Giải tích toán học-Các ví dụ và bài tập-Liasko (Phần II tập 2)

Tài liệu tham khảo dành cho sinh viên khối các trường kỹ thuật.Giai tich toan hoc-Cac vi du va bai tap-Liasko (Phan II tap 2)

Y LIASKO, A.C BOIATRUC, IA G GAI, G.P GOLOVAC

GIẢI TÍCH TOÁN HỌC

CÁC VÍ DỤ VÀ CÁC BÀI TOÁN

PHAN Ii (TẬP II)

Người dich:

DANG HUY RUAN, LE TRONG VINH

NHÀ XUẤT BAN ĐẠI HỌC VÀ THUNG HỌC CHUYEN NGHIỆP

Hà Nội 1979

CHƯƠNG +

TICH PHAN PHY THUOC THAM SO

$1 TICH PHAN THUONG PHU THUOC THAM SO

1 Tinh liên tục của tích phận Tích phân

p(y)

g0)

là hàm liên Lục trên đoạn [ö, BỊ

2 Qua giới hạn đưới dấu tích ‘phan

Voi cae điều kién d& phat biều trong mục trước, thi những ‹ công thứ, san

“Nếu bàm f(a, y) lién tuc theo € {d, ẢJ khig cố định và hội lụ đều đổi với œ đến hàm giới hạn g(®), khi U —> 0, €(b Ø), thì -

A lim 2 [m ‘y) da == | gta) de

¥~?Yo

a

(la cần lưu ý rằng, ạ có thể là một số cũng có thể là ky hiệu),

Néu sO yo hitu hạn, thì sự đần đều của ham f(x, ) đếu gỆt) khi ÿ ~> ge có nghĩa là:

1) tồn tại hàm giới hạn g(+) hữu hạn;

lim /(#, y) == g(r);

` Y->ÿo

2) 4 6 >> 0 38(e) > 0 sao cho, đối với mọi ở, mà đối với chủng hàm ƒŒ, 0) xảo định thì | /(œ, ) — g(*) | <<, khi | ~- 0l < ồ,

Trong trường hợp , = œ, chẳng hạn ø = +e,la thay bất đẳng thúc

Ụ — đe] <ô trong định nghĩa đã cho bang bất đẳng thức g > ð@œ) >> 0

3 Vi phân dưới đầu tích phân Ngoài những điều kiện đã nêu trong

mục 1, néu dao ham riêng fj(a, y) lién tuc trong hinh cht nhat [aca SG b<y< Bi, thitich phan ( (1) la ham kha vi trén doan [b, B| và đối với nó tông thức Lepnilt sau đây vẫn đúng ˆ

1 Khảo sát Lính liên tực của hàm

Fy) =| I, de,

ở đây ham /(r) liên tục và đương trên đoạn [0,1]

Giải Các hàm AX) = ——— va f(z) kha tich theo x trén [0,1] và khong

đôi đấu khi 0 < z << 1 Ngoài ra, hàm /(+) liên tục, Bởi vậy, tãt cả các điền kiện

của định lý trung bình đều thỏa mãn, vả la có the viết:

Như vậy hàm Fig) gian doan tại điềm 0

ae ) liên tục tại mỗi một hình chữ nhật

-0<œ&1;ô<<« 4⁄[0st£ <1: —Á4s«#< ô] ở đây õ >0, 4 > Ú, nên, theo mục 1, FY) liên tục trong từng hình chữ nhât đã chỉ ra, VÌ với các số tùy ýô>>0, 1> 0 hàm này vẫn liên tục, nên từ đây suy ra, Œ) liên tục khi,

oO

'

; d) lim {- In Ma + ial) dx lim In@ titel) dz = i

%—>eO

1

Tỉnh hội tụ đều của

eR) sO, nghia la A= 0

4 Giả sử hàm /(+) liên tực trên đoạn | A 8), Chitug minh rang

Chứng minh, Nếu đưa vào xéL nguyên hàm # (x) eta ham /@), thi thee công thirc Niuton — Lepnit ta duce:

