cũng có dạng như , đựa vào chúng mỉnh lrên la di

Cnet dén két mane, -» 0 khi n > o

Giái Biến đồi biéu thite cia sd hang téng quat a, va sử dụng cáo khai

trién (1 + a)", In (1 + +) theo công thức Macloranh với phần du dạng Pêanô, {a có

Giải Sĩ: đụng kết quả trong bài toán trước: la eó:

= HN 2= iw (Ge +o (a) = Ge)

1\.P oln ( + ~)

(n -> @) Ur a6 suy ra ring chudi hoi tu khi p > 1

Tiển hành tương ur, tir bat dang thire diéu kién thir hai cha bai todn ta

47 Chứng mỉnh rằng chuỗi y đ„ (đ„ >> tỳ hội tụ nếu lồn tại số œ >0

Nghiên cứu sự hội tụ của các chuỗi với số bạng tổng quát œ, nếu :

1

4 th “Tang th > #

" Ina;} la (n (lon

Giải Vì inn =a Ip (In (Inn)) > 1,1

khi n * exp (exp (expl,[)) nên heo dấu hiệu lêgarit chuỗi hội tụ

1

Inaz! (In (Inn))*

(a thấy rắng với n đủ lớn

lim (đt (nn)), 0

Inn

đựa vào đấu hiện lôgarit ta khẳng định rằng chuỗi đã cho phân kỳ

Chú thích, Dẫn hiệu lamê và dấu biệu lôgarit không cho phép ta xác định

> 1 voi mọi n nên theo dẩu hiệu lôgarit chuỗi

in (inn) Inn

e >0 tùy ÿ tồn tại n, sao chơ TT <1 +ekhin > nạ; nói một cách khác

đo sự tiến tới không của + In (ina) nên không tồn tại số « > 0 sao cho với mọi

hàm) với ø tùy ý và z đủ lớn Vì vậy đề nghiên, cứu sự hội tụ của chuỗi đã cho

ta có thể sử dụng dấu hiệu tích phân si Ta có :

51 Gy == Fann Un Game (a> 2)

Giải Như trong bài toán trước, ta đễ thấy rằng ở đây có thể sử dụng dấu

hiệu tích phân, Xét tịch phân

Néu p = 1 thi ttr dé ta (hay rang

%,

Nếu p > 1 thì đo Hm 2 = 6 voi e > 0 và y lùy ý, ta có thé viel

Haag Sp WILD Wad ton, ở đây p >>> 1,

Tương tự, nếu ? < i tht voi t > 0 đủ lớn ta có bất đẳng thức

cả hai trường hợp đ tùy ÿ) Điều đó cũng đúng (theo đấu hiệu tích phân Cỏsi) đối

với chuỗi đã cho

52, Dùng đấu hiệu tích phân và đấu biệu so sánh, xéL sự hội tụ của chuỗi

54 Giả sử A„(n = 1, 2, 3, ) là đẫy nghiệm của phương trình tga = 4,

và theo dấu hiệu so sdnh voi Iiy thira, chudi di cho hội tụ

Tương tự, ta có kết quả trong trường hợp Aa < 0

ding thive In(al) < nina và đấu hiệu so sánh chung ta kết luận tằng chuỗi đã cho

n=0 Chứng minh, Vì

0 < ứi +} 4; + đ † ty + ony S

< ứi + 2; + 4a; + + 244m, nên theo kết quả của bài 48 (ch I, tap I) và định lý về dẩy đơn điệu và giới nội,

từ sự hội tụ của chuỗi thử hai suy ta sự hội tụ của chuỗi thứ nhất,

Mặt khác, theo ước lượng

= (dag + dag sae + OE gna i) Sy + dy Fag net agnei,

từ sự hội tụ của chuỗi thứ nhất suy ra sự hội Lụ của chuỗi thứ hai

31

š7, Giả sử ƒ() > 0 khi z >> 1 là hàm đơn điệu không tăng, Chửng mính

rằng nếu chuỗi XY ƒ() hồi Lụ thì đối với phần dư thứ na của nó Ít = » /Œ)

