Đề thi thử Olympic môn Toán lớp 11 năm 2018 THPT Phú Xuân - Lần 3 có đáp án | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK

ĐƠN VỊ:TRƯỜNG THPT PHÚ XUÂN

KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ III, NĂM 2018

ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN:TOÁN-LỚP: 11

ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN Câu 1:Giải phương trình:sin sin 2x xsin 3x6cos3x

Đáp án câu 1:

1)Giải phương trình:sin sin 2x xsin 3x6cos3x

sin sin 2x xsin 3x6cos x 2sin cosx x3sinx 4sin x6cos x

Nhận xét cosx=0 không là nghiệm,chia 2 vế của phương trình trên cho cos x3

Ta có:2 tan2x3tan (1 tanx  2 x) 4 tan 3x 6

Đặt t=tanx

3

t

t t t

t







 Từ đó suy ra x

Câu 2:Giải hệ phương trình: , (0 <a < 1).

Đáp án câu 2:

Giả sử x max x y z { , , } z2 max x y z{ ,2 2, }2

Nếu

z  z max x y z  x   y z a

Nếu z 0 x , vì nếu 0 x 0 z2  a z a  a y2 0(mâu thuẫn)

y x y z x y a z a y x y

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm

Câu 3: Cho tam giác ABC có: a.tanA+b.tanB=(a+b).tan 2

A B (với BC=a;AC=b).Hỏi tam giác ABC

có gì đặc biệt

Đáp án câu 3:Cho ABC có:a.tanA+b.tanB=(a+b).tan 2

A B (với BC=a;AC=b).Hỏi ABC có gì đặc biệt

+Theo định lý hàm số sin,ta có:a=2R.sinA;b=2R.sinB

Do đó:a.tanA+b.tanB=(a+b).tan 2

A B

 2R.sinA.tanA+2R.sinB.tanB=(2R.sinA+2R.sinB) tan 2

A B

sin tan sin tan (sin sin ).tan 0

2

A B

sin sin sin sin

sin (tan tan ) 0 2

A B s









 Vậy tam giác ABC cân tại C

Câu 4:Cho dãy số { }u n

, với

2

1

2

Tìm limu n.

Đáp án câu 4:Do

2 1

1

2

u   u  u   n

nên { }u n

là dãy số tăng

1 2

1

2

2

1 2

1 2

1





    















u

Suy ra  u n

là dãy số bị chặn

2

1 2 2

1

2

1 2

1

2

1 2

1 2

1

2

2 1 1

2 1 2

2

1              



Nên

2

limu n  2 limu n  2

Câu 5: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O , R) sao cho AB = CD = EF = R Gọi I, J, K theo

thứ tự là trung điểm của BC, DE, FA; P, Q lần lượt là trung điểm của DC và AD

a) Xác định phép biến hình biến AC

thành BD

và tính góc  AC BD, 

Chứng minh rằng tam giác IPQ là tam giác đều

b) Chứng minh: Tam giác IJK là tam giác đều.

Đáp án câu 5: + Ta có các tam giác OAB, OCD, OEF là các tam giác đều (có 3 cạnh đều bằng R).

Phép quay QO,600 :A B C;  D

0

O

Q AC  BD AC BD AC BD                



P

Q

J

F

D

O

C E

   300

2

DC PIC DBC  

và OI BC (đường kính qua trung điểm của dây BC), do đó: QIP  600 Vậy tam giác IPQ là tam giác đều vì IPQ cân và có một góc 600

Suy ra: QI,600:P Q

0

O

Q C D E F CE DF CE DF   

Mà:

;

, do đó: PJ QK và               PJ QK,                CE DF,  600

Giả sử: QI,600 :J  K'

, ta đã có: QI,600 :P Q, nên: PJ QK'và PJ QK   , ' 60 0

Suy ra: K K'

0

I

Q J K  IJ IK IJ IK    IJK



là tam giác đều

Ghi chú: Góc lượng giác 600 được thay bởi góc 600 nếu thứ tự các đỉnh A, B, C, D, E trên (O, R) Ví dụ

Câu 6: Chứng minh

, 2

a b ab

a b

a b

Đáp án câu 6: Đặt atan , btan với

2 2

 

   

a b ab

a b

cos cos

ngược chiều lượng giác.

Hết