—1

ones minh Giả sử cho ồ > 0ì Ta xét bất dang thức :

| / 6) 96) dư — ƒ @|< s/f ƒ() en(+) dư + f ƒ(r) en(+)d+

Dùng định lý thứ nhất về giả trị trung ; bình và điều kiện (1) la tức lượng

được số hạng thứ hai trang vŸ phải của bất đẳng thức (1)

ở đây liễu | <<E

Nhờ tính liên tục của hàm ƒ(t), ta luôn luôn cỏ thể chọn đƯỢC SỐ £, SAO

Giải Không thể được, Vị nếu chuyên qua giới bạn đưới đím tích phân, ta được 4 =U; còn nếu tính tịch phần, sau đó mới tìm giới hạn thì sẽ được:

= — 2 ạ yo! lim ít men : + ơn, 5 3

Ta cần lưu ý rằng, sở dĩ không thục hiện được việc chuyên qua giới bạn

3

%” XK

b) F(x) = Ị dạ { sin(at 4 y? — z®)du ,

ö _ K-¬#

Giải, a) Giả sử lồn tại các đạo hàm riêng liên tục của bam f(u, v), o day

9

1Ð

ên tục trên fa, bì

Giải biều điễn tích phản đã cho dưới đạn:

va dung cong thie Lepnil, ta duoc:

Lưu ý rằng, tại các điểm ø = a vaw = b dao ham F(x) 160 tai

Hơn thế, nếu dùng cóng thức đã chỉ một lân nữa, la tim được:

được thỏa mãn, Đăng đẳng thức này và đạo hàm theo than số ta được:

Chirng mink Whi x =6.0 cong thức (1) được chứng minh bằng quy nạp Quả vậy, khi œ = 1 hệ thức (1) hiển nhiên Giả sử rằng công thức (1) đã đúng với

„? = È, bằng cách đạo hàm cả bai về của đẳng thúc theo œ, rồi tích phân từng phần, ta được: :

Bay gid La chứng mình công thức (1) ding khi a = 0

Dùng khai triền sinz thành chuỗi Macloranh, ta được :

“Hơn nữa, vì khi x + 0

AL Hay xfip xtham ftv) = aÊ bằng hàm tuyến lính ¿ + ba, để cho

3 I(a, DY ox [ (u + bài -~ a2” dự =s mịn,

1

Giá Vì hàm đưới, dấu tích phân có các dao ham riêng liên tục (với avab

cong thire Lepnit Bao ham đưới đấu tích phân theo a, b

bất ky), nén cot thé ding

tuyển Tính y = da = —— thoa man bai toan ‘da được đặt ra

12 Tim các đạo hàm của những tích phân elipie đảy đủ

và biều diễn chủng qua cae ham E(k) va (4)

Chứng mình rằng, P(&) thoa mu phương

E(k) +: A(R) + Toe = Ú,

trinh vi phan

“dì =k [ —Singdose) [Keo ¿de _

thỏa mãn phương trình Betxen

xed? (rv) & al (x) + Cc? — 1°) Fax) = 0,

thỏa mão phương trình dao động của đây đàn 5 : = eon (a + Ú) và các điều

i

kiện ban dau: u(x, 0) = f(x), ul(x, 0) == F(2)

Giải, Tính các dao bam cần thiết, ta được

¬ = 5 (f? (@@ # at) + ƒ)@ — a9) + > (F(a + at) ~ F(a — al)

Bay gid dé dang thay rang, hàm da, thỏa mãn phương trình đao động của dây

Dang phương pháp đạo hàm theo tham số, tính các tích phân sau:

Tu day, bang cach tich phan theo a, ta duoc:

| _— dị == min(jal $e] bp Fe, 3)

Ding dang thức hiền nhiên :

