Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác ABHI nội tiếp.. 3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và[r]
Trang 1Kì thi : Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên
Câu I (2,0 điểm)
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc2 2 2 .
2) Cho x, y thỏa mãn x3 y- y +1+ y+ y +12 3 2 Tính giá trị của biểu thức
A x +x y+3x +xy- 2y +1
Câu II ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình (x - 4x+11)(x - 8x +21) 352 4 2
2) Giải hệ phương trình 2 2
x+ x +2012 y+ y +2012 2012
x + z - 4(y+z)+8 0
Câu III (2,0 điểm)
1)Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n2 + n + 1) không chia hết cho 9
2)Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x) Tìm các giá trị nguyên dương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên
Câu IV (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt
EF tại I M là điểm di chuyển trên đoạn CE
1) Tính BIF
2) Gọi H là giao điểm của BM và EF Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác ABHI nội tiếp
3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt
là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF Xác định vị trí của điểm M
để PQ lớn nhất
Câu V (1,0 điểm)
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 a b c 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B (a+b+c+3) 1 + 1 + 1
a+1 b+1 c+1
Trang 2ĐÁP ÁN
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho
đủ điểm
- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội
đồng chấm
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu I
(2,0đ)
1) 1,0 điểm a (b - 2c) +b (c - a) + 2c (a - b) + abc=2c (a - b)+ab(a-b)-c(a 2 2 2 2 2 b2 ) ac a b( )
2 (a b)[2c 2ac ab bc]
(a b)[2 (c c a) b a c( )]
(a b a c b)( )( 2 )c
x = y- y + 1 y+ y + 1
x = 2y +3 y - y + 1 y+ y + 1 y- y +1 y+ y +1
3
x + 3x -2y = 0
A = x + x y + 3x - 2xy + 3xy - 2y + 1 = (x +3x -2xy) +(x y+3xy - 2y ) 1
x(x +3x-2y) +y(x +3x - 2y) 1 1
Câu II
(1,0đ)
1)1,0 điểm phương trình đã cho tương đương với (x 2) 2 7 ( x2 4) 2 5 35(1)
Do
2
2 2
2
2 2
(1)
x x
<=>x=2
2 2
(x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1)
x + z - 4(y+z)+8=0 (2)
(1) x x 2012 y y 2012 y 2012 y 2012 y 2012 y (D
o y2 2012 y 0 y )
Trang 3
x y
2 2
Do
2
2
2012 | |
2012 | |
2 2
2 2
z z
Vậy hệ cú nghiệm (x;y;z)=(-2;2;2)
Cõu III
(2,0đ)
1)1,0 điểm Đặt A = n2 + n + 1 do n n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k )
* n = 3k => A khụng chia hết cho 9 (vỡ A khụng chia hết cho 3)
* n = 3k + 1 => A = 9k2 + 9k + 3 khụng chia hết cho 9
* n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 khụng chia hết cho 9 Vậy với mọi số nguyờn n thỡ A = n2 + n + 1 khụng chia hết cho 9
2)1,0 điểm Giả sử tồn tại m *
để phơng trình có nghiệm x1, x2 Theo vi-et:
2
1 2
1 2 2 2
(x1 - 1) (x2 - 1) = - m2 + 2m + 3 Với m *
Ta có x1x2 4và x1 + x2 1 mà x1hoặc x2 nguyên và
2 *
1 2
x x m x x1, 2 * (x1 1)(x2 1) 0 2
Với m = 1; m = 2 thay vào ta thấy phơng trình đã cho vô nghiệm
Với m = 3 thay vào phơng trình ta đợc nghiệm của phơng trình đã cho là x =1; x
= 8 thoả mãn Vậy m= 3
Cõu IV
(2,0đ)
1) 1,0 điểm Vẽ hỡnh đỳng theo yờu cầu chung của đề
Trang 4H
K
I
E
B
O D
F
Gọi K là giao điểm của BO với DF => ΔIKF vuông tại K
DFE= DOE=45 2
BIF 45
2) 1,0 điểm Khi AM = AB thì ΔABM vuông cân tại A => DBH=45 0.Có DFH=45 0
=> Tứ giác BDHF nội tiếp
=> 5 điểm B, D, O, H, F cùng thuộc một đường tròn
=> BFO=BHO 90 0 => OH BM, mà OA BM=> A, O, H thẳng hàng
BAH=BIH 45 => Tứ giác ABHI nội tiếp