Martingale hiệu yếu đa trị và ứng dụng trong kinh tế TT

Một trong các kiểm định giả thiết thống kê phổ biến liên quan đếnkiếm định yếu cho thị trường hiệu quả là kiểm định martingale, nghĩa là E[yt+1|Ft] = yt ở đây E là ký hiệu kỳ vọng của bi

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Người hướng dẫn khoa học 1: TS Nguyễn Hắc Hải

Người hướng dẫn khoa học 2: TS Nguyễn Văn Hùng

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của luận án

Một trong ba giải Nobel kinh tế năm 2013 thuộc về Eugene F Famavới các nghiên cứu của ông về thị trường tài chính mà nội dung chính

là về lý thuyết thị trường hiệu quả Một cách khái quát theo Fama, mộtthị trường tài chính được gọi là hiệu quả nếu

• Mọi thông tinFt ảnh hưởng đến một cổ phiếu đều ngay lập tức phảnánh vào giá cổ phiếu yt của nó

• Giá hiện tại là xấp xỉ tốt nhất cho giá trị thực tế của cổ phiếu đó tạithời điểm hiện tại

• Giá thay đổi là do những sự kiện không biết trước

• Giá phản ánh sai giá trị nội tại (mispricing) có thể xảy ra nhưngkhông nằm trong các mô hình có thể dự báo được

Điều này có nghĩa là rất khó (gần như không thể) dự báo được giá

cổ phiêu trong ngắn hạn đối với một thị trường hiệu quả

Có 3 dạng kiểm định thị trường hiệu quả bao gồm

• Kiểm định yếu: Là kiểm định dựa trên lịch sử về giá của cổ phiếu

• Kiểm định nửa mạnh (semi-strong): Là kiểm định dựa trên các thôngtin liên quan đến cổ phiếu mà được công khai bao gồm lịch sử giá cổphiếu cũng như các thông tin công khai khác về công ty

• Kiểm định mạnh: Là kiểm định dựa trên mọi thông tin

Một trong các kiểm định giả thiết thống kê phổ biến liên quan đếnkiếm định yếu cho thị trường hiệu quả là kiểm định martingale, nghĩa

là E[yt+1|Ft] = yt (ở đây E là ký hiệu kỳ vọng của biến ngẫu nhiên)

Do rất khó xây dựng công thức toán học cho kiểm định martingale,các mô hình thống kê thường được xây dựng để kiểm định hiệu mar-tingale (MDH) cho dãy tăng trưởng (returns) dt của cổ phiếu, nghĩa

là E[dt+1|Ft] = 0, trong đó dt+1= ln yt+1− ln yt≈ (yt+1− yt)/yt Dãy

biến ngẫu nhiên tuân theo MDH thể hiện khả năng không thể dự báođược giá tương lai dựa vào giá lịch sử.

Tuy nhiên, thực tế cho thấy có những thị trường được kiểm địnhủng hộ MDH (tức là khó dự báo được giá của cổ phiếu) nhưng các môhình dự báo giá cổ phiếu trong ngắn hạn vẫn luôn được các nhà nghiêncứu phát triển và cho thấy mô hình sau tốt hơn mô hình trước Đặc biệt

là các mô hình dự báo dựa trên mô hình Markov ẩn (HMM) và môhình chuỗi thời gian mờ (FTS) đang là xu thế gần đây

Theo các tài liệu tham khảo, mô hình dự báo HMM và FTS về bảnchất như sau Chia tập nền của dãy giá trị cần dự báo d1, d2, , dt, ∈

, trong đó Ai, i = 1, · · · , k là các tập mờ đại diện

cho các trạng thái của dãy {dt} Khi đó, dãy trạng thái D1, D2, Dt,

là một dãy biến ngẫu nhiên đa trị hình thành từ dãy {dt} nhận giá trị

là các khoảng thực Dựa vào thống kê lịch sử, ma trận xác suất chuyển[pi j] hay các luật mờ dạng

−−−−−−→ Aj, Ak, · · ·được tìm thấy Kết quả dự báo có được dựa vào giá trị giải mờ từ cácluật này Như vậy, các luật này chính là thể hiện xu hướng thay đổi của{dt} Các luật này ổn định (dự báo được) thì chất lượng dự báo mớitốt Luận án hướng tới xây dựng tiêu chuẩn kiểm định khả năng dự báođược của các xu hướng này

Như vậy, thực tế nói trên chứng tỏ kết quả kiểm định MDH khôngnói lên khả năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của cổ phiếu.Trong khi đó, chưa có tiêu chuẩn nào đánh giá khả năng dự báo đượccủa xu hướng tăng trưởng của cổ phiếu hay của một chỉ số kinh tế nào

đó tương tự như tiêu chuẩn MDH cho đánh giá khả năng dự báo được

của giá cổ phiếu Điều này liên quan đến khái niệm hiệu martingaletrong đa trị, khái niệm mà không thể định nghĩa bằng cách mở rộngtrực tiếp từ hiệu martingale đơn trị.

