Nhằm giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập những kiến thức cơ bản, kỹ năng giải các bài tập Toán nhanh nhất và chuẩn bị cho kì thi HSG sắp tới tốt hơn. Hãy tham khảo Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 10 dưới đây.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN 10
Thời gian: 150 phút
Bài 1 (6 điểm)
a) Giải phương trình sau trên: 4x2 +12x x+ =1 27(x+1)
b) Giải bất phương trình sau: x 95 3 ≥ −x 2
− −
Bài 2 (3 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số n+ 26 và n− 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó
Bài 3 (3 điểm)
Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng KAB· = 2·KAC Chứng minh rằng FL vuông góc với AC
Bài 4 (4 điểm)
Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử , tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần
tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử
Bài 5 (4điểm)
Cho các số dương , ,x y z Chứng minh bất đẳng thức:
( ) ( ) (2 ) ( ) (2 ) ( )2
3
x y z
Trang 2ĐÁP ÁN
Điểm
Bài 1 a) Giải phương trình sau trên ¡ : 4x2 +12x x+ =1 27(x+1)
b) Giải bất phương trình sau: x 95 3≥ −x 2
− −
Lời giải: a) Điều kiện: x+ ≥ ⇔ ≥ −1 0 x 1
Phương trình đã cho tương đương với
4x +12x 1+ +x 9(1+ =x) 36(1+ ⇔x) (2x+3 1+x) =(6 1+x)
(1) (2)
Ta có
9(1 ) 4 4 9 9 0
x
Ta có
81(1 ) 4 4 81 81 0 81 9 97 (2)
8
x
Kết luận: x=3 ; 81 9 97
8
x= − là nghiệm của phương trình đã cho.
b) Điều kiện: 5 3 0 2
8
x x
x
≠
− − ≠ ⇔ ≠
TH1 : Xét x<2 ta có : ( )1 9 2 9 2
5 x 3 x 2 x x
( )2
2 x 9 3 x 2 3
⇔ − ≤ ≤1 x 5 Vậy 1− ≤ <x 2 là nghiệm
TH2 : Xét 2< <x 5 ta có : ( )1 9 2 9 2
5 x 3 x 2 x x
0,5 đ
1 đ
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
Trang 3( )2
2 9
x
⇔ − − ≥ ( Bpt vô nghiệm)
TH3 : Xét 5< ≠x 8 ta có : ( )1 9 2 9 ( 2) 0
9 ( 8) ( 2) 2 10 7
⇔( x−8) ( x2 −10x+ ≤7) 0
5 3 2
8 5 3 2
x x
≤ −
⇔
< ≤ +
Kết hợp với miền x đang xét ta có 8< ≤ +x 5 3 2 là nghiệm của Bpt
Vậy tập nghiệm của Bpt là :S = −[ 1;2) ∪(8;5 3 2+
2 đ
0,5 đ
Bài 2 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số n+ 26 và n− 11 đều là
lập phương của hai số nguyên dương nào đó
Lời giải: Giả sử có số nguyên dương n sao cho n+ 26 = x3 và n−11 y= 3
với ,x y là hai số nguyên dương ( x y> )
1 đ
Trang 4Khi đó ta được x3 −y3 = 37 ⇔ (x−y)(x2 +xy+y2 ) = 37.
Ta thấy 0 <x−y< x2 +xy+ y2, nên ta có 2 1 (1)2
37 (2)
x y
x xy y
− =
Thay x y= +1 từ (1) vào (2) ta được y2 − y− 12 = 0, từ đó có y =3 và
38
n=
Vậy n=38 là giá trị cần tìm
1,5đ
0,5 đ
Bài 3 Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là
hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng
· 2·
KAB= KAC Chứng minh rằng FL vuông góc với AC.
Lời giải:
A
L
F B
Đặt AB=c, AC=b, BC=a, ·KAC= α Khi đó: KAB· = 2 ; α ·BAC= 3 α
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABK và ACK, ta được:
; sin 2 sin sin sin
Do BK=2CK, nên từ các đẳng thức trên ta có: os sin (*)
sin
B c
C
α =
Lại có:
0,5đ
Trang 5( )
2
.cos cos3 (1)
2 os 2 cos 2 os
2 cos cos 2 os os3 cos cos3 (**)
α
Thay (*) vào (**), ta được: LA2 −LC2 =bccos3 α (2)
Từ (1) và (2) suy ra: FA2 −FC2 =LA2 −LC2
Theo bổ đề 2 của định lí carnot, suy ra CA vuông góc với FL
( Chuyển qua vectơ ta cũng có CA EF⊥ )
2 đ
0,5 đ
Trang 6Bài 4 Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử , tìm số lớn nhất các tập con gồm 3
phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này
không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử
Lời giải:
Ký hiệu X là số phần tử của tập hữu hạn X
Gọi B1, B2,…, Bn là các tập con của A thỏa mãn:
3, 2 , 1, 2, ,
Giả sử tồn tại phần tử a ∈A mà a thuộc vào 4 tập trong số các tập B1,
B2,…, Bn (chẳng hạn a∈B1, B2, B3, B4), khi đó: B i∩B j ≥ 1 ,(i j = 1, 2,3, 4)
.Mà Bi ≠Bj nếu i≠j, tức là B i∩B j ≠ 3 Do đó B i∩B j = 1 (i, j = 1, 2, 3,
4)
Từ đây A ≥ 1 +4.2 = 9, điều này mâu thuẫn
Như vậy, mỗi phần tử của A chỉ thuộc về nhiều lắm là ba trong số các
tập B1, B2,…, Bn Khi đó 3n ≤ 8.3 ⇔n ≤ 8
Giả sử A = {a1, a2,…,a8}, xét các tập con của A là:
B1 = {a1, a2, a3}; B2 = {a1, a4, a5}; B3 = {a1, a6, a7}; B4 = {a8, a3, a4};
B5 = {a8, a2, a6}; B6 = {a8, a5, a7}; B7 = {a3, a5, a6}; B8 ={a2, a4, a7}
Tám tập hợp trên là các tập con gồm ba phần tử của A thỏa mãn
2
B ∩B ≠ Vì vậy số n cần tìm là n = 8.
1 đ
1,5 đ
1,5 đ
Trang 7Bài 5 Cho các số dương , ,x y z Chứng minh bất đẳng thức:
( ) ( ) (2 ) ( ) (2 ) ( )2
3
x y z
Lời giải: Gọi vế trái của bất đẳng thức là S
Do ab a b+ + ≥33 a b2 2 ,∀ >a 0,b>0 Nên:
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) )
S
( ) (2 ) (2 )2
( ) ( ) ( )
2
3
x y z
+ + + + +
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =1
1 đ
3 đ