Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng tính đơn điệu, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để khảo sát nghiệm của phương trình và bất phương trình

Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau: Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: fx = k, nhẩm một nghiệm rồi

Sử dụng tính đơn điệu - gtln - gtnn của hàm số ĐỂ

đ khảo sát nghiệm của phương trình - bất phương trình

*****

I CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1.Tớnh đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y f x( ) cú đạo hàm trờn D

Nếu f '   x  0,   x Dthỡ hàm số f x( ) đồng biến (tăng) trờn D

Nếu f '   x  0,   x Dthỡ hàm số f x( ) nghịch biến (giảm) trờn D

(Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trờn D)

Nếu hàm f x  tăng (hoặc giảm) trờn khoảng (a;b) thỡ phương trỡnh

f x k k  cú khụng quỏ một nghiệm trong khoảng (a;b)

Nếu hàm f x  tăng (hoặc giảm) trờn khoảng (a;b) thỡ u, v (a,b) ta cú

Nếu hàm f x  tăng và g x  là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thỡ

phương trỡnh f x g x cú nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)

Định lý Bolzano – Cauchy :Nếu hàm số f x  liờn tục trờn a b;  và f a f b     0 thỡ tồn tại ớt nhất một điểm x0 a b;  để f x 0  0

Nếu hàm số f x  đơn điệu và liờn tục trờn a b;  và f a f b     0 thỡ tồn tại duy nhất một điểm x0 a b;  để f x 0  0

Nếu f x là hàm số đồng biến ( nghịch biến ) thỡ

y = n f x n ( ),  N n ,  2 đồng biến (nghịch biến ), 1

( )

f x với f x   0là nghịch

biến ( đồng biến), y f x nghịch biến (đồng biến )

Tổng cỏc hàm đồng biến ( nghịch biến ) trờn D là đồng biến (nghịch biến ) trờn D

Tớch của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) trờn D là một hàm đồng biến (nghịch biến ) trờn D

2 Giỏ trị lớn nhất (GTLN) và giỏ trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số

Số m được gọi là GTNN của hàm số y f x( ) trên D nếu f x( ) m,  x D và

* Nếu hàm số f x xác định và liên tục trên đoạn ( ) a b thì ta có thể tìm GTLN ; 

và GTNN theo các bước sau :

- Tìm các điểm x x1, 2, , xn trên đoạn a b mà tại đó;  f x bằng 0 hoặc'( ) f x '( )không xác định

- Tính các giá trị f a( ), ( ), ( ), (f b f x1 f x2), , (f x n)

- Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số ( )f x trên

đoạn a b ; 

3 Các dạng toán liên quan

3.1 Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số

Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:

Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng

lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra

phương trình có nghiệm duy nhất

Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu khi

f x g m với hàm số ( )f x có GTLN - GTNN trên tập xác định D Khi đó:

- Phương trình f x( ) g m( )có nghiệm trên D khi và chỉ khi

- Bất phương trình f x( )g m( ) thỏa mãn  x D khi và chỉ khi

Ví dụ 2: Giải phương trình: x x  5 x 7  x 16  14

Nhận xét:

Khi gặp dạng toán chứa căn, thường ta phải khử căn thức bằng cách bình phương, lập phương hoặc nhân lượng liên hợp Trong bài này chỉ có thể nhân liên hợp là hợp lí

Giải

Cách 1: Dùng lượng liên hợp

Điều kiện: x 5 Khi đó

Mà f(9) 14  nên x 9 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3 2 x   1 3 2 x  2  3 2 x  3  0 (1)

1

;0)32(

2)

22(

2)

12(

2)

x x

x 

Đặt f x( )  5x3   1 3 2x  1 x

  nên hàm số đồng biến trên

Mà f 7  4nên x 7là nghiệm duy nhất của phương trình

x   là nghiệm duy nhất của phương trình

3 (2x  9x  3) (4  x 2)(1  1  x x )  0 Giải

x   Cách giải trên sử dụng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất Cách 2:

Viết lại phương trình dưới dạng:

Nhận xét: x2 15 x28,   nên khi x 3 2 0 2

3

x  x thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 12: Giải phương trình: log 7x log 32  x (1)

    (2)