Vi các số a, va b, có thể nhỏ tùy ý, nên kết quả nhận được đúng với các

số a và b tày ý khác 0 Nếu một trong những tham số bằng Ú (chẳng hạn b = 0), thì tích phân đã cho trở thành tích phân suy rộng (xem bài 167, chương IV, tập ]), :

và ta không có cơ sở để thừa nhận rằng, trong trường hợp này công thức Gì đúng Bởi vậy, dùng bài toán vừa được nhắc tới, ta có :

- 17 a) = | In(1 — 2acosx + a*) dx

Giải Giả sử | |a| —1] > © >0 Khi dé cacham/(a, #)=ln (1 — 2aeosz-La2) ;

Dùng phương pháp hệ số không xác định và công thức Niutơn — Lepnit, ta được:

Ở đây Cy; C, 1a cac hằng số tùy ý ý

Vi kết quả nhận được đúng với e = 0 nhỏ tùy ý, nên có thể viết :

(xem bài 167, chương IV, lập 1D

Vi I (0) = 0, nên C; = 0 Ngoài ra, như ta đã thấy, tử (1) suy ra

lim I(a)= 0 Bởi vậy, cùng với (2) Ía-kết luận được: hàm I (a)

lim - l{@) = 2x, lim ‘tn La{ + lim (=) = lim | Hạ) =

Naw vay, ham 7 (2) tiên tuc với mọi a Do do, ta dat C,= 0 và viết đáp

sỡ dưới dang:

, neufal <1

21

với a Do 46,€ = 0 va I(a) = > In(1 + a) khi a > 0

Nếu chủ ý đến đẳng thức hiển nhiên Ï{ø) = Ï({4]) sgna, cuối cùng la

có thê viết : l(a) = s sgna In (1 + a) voi moi a

Set

từ đây /{a) = rn arcsin q +- Œ

Cho e đần tới 0, ta chú ý rằng, đấp số chỉ đúng k khi|aJ <1 VII(0)=0

nên © = 0 Như vậy, l(a) = arcsind

Vị hHảm i /(Œ, U) = — Ụ) ———m===— là hàm liên 1 tục ; trong g hình chữ nhật

(+ z5) VÌ: — Rịu < #® <1 —E; 0s sẽ 1], nên dùng mục 4, từ @) ta được:

Vi ham B(e, y) én tục khí Ð se < 1; 0 << (với e= Ú, ta đặt

Đ()= lim B (s, y)), nén theo mục +, ta có:

22 Tỉnh các tích phân :

1

a) sin ịn =) Sen Ts bì cos(In ~} — — de (a~ > 0, b> 0)

trong hinh che nhật R[D z < 1; a< g <S bỊ (hi z = 0 ta dit f,(0, gì =

= ƒ2(0, 0) == 0), bởi vậy có thể thực hiện phép ` mà phan:

"" a sin ịn x] ) ax: fa] x* cos (m =) dv {In

Thực hiện php ire % =6”, ta được;

Các bàm /¡(+, J) = 2Ï sin ịm >) và fo(% y) = vw eos (I =) lién tuc x

23 Gia sir #(k) va E(k) là những tích phâo elipHi: đầy đủ (xem ví dạ 12),

a) f F (ky) k dk == E(k) — ki F (k);

» | E(k) kdk = = (1 +k?) E(k) ~ AP F(A) & day AP = 1 — 2?