Luận án này nghiên cứu khái niệm tương tự hiệu martingale trongđơn trị cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị Từ tính chất đặc trưng của nó,luận án đề xuất một phương pháp đánh giá khả năng dự báo được của

xu hướng tăng trưởng của cổ phiếu dựa trên khái niệm này

2 Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Thứ nhất, nghiên cứu khái niệm hiệu martingale cho dãy biến ngẫunhiên đa trị (sau đó sẽ được gọi là hiệu martingale yếu đa trị) Chỉ racác ví dụ thực tế liên quan đến hiệu martingale yếu đa trị đồng thời tìmhiểu các tính chất toán học của hiệu martingale yếu đa trị

Thứ hai, trên cơ sở lý thuyết đã được chứng minh ở nội dung thứnhất, luận án sẽ sử dụng khái niệm hiệu martingale trong đa trị để đánhgiá khả năng dự báo được của xu hướng thay đổi của cổ phiếu trong tàichính Qua đó chỉ ra cách nhìn khác về thị trường hiệu quả

3 Các nội dung nghiên cứu chính của luận án

Các nội dung chính luận án nghiên cứu như sau

• Nghiên cứu các định lý giới hạn của hiệu martingale đơn trị trongkhông gian Banach Các kiến thức cơ sở về biến ngẫu nhiên đa trị vàcác dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên đa trị

• Nghiên cứu khái niệm hiệu martingale yếu đa trị và chứng minh cáctính chất toán học quan trọng của nó

• Đề xuất phương án đánh giá khả năng dự báo được của xu hướngcủa cổ phiếu thông qua khái niệm kiểm định giả thiết hiệu martingaleyếu đa trị (WSMDH) Tiêu chuẩn này sau đó được áp dụng trên một

số chuỗi chỉ số chứng khoán và tỉ giá ngoại tệ của một số thị trường

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1 Giới thiệu

Như đã phân tích trong chương Mở đầu, để kiểm định được khả

năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của cổ phiếu thì kháiniệm liên quan đến hiệu martingale trong đa trị cần được nghiên cứu

Để phát triển được khái niệm này trong đa trị như trong đơn trị, cáckiến thức cơ sở về biến ngẫu nhiên đa trị cũng như các dạng hội tụ của

nó sẽ được luận án trình bày khái quát trong chương này

1.2 Một số ký hiệu và định nghĩa

Trong suốt mục này ta ký hiệu (Ω,F,P) là một không gian xácsuất đầy đủ, (X, k · kX) là không gian Banach khả li Khi không cầnphân biệt chuẩn giữa các không gian thì k · kXviết đơn giản thành k · k.Biến ngẫu nhiên đơn trị f trên X là hàm đo được f : Ω −→ X Ký hiệuE[ f ], E[ f |A] lần lượt là kỳ vọng và kỳ vọng điều kiện của f với A ⊆ F

Ký hiệu L1[Ω; X] (nếu X = R thì viết gọn là L1) là tập tất cả các biếnngẫu nhiên khả tích Bochner nhận giá trị trên X Với 1 ≤ p < ∞ kýhiệu Lp[Ω,F,P;X] = Lp[Ω; X] là không gian Banach các hàm đo được

f: Ω −→ X sao cho chuẩn

U[Ω,F,P;K(X)] là họ các biến ngẫu nhiên đa trị và L1[Ω,F,P;K(X)]

là họ các biến ngẫu nhiên đa trị khả tích bị chặn trong K(X) Ký hiệu

k · kKlà chuẩn Hausdorff

Định nghĩa 1.2.1 (Martingale và hiệu martingale).

Định nghĩa 1.2.2 (Biến ngẫu nhiên đa trị) Ánh xạ tập F : Ω → K(X)

F Một ánh xạ đa trị F : Ω → K(X) được gọi là đo được yếu nếu, với

Ánh xạ đo được yếu nhận giá trị tập còn được gọi là biến ngẫu nhiên

đa trị (tập ngẫu nhiên hoặc hàm đa trị).