Bây giờ ta dễ dàng thấy rằng từ các bất đẳng thức vừa nhận được suy tra các

Đề tính tông của chuỗi với độ chính xác đã được chỉ ra, ta cần sử đụng các ưởc lượng vừa chứng minh ở trên Trong trường hợp này lạ = 0,01;

oo

58, Ching minh d&u biéu Lobasepski : chudi số đương thực sự » an, VOI

n=1 các số hạng đơn điệu tiến tới không, hội tụ hay phân kỳ đồng thời với chuỗi

< pom + PSP 4 4 Pea Pat, @

trong đó m= MH Oe fe $e đạ„ là đấy con của đãy tổng riêng của chuỗi

trong đỏ C„ là dãy tông riêng của chuỗi thứ hai, nên tử (2) ta nhận được ước

Nghiên cứu sự hội tụ của các chuỗi sau:

Giải Sử dụng công thức Macloranh với phần dư dạng Pêanô và cũng dùng

các phép biến đôi cơ bản các hàm lượng giác, ta nhận được

x + Re

ni Giải Với n > 3 ta có các bất đẳng thức

Từ đó, dựa vào đấu hiệu tích phân và đấu hiện so sánh chung fa kết luận rằng

chuỗi ää cho hội tụ

Như vậy, dựa vào đấn hiệu tích phân Cỏsi và đấu jbiệu so sánh chung, từ hệ Lhức

cuối cùng ta suy ra rằng, chuỗi đã cho phân kỳ,

Giải, Với a > 0 chuỗi đã cho phân kỳ, vì số hạng tổng quải không tiến tới không khi n —> œ Ti thế ta sẽ xem rằng ø < 0, và khi xác định bậc tiến tới của:

số hạng tổng quát khi z: —> o ta sir dung cong tare Macloranh Ta có :

n — onion _ Ina Ina

Chủ thích, bài 61 va 64 có thể giải như sau, Ta ký hiệu a, = nh TÍ —1,

bạ = mm* — 1, trong đó cbuỗi với các số hạng bạ được xét với tất cả các giá trị của tham số mà lim 6, = 0 Tiếp theo, ta có:

Vì các đẩy (2 +4} và (2 +<) khi n —> œ tiến tới cáo hằng số tương ứng

1 1

66 »„ ( In —l (st =)) nh "1 HH ne

not

Gidi Hi8n nbien, néu a <0 Uni chudi phân ky, vi sé heng t3ng qual khong

* tiến tới không Tiếp theo, với œ >> 0, sử dựng công thức MacloranF ta nhận được:

oe” (sn ww —n (: sin =)

==In(r (Se~ get gel)) 2 2e ) khi n ~— œ

Như vậy theo đấn hiệu so sánh với lñy thừa, chuỗi hội tụ với ø > 3

0 < nT Winaselne tan) C— jj~(hlnk+elne bay)

voi n> N, trong dé N là một số sao cho bina + elnalnN > 1,

Néu cine < 0 thì số hạng Lồng quát của chnỗi khong tiến tời khỏng- tức là chuỗi d& cho phan ky ;

Nếu c= 0thì, theo dấu hiệu so sánh, chuỗi hội tụ với 2lnw >> 1 tức là với

Giải, Dễ thấy rằng với n >1 bất đẳng thức san đây được thỏa mãn :

E aa, dựa vào bài toán 51, hội tụ cñng với điều kiện này Bởi vậy, theo đấu hiệu

so sánh chung, từ (1) và (2) suy ra chuỗi đã cho hội tụ với « > 2,

Thay thế các đẩy z„ (n = 1, 2, ) bằng các chuỗi tương ứng, hãy xét sự hội tụ của nó, nếu :

Do đó, sự hội fu cia đẩy za tương đương với sự hội tụ của chuỗi

y — Chuỗi cuối cùng bội tụ theo đấu hiện tích phân Côsi, vì vậy dãy,đã

Tử

n=2

cho cũng hội tụ

§3 CÁC DẤU HIỆU HỘI TỤ CỦA CHUỖI CÓ DẤU THAY ĐỒI

1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi họi tụ có điều kiện ¬

Ta nói rằng chuỗi > đ„ hội tự tuyệt đối nếu chuỗi y laa[hội tụ Nếu chuỗi

» đ„ hội tụ còn chuỗi } [ đ„ | phân kỳ thì ta nói rằng chuỗi » a héi tu có

điều kiện

Nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối thì các số hạng của chuỗi có thể đồi chỗ cho

nhan theo thứ tự bất kỳ Tông của chuỗi đó vẫn giữ nguyên Nếu như chuỗi chỉ

hội tụ có điều ki thi bằng cách đổi chỗ thích hợp các số hạng của nó, ta có thể nhận được chuỗi có tông bằng số cho trước bấi kỷ (trường hợp này không loại trừ -E)

40