Chứng mỉnh, Từ các biều thức tính dao hàm của cáo tích phân eliptic đầy

du (xem bai da din) dé dang tim duoc:

Từ hệ thứ nhất bằng phương pháp tích phản từng phần từng số hạng theo ke với cận lừ 0 đến #' ta được công thức a) Thực hiện lương tự đối với hệ thức thứ hai, ta được công thức b), ,

24 Chirng minh eéng thức

{ ul, (x) dx = x1, (x),

6 day T(x) va 1,(®) là những bàm Betxen với chỉ số 0 và 1,

Giải Trong phương trình Đetxen (xem bài 13) đặt n = 0 Khi đó ta được:

Nhưng 1,(0) = 0, nên từ hệ thức này suy ra cóng thức cần tìm

§Z CÁC TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ

SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA CÁC TÍCH PHÂN

1 Định nghĩa hội tụ đều, Giả sử tích phân suy rộng

-

ở đây ham f(x 9) xác định trong miền R[a < # < -Ƒ %; J¡ << ga} bội tụ

26-— Ta nói rằng “tích phân (J) hội tụ đều: trong khoảng Ø¡ << << ; nếu

e >» 3Ø) sao cho *⁄b >> Ø bãi đẳng thức

2 Tiêu chuần Cosi, DE tich phan (1) hội tụ đều trong khoảng (7¡, ÿ;) cần và

di ia Ve => U Fe), sao cho khip >a > A (s) bất đẳng thức

8

| [re y) dx

thỏa mãn đồng thời đối với mọi € (Uu› ta):

3 Dấu hiệu Vayeestrat Tich phan suy rộng (1) hội tụ tuyệt đối và đều trong khoảng (0, /;), nếu tồn tại hàm F(x), sao cho | f(x, y) |< < F(x), khi

agae<-+ và tích phân suy rộng i F(x)dx hoi: tụ Hàm (3) được gọi là

ham làm giả (hàm trội) đối với /(#, 0) ’

4, Qua giời hạn dưới dấu tích phân Nếu: 1) hàm ƒ(2, ), xác định trong miền R, lên tue theo a va khiy—-y, € (yn Ya) no din den déi voi w toi ham gidi han g(x) trong tung doan hiru han [a, A]; 2) tich phan (1) boi tụ đều trong

lim { te yydax = i lim f(x, y)dv == { g(x) dx

Néu ham/(x, y) lién tue voia< a< +e, y,<y <y và tích phân (1)

miền Ö Ca<+.0, y, Cy < ye va tích phân (1Ð) bội tụ đều trên đoạn [0y, g;], thì

nó là mot ham lién tuc déu trén doan nay

27

Nếu: 1) ham f(a, y) liên Lục và giới nội trong miễn đã nói; 2) hàm s(+#)

hội tụ đều và là hàm liên tục đều đối với tham số ÿ trên đoạn [Uy Yo)

Cac dinh ly tương tự cũng đúng đối với các lích phân của những ham’ không giới nội

Xác định miền hội tụ đều của các tích phân:

Điều kiện này là điều kiện cần Quả vậy, biéu dién tich phan ¢ dưới dang : chuỗi và dang định lý trung bình, ta được:

28

Vi ; = O* ( Z1 khi £ > + 0, nen, theo dau hiệu so sánh, tích phân thứ

nhất hội tụ với œ<< 2 và phân kỷ khi a > 2 Theo dấu hiệu Birichlé, tich phan thứ hai hội tụ với >0, Khi z < 0 nó phần kỳ, bởi vì với điều kiện này chuỗi

số tương ứng: phân kỳ Quả vậy, do:

nên mệnh đề vừa nêu trở thành hiền nhiên

Như vậy, bây giờ có hen noi rang, nếu gq > 0, thì tích phân xuất phát hội _tụ với điều kiện 0 < Pp+9gu=‡ << 2 hoặc là |p — LỊ<g

q -NÑếu q < 0, thì đặt q = — giŒ¡ >> 0) và lý luận tương tự, ta đi đến cùng _điều kiên hội tụ như vậy đối với tích phân đã cho: lp— 11-=@,hay|p— 1l < —