Định nghĩa 1.2.3 (Lát cắt (selection) của biến ngẫu nhiên đa trị).

Với 1 ≤ p ≤ ∞ ta ký hiệu

SFp = { f ∈ Lp[Ω; X] : f (ω) ∈ F(ω) h.c.c}

là tập các lát cắt khả tích bậc p của biến ngẫu nhiên đa trị F.

Định nghĩa 1.2.4 (Tích phân Aumann) Với mỗi biến ngẫu nhiên đa

trị F, tích phân Aumann của F được định nghĩa bởi

Z Ω

Định nghĩa 1.2.5 (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đa trị).

định nghĩa bởi

E[F] = cl

Z

FdP

Định nghĩa 1.2.6 (Kỳ vọng điều kiện của BNN đa trị).

cho

SE[F|A](A) = cl{E[ f |A] : f ∈ SF} , (1.2.1)

Định nghĩa 1.2.7 (Hội tụ trong siêu không gian).

Định nghĩa 1.2.8 (Martingale đa trị) {Xn,Fn : n ∈ N} được gọi là

một martingale đa trị nếu:

1.2.1 Một số định lý

Định lý 1.2.1 (Tính đóng của kỳ vọng điều kiện).

và A0 = σ (U ) với U đếm được sinh thì tập {E[ f |A0] : f ∈ SF1} là

Định lý 1.2.2 (Luật mạnh số lớn cho BNN đa trị độc lập).

Định lý 1.2.3 (Luật số lớn theo nghĩa hội tụ Mosco).

CHƯƠNG 2 HIỆU MARTINGALE YẾU ĐA TRỊ

VÀ TÍNH CHẤT 2.1 Giới thiệu

Kiểm định hiệu martingale (MDH) cho giá cổ phiếu nhằm đánh giá

khả năng dự báo được của giá cổ phiếu như đã trình bày ở phần Mở đầu Mô hình dự báo dựa trên xu hướng như HMM hay FTS gợi ý cho

ta kết quả tương tự bằng kiểm định khả năng dự báo được của xu hướngtăng trưởng của cổ phiếu thông qua khái niệm hiệu martingale trong

đa trị Tuy nhiên, Định lý 2.1.72 trong sách của Molchanov (Theory

of random sets, 2017) khẳng định đối với dãy biến ngẫu nhiên đa trị{Dn,Fn, n ≥ 1} thỏa mãn E[Dn|Fn−1] = {0}, ∀n ≥ 2 (kỳ vọng theo tíchphân Aumann) thì {Dn} = {ξn} trong đó {ξn} là dãy biến ngẫu nhiênđơn trị Khi đó, tất cả các lát cắt của Dn suy biến về một lát cắt hiệumartingale (MDS) Do đó, việc định nghĩa trực tiếp hiệu martingale

đa trị như trong đơn trị là không có ý nghĩa Chính vì vậy chương nàychúng tôi nghiên cứu dãy biến ngẫu nhiên đa trị {Dn,Fn, n ≥ 1} thỏamãn 0 ∈ E[Dn|Fn−1], ∀n ≥ 2 nhằm tìm ra tính chất đặc trưng cũng như

ý nghĩa của nó trong thực tế

2.2 Một số định nghĩa và kết quả cơ sở

Ta biết rằng một dãy biến ngẫu nhiên { fn, n ≥ 1} nhận giá trị trongkhông gian Banach khả li p-trơn X được gọi là có xác suất đuôi bị chặnđều bởi xác suất đuôi của biến ngẫu nhiên thực dương f ∈ Lp, p > 0(ký hiệu ( fn) ≺ f ) nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho với mọi x > 0

và n = 1, 2, · · · , ta có

P(k fnk > x) ≤ C.P ( f > x) Khái niệm này gợi ý cho ta một định nghĩa tương tự đối với dãybiến ngẫu nhiên đa trị

Định nghĩa 2.2.1 Một dãy biến ngẫu nhiên đa trị {Xn, n ≥ 1} trong

L1[Ω; K(X)] được gọi là các phân phối đuôi bị chặn bởi xác suất đuôi

Xn(Fn) tồn tại một lát cắt f ∈ S1X của X sao cho ( fn) ≺ k f k.