Xét hàm số   2 1 7 .

t t

f t       

    Hàm số này là tổng của hai hàm đơn điệu giảm nên

là hàm đơn điệu giảm Hơn nữa f  2  1 nên (2)  f t  f  2  t 2 x 49



Suy ra hàm số đồng biến

Vấn đề đặt ra là giải phương trình còn lại sẽ rất phức tạp

Vì vậy ta sẽ dùng tính đơn điệu của hàm số:

Ví dụ 17: Cho các số dương c c c1, 2, 3 thỏa mãn c1c2 c3 Chứng minh rằng phương trình x c 1 x c 2  x c 3 có nghiệm duy nhất

Nhận xét: Một điều thú vị nữa khi thay c1 sin ;A c2  sin ;B c3 sinC trong đó A B C, ,

là các góc của tam giác nhọn Với giả thiết ABC Ta có các bài toán sau:

BT: Cho tam giác ABC nhọn , với ABC

a/ Tìm GTNN của hàm số   sin sin 1

Ví dụ 19: Giải các bất phương trình sau: a/ 4 15 x 4 2 x 1 (*)

Nhân xét: Đối với bất phương trình này, ta chỉ có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ phương

trình để giải, còn giải trực tiếp sẽ rất khó khăn

Do v 0nên ta được 0  v 1 Suy ra 4 2 x   1 x 1

Kết hợp với điều kiện  15 x 2 ta được nghiệm của bất phương trình đã cho

Qua các ví dụ về giải phương trình và bất phương trình trên, đối với những ví

dụ có hai cách giải thì ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu của hàm số hay và tự nhiên hơn rất nhiều so với cách giải đầu Cách giải đầu thường biến đổi phức tạp và

có bài thấy thiếu sự tự nhiên, không có “Manh mối” để tìm lời giải Đây là dạng toán khó đối với học sinh lần đầu tiếp xúc , các em rất khó khăn trong việc sử dụng các phương pháp khác để giải Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, vận dụng các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số là một việc làm rất cần thiết Từ đó hình thành ở học sinh Tư duy linh hoạt trong giải toán, để học sinh không bối rối trước các bài toán lạ

Yêu cầu của đề bài là phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x x x sao cho 1, 2, 3

x  x x tức là đường thẳng ym phải cắt đồ thị hàm số y f x( )x33x2

tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x thỏa mãn 1, 2, 3 x1 1 x2x3

Ta có '( ) 3 2 6 ; '( ) 0 3 2 6 0

2

x

x







Bảng biến thiên x  0 1 2 

f x + 0 - - 0 +

0 

f x  -2

 -4

Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phải tìm là  4 m  2 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 2( m  2) x  5 m   4 0 (1) có hai nghiệm thực phân biệt x x1; 2 thoả mãnx1   1 x2 Nhận xét : Do trong chương trình mới không có mặt định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai nên việc sử dụng đinh lý này học sinh phải chứng minh.Vì vậy ta áp dụng phương pháp hàm số là phù hợp Giải Biến đổi phương trình như sau  

2 2 4 4 4 4 2 5 2 5 x x x x m x m x            (Do 5 2 x   không là nghiệm của (1)) Xét hàm số 2 4 4 ( ) 2 5 x x f x x      Ta có   2 ' 2 7 2 10 28 ( ) 0 2 2 5 x x x f x x x              Bảng biến thiên:

x - -7 5

2  -1 2 +

f x - 0 + + + 0 -

+ +

f x  0

9

-3

- -

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m  3 là giá trị cần tìm

Nhận xét :

Ngoài cách giải trên ta có thể dùng định lý Viét để giải như sau

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2

Mặt khác: f  0   1 0 Suy ra f x  0 nên hàm số đồng biến

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1

Nhận xét: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số,

rất có thể chúng ta ngộ nhận tập giá trị của hàm số là  và dẫn đến việc kết luận sai

lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt : 2 x 1 xm

Gi¶i:

Điều kiện: x  1

Phương trình đã cho tương đương với 2 x 1 xm

2

3 1

x

m x





 Xét hàm số

2

3( )

11

11

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 2

Ví dụ 7 Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :

2 0

 0 + 

+ +

9 2







Từ bảng biến thiên suy ra m phương trình (*) có đúng một nghiệm 0 x  2

Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt m 0

Nhận xét:

Sau khi tìm được điều kiện x 2 việc khảo sát hàm số f x ở trên là rất dễ dàng ( )

chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số ( ) f x

Ví dụ 9: Chứng minh rằng phương trình sau có nhiệm duy nhất

 

2

1 1

Cách 2: Biến đổi phương trình như sau 5  2

Phương trình 4 4

3 2

1

x





 Xét ham số   3 2

f x  x  x  x trên  ;1

Ta có f x  12x2  12x 9 Trên  ;1thì   2 1

2

f x   x  x  x 

Bảng biến thiên:

x - 1

f x + 0 -

f x  - -12

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực khi và chỉ khi 3 3 2 2 12 12 m m m m                 Ví dụ 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 3 1x2 2 x32x2 1 m trên 1;1 2        Giải: Xét hàm số f x  3 1 x2  2 x3  2x2  1 trên 1;1 2        Ta có 2 ' 2 3 2 2 3 2 3 3 4 3 3 4 ( ) 1 2 1 1 2 1 x x x x f x x x x x x x x                     Xét hàm số   3 2 2 1 g x x  x  trên 1;1 2        Ta có   2 3 4 0 0 g x  x  x x Ta có bảng biến thiên x 0 1

g x  + 0 -

g x 

1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ( ) 1, 1;1 2 g x    x     và 1;1 2 x         ta có 3( 1) 4 3 4 3.1 4 5 3 4 7 2 x 2 x           Suy ra 2 3 2 3 3 4 1 0, ;1 2 1 2 1 x x x x x               Do đó f x  0 x 0 Bảng biến thiên:

x 0 1

f x + 0 -

1 2



3 2

1 2



1 2



1

f x  3 3 22 2  - 4

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi 4 3 3 22 2 m     hoặc m 1 Nhận xét : Việc sử dụng kỹ năng biến đổi từ

2 2 3 2 2 3 2 3 3 4 3 3 4 1 2 1 1 2 1 x x x x x x x x x x x                    là khâu quyết định đến việc

xét dấu của đạo hàm, mở đường cho việc sử dụng tính chất của hàm số Ví dụ 12: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt 1 x 8 x (1 x)(8 x) m Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp thông thường là đặt ẩn phụ t = 1 x 8 x sau đó chuyển về bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Tuy nhiên cách đặt ẩn phụ đó thường phải quy về giải bằng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai Định lý này trong chương trình sách giáo khoa mới đã giảm tải Vì vậy phương pháp hàm số là sự lựa chọn thích hợp nhất cho dạng toán này Giải Điều kiện:   1 x 8 Xét hàm số f x  1 x 8 x 1 x8 x trên  1;8 Ta có            1 1 7 2 2 1 8 1 8 2 1 8 f x x x x x x x x                    Mà          1 1 0, 1;8 2 1 8 1 8 2 1 8 x x x x x x x             Do đó dấu f x chỉ phụ thuộc vào dấu của 7 2x Ta có bảng biến thiên : x -1 7

2 8

f x + 0 -

f x  9

3 2

2

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm của m là: 3 9 3 2

2

m

  

Ví dụ 13: Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm:

3x 6x (3x)(6x)m

Nhận xét: Với bài này ta sẽ tìm hiểu cách giải đặt ẩn phụ trước rồi sau đó mới giải

9( ) (3) 3; min ( ) (3 2) 3 2

Nếu đề yêu cầu giải phương trình với m là một số cụ thể thì việc tìm điều kiện của

t là không cần thiết, ta chỉ cần suy ra các điều kiện hiển nhiên vì sau khi tìm được ẩn phụ t ta còn phải thay vào bước đặt để tìm ẩn chính x

Nếu trong bài toán có tham số thì việc tìm điều kiện của t là không thể bỏ qua và không được làm sai Việc tìm điều kiện của t như trên thực chất là việc tìm tập giá trị của hàm số ( ) f x trên tập xác định của phương trình đã cho

Với bài toán này, ta có thể tìm điều kiện của ẩn phụ t như sau:

2

t x x t  x x   x x    t

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thưc Bunhiacopxki ta được:

2

t  x x   t Do đó điều kiện của t là 3  t 3 2

Tuy nhiên không phải mọi bài toán đều tìm được điều kiện ẩn phụ theo cách này,

vì cách đánh giá các bất đẳng thức đôi khi “không nghiêm ngặt” sẽ dẫn đến điều kiện sai và kéo theo sai kết quả của bài toán Việc dùng hàm số tìm điều kiện của ẩn phụ không những chính xác mà còn biểu diễn được mối liên hệ về số nghiệm của ẩn phụ và ẩn chính

Để tránh khỏi sai sót trong quá giải toán với việc đặt ẩn phụ ta phải linh hoạt để lựa chọn cách giải thích hợp với từng kiểu bài Như bài toán trên ta có thể giải trực tiếp như sau:

x 0 2 6

3 2

9

3 2 2



f x + 0 -

f x   f 2

f 0 f 6

với f 0  2 6  2 6; 4 f 2   6 3 2;f 6  2 3  4 12

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm của m là: 2 6  2 6 4 m  6 3 2

Đối với một số bài toán không sử dụng được phương pháp hàm số trực tiếp mà phải sau quá trình biến đổi như đặt ẩn phụ thích hợp mới sử dụng được phương pháp hàm số Ta xét ví dụ sau :

Ví dụ 15: Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:

4 x4 4xm  x44xm  6

Giải

Điều kiện: x44xm , (*) 0

Đặt t  4 x44xm  x44xm t2 với t 0

Khi đó, phương trình đã cho trở thành t2     (do t 6 0 t 2 t  ) 0

Với t 2 ta có 4 x44xm 2 x44xm16, (Thỏa mãn điều kiện (*))

Do đó phương trình x44xm16m x44x16

Xét hàm số f x( ) x44x16 trên 

Ta có f x'( ) 4x3  4 4(x31); f x'( )0 x  1

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra:

- Nếu m 19thì phương trình đã cho vô nghiệm

- Nếu m 19 thì phương trình đã cho có một nghiệm

- Nếu m 19 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét: Với cách làm như trên có thể giải quyết nhiều câu hỏi khác nhau của bài

toán: Như tìm điều kiện của m để pt có 1 nghiệm, vô nghiệm, 2 nghiệm, vv

Ví dụ 16: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x  1 m x  1 2 4 x2  1 Giải

Khi đó phương trình (*) trở thành 2  

2t 3t m 1 Để phương trình (*) có nghiệm thực x 1thì phương trình (1) có nghiệm thực 0  t 1

Xét hàm số   2

2 3

f t  t t trên 0;1 Ta có f t   2 6t

3

f t    t  t

Bảng biến thiên:

t 0 1

3 1

f t + 0 -

f t  1

3 0 -1

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi 1 1 3 m   

Cách khác: ĐK x 1 Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho 2 4 1 x  đặt 4 1 4 2 1 1 1 x t x x       0  t 1 Nhận xét : Đối với các bài toán có chứa tham số :Khi đặt ẩn phụ ta phải chọn điều

kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ Khi đó ta mới xét được một hàm số xác định trên một miền xác định Từ đó tìm được điều kiện cho tham số thoả mãn yêu cầu đã cho của đề bài Việc lựa chọn ẩn phụ như trên cũng không bắt buộc, ta có thể đặt như sau: Đặt 4 1 0 1 x t x     , tuy nhiên lúc đó điều kiện của ẩn phu sẽ thay đổi theo   1 2 1 1 1; 1 1 x t x x          Từ đó ta lại được một hàm số mới vớí tập xác định tương ứng Một số phương trình sau khi đặt ẩn phụ thì việc tìm được điều kiện chuẩn cho ẩn phụ đôi khi lại phải dùng đến việc khảo sát hàm số Ta xét bài toán sau: Ví dụ 17 :Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực dương : 2 2 4 5 4 x  x m xx (1) Giải Đặt 2 4 5 t x  x Phương trình (1) trở thành 2 5 t   t m Tìm điều kiện của t trên 0;  Ta có   2 2 0 2 2 4 5 x t x x x x        

Bảng biến thiên x 0 2 