Nếu kết hợp cả hai trưởng hợp và chú ÿ rằng khí q = 0 tich phân phân kỹ, ta

được đáp số cuối cùng: tích phân đã cho chỉ có thể hội tụ với điều kiện

1

1 cas

-theo dấu hiệu Điriehlê, hội tụ khi n < 0 hoặc khi n> > nên tích phân được

xét hội tụ, theo đấu lệ Đirichlẻ, với cùng điều kiện aint trên, Với thủ thuật đã

dùng ở bài 25 có thể chỉ ra rằng đây là điều kiện cần,

+? +sina #P + sin #, #P + sinz ~

Đồng thời, lưu ý rằng, đây là tích phân suy rộng và hội tụ theo đấu hiệu so sánh

hội tụ với n >> — 1, theo đấu hiệu Lepnit Ñến lưu ý thêm rẵng, khí ñ < — 1

số hạng tông quát của chuỗi (*) không tiến tới 0,ta đi đến kết luận : tích phân

33 Hãy phát biểu theo nghĩa khẳng định về sự hội tụ không đều của tích

hội tụ đều trong (Yis Yo):

Chứng mình Giả sử cho số-s > 0 tùy ý Do điều kiện 1), theo tiêu chuẩn

Côsi, 3B (e), sao cho ¥.b’, &, b” x BÍ) các bất đẳng thức :

b”

được thỏa mãn, mà khóng phụ thuộc vào y € (yy, gp), ở đây

M =z sup | @ (2, g) | s0 (khi 3ƒ = 0 định lý đúng một cách biền nhiên), xy

Hơn nữa, vì hàm ¿ (+, g) don diéu theo a, con ham f (®, y) kha tích, nên theo định lý trung bình thứ hai, ta có:

,

đồng thời với mọi t € {0ý 0) Và điều này, theo liên chuẩn Còai, có nghĩa là :

35, - Chứng mình rằng, nến ) hàm sọ "` 1) > O khi x —> + o, ye (uy 92)

‘va don điệu thea ã' (a ++ oo); 2) nguyen ham | Ƒq.)a (a1 < cy < Ja)

giới nội bởi hằng số tuyệt đối 4, thì tích phân

a

hoi tu déu trong mién (y;, yo)

Claeng mink, Ding định lý trung bình thử bai đối với lích phân

b

4

36

Sb py) J (Oe, y) dx | <M C19 (b+ 0,9) + Le(b” =0, 0) 1)

Vio (+, ) dần đồ tu tới 9 theo tham số € (W\, Ya) khi v—> + œ= nên

fe >> Ú tìm được số Ö (e), sao ‘cho Ị Lọ( +0, I< ae wee (oe

—— với yi << Yo, ngay khi L’ > B va b”

bằng mội tích phân hội tu, khong phụ thuộc tham số

( “hứng minh địch phản nh a hội tu, néa ye > ‘oo Be),

và tử ước lượng này suy trực tiếp ra sự hói tụ đều của tịch phản trên (0, f).'

- Ta sẽ nêu lên lý do không thể thực hiện việc làm: già GIÁ : sử hàm làm gia F(z) nao d6 tén tai Khi do phải có `

Giải Trong trường hợp thứ nhất đễ đàng xây dựng hàm làm gia F(x)=

= be”**, Bởi vậy, theo đấu hiệu Vâyeostrat, tích phần hội tụ đền

7

đã

Trong trường hợp thứ hai, thực hiện nhép thế / = z# (œ >0, œ >0), ta

| 38 Chứng n minh răng, tích phân Đirichlẻ

| [ sin ax dy J>:( <ec “J sin { at)

Qua.vay, dé co khang dinb trên "chỉ cần đặt 4 < “ `

b) Vi { " - = + ©, nén di voi cac sé thy +

này tích phân hội tụ không đều

40 Khảo sát sự hội tụ đều của tích phân

J Secs

sỉ + eo

(đồng thời xem bai 39) Diéu nay chứng tổ tích phan hot ty khong đều

Khảo sát sự hội tụ đều trên các khoảng được chỉ ra của các tích phân sau:

(4 (OR) ce xe“ & 0) và giới nội bởi đọn vi Boi vay, theo bai đã dan,

‘tich phan hoi tn déu

đi