Định lý sau đây khẳng định tầm quan trọng của tính chất RNP đốivới sự hội tụ của martingale trong không gian Banach X

Định lý 2.2.1 (Kết quả của Chatterji (1969)) Cho không gian Banach

X và không gian xác suất (Ω, F,P) thì các khẳng định sau là tương

Sự cần thiết của tính p-khả trơn của không gian Banach X cho sựhội tụ của hiệu martingale được thể hiện bởi định lý dưới đây

Định lý 2.2.2 (Kết quả của Pisier (1975)) Cho 1 ≤ p ≤ 2, khi đó các

phát biểu sau là tương đương:

(i) X là một không gian Banach p- khả trơn.

Điều kiện (iii) trong Định lý 2.2.2 về sự hội tụ của một hiệu tingale X-giá trị được gọi là luật mạnh số lớn dạng Brunk và đượcchứng minh dưới dạng tổng quát bởi điều kiện

Định lý 2.2.3 (Kết quả của Woyczynski (1982)) Cho { fn,Fn, n ≥ 1}

fn= o(n1) h.c.c (nghĩa là lim

n→∞

fn

n1/p = 0, h.c.c)

Bổ đề 2.2.1 (Chứng minh trong [A2]) Cho { fn} là một dãy biến ngẫu

2.3 Hiệu martingale yếu đa trị và tính chất liên quan

Định nghĩa sau về hiệu martingale yếu đa trị (WSMD) được chúngtôi định nghĩa lại từ định nghĩa hiệu martingale đa trị của Ezzaki (Ez-zaki Fatima, 1996) theo tên khác nhằm tránh hiểu lầm với khái niệmhiệu martingale đa trị, khái niệm mà suy biến thành đơn trị như đề cập

ở phần giới thiệu

Định nghĩa 2.3.1.

martingale yếu đa trị nếu

0 ∈ S1E[D

n | F n−1 ](Fn−1) h.c.c, ∀n ≥ 2 (hay 0 ∈ E[Dn|Fn−1])

n= σ (Dn, Dn−1, · · · , D1) là σ -trường sinh bởi Dn, Dn−1, · · · , D1.

Lớp các biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn tính chất này có rất nhiềutrong thực tế, nhất là trong kinh tế và tài chính đã được trình bày trongluận án Bản tóm tắt này chúng tôi tập trung trình bày tính chất toánhọc đặc trưng của nó

Định lý 2.3.1 (Tính chất đặc trưng của WSMD) Cho X là không gian

là một hiệu martingale yếu đa trị.

một lát cắt hiệu martingale với lọc tự nhiên.

Định lý này là mở rộng kết quả của Ezzaki (Ezzaki Fatima, 1996)nhưng với điều kiện lỏng hơn Chứng minh của Định lý 2.3.1 sử dụngkết quả của Định lý 1.2.1 đã được trình bày chi tiết trong bản chínhluận án và một phiên bản khác với điều kiện như của Ezzaki nhưng ápdụng trực tiếp Định lý 1.2.1 được trình bày trong [A2]

Định lý 2.3.2 (Luật số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund) Cho X

(Dn) ≺ D ∈ L1[Ω,F,P;K(X)] Nếu với mọi f ∈ S1

2.4 Kết luận

Chương này chúng tôi đã nghiên cứu khái niệm hiệu martingale

(Định lý 2.3.1) cho thấy rằng tập các lát cắt hiệu martingale (MDS) của

nó là khác rỗng Nếu tập tất cả các lát cắt của nó đều là MDS thì địnhnghĩa tương đương với khái niệm hiệu martingale đa trị (E[Dn|Fn−1] ={0}, h.c.c) Nhưng khái niệm này thực chất suy biến về MDS Vì vậy,

để đánh giá khả năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của cổphiếu trong thực hành, ta kiểm tra tập các lát cắt MDS của nó đủ giàulàm cơ sở để kết luận cho đặc trưng hiệu martingale

Hơn nữa, Định lý 2.3.2 cho thấy sự ổn định quanh giá trị 0 của mộthiệu martingale yếu đa trị Do đó, WSMD cũng giúp ta nhận định vềmột thị trường cân bằng theo sự thay đổi của xu hướng

Một phần kết quả những nghiên cứu này đã được nghiên cứu sinhcông bố trong bài báo [A2]

