Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp được một đường tròn.. Một đường thẳng đường đi qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối của tia CD tương ứng tại E, F E, F không trùng với B, C.. Tiếp tuyến của đườ
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN: TOÁN 10
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1 (3,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình: (2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3)
4
y x xy
�
�
�
2 Tìm tất cả hàm số f : � � � thoả mãn:
f x y f x y x y�� và 2
1 ( )
0
f x
� �
Câu 2 (2,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên tố p q, sao cho 7p 4p 7q 4q chia hết cho pq
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp được một đường tròn Một đường thẳng đường
đi qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối của tia CD tương ứng tại E, F (E, F không trùng với B, C) Gọi I I1 , 2 và I3 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của
các tam giác ABE, ECF và FAD Tiếp tuyến của đường tròn ( )I1 song song
với CD (gần CD hơn) cắt tại H Chứng minh rằng H là trực tâm của tam
giác I I I1 2 3
Câu 4 (2,0 điểm).
Xét các số thực dương a b c, , thỏa mãn a 2b � 3c 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 9 4 2
L a b c
a b c
�
Câu 5 (1,0 điểm).
Tìm tất cả các tập hợp X là tập con của tập số nguyên dương thoả mãn các tính chất: X chứa ít nhất hai phần tử và với mọi m n X m n, � , thì tồn tại
k�X sao cho n mk 2
Trang 2ĐÁP ÁN:
1 2,0 điểm
(2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3) (1)
y x xy
�
�
�
Điều kiện xác định: 1; 1
x� y�
(2) x y x(4 1) x 4x 1 y 4y 1
được
0,5
(2x 3) x (2y 3) y 2 (2x 3)(2y 3)
Do (2x 3) x (2y 3) y 2 (2x 3)(2x 3)
Suy ra (1) �x x(2 3) y y(2 3) � (x y )(2x 2y 3) 0
x y
� thay vào (2) ta được 2
0 ( )
x
x x
�
�
�
� �
�
lo� i
Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 1;
2 2
� �
0,5
1,0 điểm
Ta có: f x y f x y� f y( ) f(0) y y��
( )
f x a x
� � �
� �
� � Mặt khác f � �� �1 f x( ) f(0)x a x �x 0
0,25
Trang 32 2
1
a x
x x
2 2,0 điểm
,
p q đều khác 2, 7 Không mất tính tổng quát ta giả sử
q�p Khi đó từ giả thiết ta được 7p M 4p p hoặc
7q M 4q p
0,5
TH1 7p M 4p p, theo định lí Fermat ta có:
7p �� 4p 3 modp 3 0 mod p p 3. 0,5
TH2 7q M 4q p, ta có p 1, q � 1 tồn tại 2 số nguyên dương u v, sao cho qvp 1u 1
7q 4 modq p 7qv 4qv mod p 7 p u 4 p u mod p
7 4 mod p 3 0 mod p p 3.
�
0,5
Với p 3, từ giả thiết ban đầu ta được:
7 3 4 3 7q 4qM 3q� 9.31 7 q 4qM 3q �q 3,q 31.
Vậy p q, � 3, 3 , 31, 3 , 3, 31
0,5
3 2,0 điểm
Trang 4Giả sử tiếp tuyến qua H song song với CD của đường
tròn I1 cắt BC tại K và đường thẳng qua H song song
với BC cắt đường thẳng CD tại L, suy ra CKHL là một
hình bình hành
0,5
Do các tứ giác ABCD, ABKH ngoại tiếp, nên
AD HL AD CK AD BC BK
AB CD BK AB BK CD AH HK CD
AH LC CD AH DL
Suy ra tứ giác ADLH ngoại tiếp, hay HL tiếp xúc với
3
( )I
0,5
Vì FDuuur��uuur uuurKH FH; ��HAuuur nên các đường phân giác HI1
của góc �AHK và FI3 của góc �HFD vuông góc với
nhau; hay I H1 I I2 3 (Do F I I, ,2 3 thẳng hàng) (1)
0,5
Chứng minh tương tự, cũng được HI3 EI2 hay
I H I I (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
0,5
4 2,0 điểm
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
4
� � � ��
� � dấu đẳng thức xảy ra khi
và chỉ khi a 2
2
� � � ��
� � dấu đẳng thức xảy ra khi
và chỉ khi b 3
4
� � dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c 4
0,5
Trang 5Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được
8
a b c
a b c
� (1)
Mặt khác, do a 2b 3c� 20 nên 3 5
4 2 4
a b c � (chia hai
vế cho 4) (2)
0,5
Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta được
3 9 4
13.
2
L a b c
a b c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 2,b 3,c 4. Vậy
giá trị nhỏ nhất của biểu thức L bằng 13, đạt được khi
2, 3, 4.
5 1,0 điểm
Giả sử tìm được tập hợp X thỏa mãn và m n là hai
phần tử bé nhất của X Khi đó, do cách xác định X nên
tồn tại k�X sao cho n mk 2 Suy ra m k n� � và do đó
k m hoặc k n
k n �n m n �m n vô lí
0,25
Với k m �m n m 3 �m 1
+) Nếu |X | 2 thì tập hợp X m m m, 3 1 .
+) Nếu |X | 3 � , gọi q là phần tử bé thứ ba của X (tức là
m n q ) Khi đó tồn tại l�X sao cho 2
.
q m l
0,25
Do q l nên hoặc l m hoặc l n
Nếu l m thì q m 3 n, vô lý Vậy 3
n m
q m l m
0,25
Nhưng tồn tại t�X sao cho 2
q nt , do đó t m 2 Mà
m m m �m � X , vô lý
Vậy |X | 2 và X m m m, 3 1 .
0,25