CHƯƠNG 3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT HIỆU MARTINGALE

YẾU ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG 3.1 Giới thiệu

Như đã giới thiệu ở phần Mở đầu, kiểm định giả thiết hiệu tingale (MDH) là một kiểm định quan trọng trong kiểm định yếu củathị trường hiệu quả Kết quả ủng hộ MDH có nghĩa thị trường rất khó

mar-dự báo giá của tài sản trong ngắn hạn Ngược lại, bác bỏ MDH chophép nhìn nhận thị trường kém hiệu quả và có thể dự báo được giá củatài sản Các mô hình dự báo dựa trên xu hướng gần đây dựa trên cácquy luật thay đổi của xu hướng tăng trưởng của tài sản tài chính Các

xu hướng này được số hóa bởi các tập mờ trên các khoảng con của Rtạo nên một dãy biến ngẫu nhiên đa trị Kết quả lý thuyết của Chương

2 gợi ý cho ta phương pháp kiểm định khả năng dự báo được của xuhướng này bằng cách kiểm định giải thiết hiệu martingale yếu đa trị(WSMDH)

Chương này chúng tôi sử dụng các tiêu chuẩn kiểm định MDH ápdụng trên một tập các lát cắt ngẫu nhiên của dãy biến ngẫu nhiên đatrị được mờ hóa từ dãy giá tài sản Kết quả kiểm định làm cơ sở để kếtluận cho giả thuyết WSMDH

3.2 Các tiêu chuẩn kiểm định hiệu martingale (MDH) đơn trị đã biết

Cho In= {dn, dn−1, } là các thông tin tại thời điểm n vàFn là

σ -trường sinh bởi In của quá trình ngẫu nhiên {dn, n ≥ 1} Quá trìnhhiệu martingale có nghĩa rằng dn không thể dự báo được theo nghĩahồi quy dù cho biết bất cứ thông tin tuyến tính hay phi tuyến w (In−1)nào trong quá khứ Kiểm định MDH nghĩa là

E[dn|In−1] = µ, h.c.c, ∀n ≥ 2 với µ là hằng số

Mặt khác,

E[dn|In−1] = µ, h.c.c, µ ∈ R ⇔ E[(dn− µ)w(In−1)] = 0,nên kiểm định MDH thông qua tính kỳ vọng theo mẫu quan sát để sosánh với 0 Do không thể thực hiện kiểm định trên mọi hàm w(·), kiểmđịnh MDH chỉ có thể thực hiện thông qua một số hàm tuyến tính hoặcphi tuyến được lựa chọn cho w(·) Vì lý do đó, chỉ có các tiêu chuẩnkiểm định điều kiện cần cho MDH Với mỗi hàm w(·) được chọn, cặpgiả thiết đối thiết cho kiểm định là H0 : E[(dn− µ)w(In−1)] = 0, ∀n ≥ 2

và H1 là các trường hợp còn lại

Chúng tôi sử dụng một số tiêu chuẩn kiểm định điều kiện cần choMDH phổ biến dưới đây và áp dụng vào số liệu thực tế Tất cả các

tiêu chuẩn này đã được tích hợp sẵn trong gói lệnh vrtest trong phần

mềm R Dữ liệu cho kiểm định luận án sử dụng bao gồm 5 dãy tăngtrưởng của các tỉ giá ngoại tệ (Canadian Dollar (CAN), Pound GBP(£),Euro (EUR), Japanese Yen YEN(U) và Vietnamese Dong (VND) sovới đồng US dollar) và 5 dãy tăng trưởng chỉ số chứng khoán (VN-Index VNI(Vietnam Stock Index), S&P500, DJIA(Dow Jones Indus-trial Average), FTSE(Financial Times Stock Exchange 100 Index) vàHSI(Hong Kong Hang Seng Index))

3.2.1 Kiểm định MDH dựa trên độ đo tuyến tính

Trường hợp độ trễ hữu hạn, thống kê phổ biến được sử dụng làkiểm định Ljung và Box LBp= N(N + 2) ∑pj=1(N − j)−1ρb2j Trong đób

ρj=γbj/bγ0vớibγj= (N − j)−1∑Nn=1+ j(dn−Y )(dn− j−Y ), và Y là trungbình mẫu

Trong trường hợp độ trễ vô hạn, Escanciano và Lobato đã chỉnh sửathống kê Box-Pierce sử dụng kiểm định Neyman tương thích dưới dạng

NN= Qptrong đóp= min{m : 1 ≤ m ≤ pN; Lm≥ Lh, h = 1, 2, , pN},