Chứng minh rằng các ñường thẳng của họ A(m) ñều tiếp xúc với một ñường coníc cố ñịnh.. Tìm tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA ' MN.. Tiếp tuyến tại mỗi giao ñiểm của chúng vuô[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO
BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 Năm học 1999 - 2000
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 2000
Bài 1 (5ñiểm) Cho hàm số
x
x
2 −
= có ñồ thị là ñường cong (C)
và hàm số y =x2 −2x+6 có ñồ thị là (P) a) Viết phương trình một tiếp tuyến chung của (C) và (P)
b) Chứng minh rằng 2 ñường (C) và (P) có ñúng 2 tiếp tuyến chung
Bài 2 ( 4 ñiểm)
a) Cho a,b,c là 3 số thực thoả mãn a + b + c≥3 Chứng minh rằng:
3 3 3 4 4 4
c b a c b
a + + ≥ + + b) Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm: 4−x2 −mx+m=2
Bài 3 ( 5 ñiểm)
a) Giải phương trình: log2 x+log3(x+1)=log4(x+2)+log5(x+3)
b) Cho tam giác ABC có ñộ dài 3 cạnh lần lượt là a, b, c và diện tích là S
2
sin 2
sin 2
Chứng minh rằng tam giác ABC ñều
Bài 4 (6 ñiểm)
a) Tính tích phân sau: ∫
− +
−
= 2
2
x x x
dx x
b) Cho Elíp: 2 1
2 2
2
=
+
b
y a
x
Gọi PQ, MN là hai ñường kính của Elíp thoả mãn ñường kính này chia ñôi các dây cung song song với ñường kính kia
Chứng minh rằng: 2 2 4( 2 2)
b a MN
-Hết -
Trang 2SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO
BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 Năm học 2000 - 2001
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 2001
Bài 1 (3 ñiểm)
)
y= + + với x∈[−2;2] Tìm m ñể giá trị nhỏ nhất của hàm số: min y = 4
Bài 2( 3 ñiểm)
Giải bất phương trình ( ẩn x): +∫ < ∫x
e
x
dt t dt
4 3
ln 2
Bài 3 (5 ñiểm)
a) Cho n là số nguyên dương lẻ (n>2) Chứng minh rằng với mọi số thực
!
! 3
! 2 1
)(
!
! 3
! 2 1
(
3 2 3
2
<
− +
− +
− +
+ + + +
n
x x
x x n
x x
x x
n n
L
b) Cho các số a,b,c thoả mãn: 0< a, b, c<1 và ab + bc + ca = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2
1 1
c b
b a
a P
−
+
−
+
−
Bài 4 (3 ñiểm)
Cho một góc α , dãy{ }u n xác ñịnh như sau:
3 sin 3
1
0
1 3
∑−
= n
k
k k
n
với n∈N
Tìm giới hạn:
n
LimU
n→ +∞
Bài 5 (6 ñiểm)
a) Cho tứ diện OABC có góc tam diện ñỉnh O là tam diện vuông Tìm tập hợp các ñiểm M trong không gian thoả mãn ñiều kiện:
2 2
2 2
3MO MC
MB
b) Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho họ ñường thẳng:
A(m): (4 - m2)x - 6my + 3(4 + m2) = 0
Chứng minh rằng các ñường thẳng của họ A(m) ñều tiếp xúc với một ñường coníc cố ñịnh
-Hết -
Trang 3SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO
BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 Năm học 2001 - 2002
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 2002
Bài 1( 2 ñiểm) Cho hàm số
1
1
2
−
+
−
=
x
mx x y
1) Tìm các giá trị của m ñể hàm số có cực trị
2) Gọi (C) là ñồ thị của hàm số khi m = 1
a) Tìm các ñiểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho ñoạn MN là ngắn nhất b) Viết phương trình ñường cong (C,) ñối xứng với (C) qua ñiểm I(0;1)
Bài 2 (2 ñiểm)
a) Tìm m ñể: mx3 +(1−m)x ≤1 Với ∀x∈[−1;1]
b) Chứng minh rằng với mọi a,b,c là ñộ dài 3 cạnh của tam giác, ta luôn có:
3 )
(
a
b b
c c
a a
c c
b b
a
Bài 3 (2 ñiểm)
a) Giải hệ phương trình sau:
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
0 8 12 6
0 8 12 6
0 8 12 6
2 3
2 3
2 3
z z
x
y y
z
x x
y
b) Biện luận theo a về số nghiệm của phương trình:
1 1
cos 2 sin
2−x2 x+ +x2 x= a+ + a−
Bài 4 (2 ñiểm)
a) Cho a≥4;b≥5;c≥6 và a2 +b2 +c2 =90 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của:
P = a + b + c
b) Tính tích phân sau: J = ∫4 +tgx dx
0
) 1 ln(
π
Bài 5 (2 ñiểm)
Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D', và mặt cầu (C) nội tiếp hình lập phương ñó Mặt phẳng (P) quay quanh ñiểm A, tiếp xúc với mặt cầu (C) và cắt hai cạnh A'B' , A'D' lần lượt tại M, N Tìm tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA'MN
-Hết -
Trang 4SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO
BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 Năm học 2003 - 2004
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 2004
Bài 1(5 ñiểm) Cho hàm số y =x3 +mx2 −m
với m là tham số a) Tìm m ñể ñồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ ñều lớn hơn
2004
b) Tìm m sao cho khi x ≤1 thì y ≤1
Bài 2 (5 ñiểm)
a) Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C B
A
C B
A
2 2
2
cos cos
cos
sin sin
sin
+ +
+ +
b) Cho hàm số f(x) liên tục trên ñoạn [−2π;2π ] và thoả mãn:
x x
f x
f( )+ (− )= 2−2cos3 Tính ∫
−
= π π
2
2
)
( dx x f
Bài 3 (4 ñiểm) Trên mặt phẳng toạ ñộ với hệ trục toạ ñộ vuông góc Oxy cho Elíp
2 2
2
= +
b
y a
x
và Hypebol (H): 2 1
2 2
2
=
−
n
y m
x
cắt nhau Tiếp tuyến tại mỗi giao ñiểm của chúng vuông góc với nhau
a) Viết phương trình ñường tròn ñi qua các giao ñiểm của (E) và (H)
b) Chứng minh (E) và (H) có cùng hai tiêu ñiểm
Bài 4 (4 ñiểm)
a) Các góc của tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
cosA+cosB+cosC =2(cosAcossB+cosBcossC+cosCcossA)
Chứng minh tam giác ABC ñều
b) Cho 3 số thực x,y,z≥0 và thoả mãn: x2004 + y2004 +z2004 ≤3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T =x2 +y2 +z2
Bài 5 (2 ñiểm) Giải phương trình: x2 −x−2004 1+16032x =2004
-Hết -
Trang 5SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO
BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 Năm học 2004 - 2005
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 2005
Bài 1( 4 ñiểm).Cho hàm số: ( 1) (2 1) ( 3) 3
3
+ + + +
− +
1) (2ñiểm) Xác ñịnh m ñể hàm số ñồng biến trên [2;+∞)
2) (2 ñiểm) Cho m = 2 hãy viết phương trình tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(1; 4) với ñồ thị hàm số thu ñược
Bài 2 (4 ñiểm) 1) (2 ñiểm) Giải hệ phương trình:
=
−
= +
7 ) (
9 ) (
3 3 2
x y x
y x x
2) (2 ñiểm) Cho tam giác ABC thoả mãn: A < B < C
Chứng minh rằng phương trình: x−sinC + x−sinB = x−sinA có nghiệm
Bài 3 (4 ñiểm)
1) (2 ñiểm) Cho các số a, b, c, d > 0 thoả mãn:
2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) +(abc + abd + acd + bcd) = 16
Chứng minh rằng: 3(a +b + c + d)≥2(ab+ac+ad+bc+bd +cd)
2) (2 ñiểm) Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn:
2
3 3 2
sin
2 sin
2
+
+ +
+
CA C
B
BC B
A AB
Chứng minh rằng tam giác ABC ñều
Bài 4 (6 ñiểm)
1) (4 ñiểm) Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có
1
A(2;-1;5), A(2;-1;3), B(2;1;3), D(4;-1;3) và ñường thẳng ∆có phương trình:
+
=
=
+
=
pt z
nt y
mt x
4
3
với
m, n, p, t ∈R, m2 +n2 + p2 ≠0
Gọi khoảng cách từ các ñỉnh của hình lập phương tới ñường thẳng ∆ lần lượt là h1,h2,L,h8 Chứng
minh rằng tổng S =h12 +h22 +h32 +h42 +h52 +h62 +h72 +h82
là hằng số không phụ thuộc vào m, n, p Tính S
2) (2 ñiểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD ñôi một vưông góc
Tìm ñiểm M trong không gian sao cho f(M)=MA 3+MB+MC+MDlà nhỏ nhất
Bài 5 (2 ñiểm) Cho f(x)=a1sinb1x+a2sinb2x+a3sinb3 +L+a nsinb n x Thoả mãn f(x) ≤1
với mọi x∈[−1;1] Chứng minh rằng a1b1+a2b2 +L+a n b n ≤1
-Hết -
Trang 6SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO
BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 Năm học 2005 - 2006
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 2006
Bài 1( 4 ñiểm)
1) Cho hàm số
1
2
+
+ +
=
x
m x m x
y , với m là tham số Xác ñịnh m ñể trên ñồ thị hàm số có hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua gốc toạ ñộ
2) Tìm tất cả các nghiệm dương của phương trình ln2
1
4 log( 1) =
+
− +
x e x
Bài 2( 5 ñiểm)
1) Giải phương trình: 3 x−2 =2(x−3)+ x+6
2) Xác ñịnh m ñể bất phương trình sau nghiệm ñúng với mọi x∈R:
0 ) 2 (
1
+
m x
m
Bài 3(4 ñiểm)
1) Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn:
sin2 A+sin2B+sin2C =2 3sinAsinBsinC
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác ñều
2) Tính =∫4 +
0
2
cos 1 π
dx x
x tg
Bài 4( 5ñiểm) Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz, cho hình lập phưong ABCDA'B'C'D' Trong ñó
) 1
; 0
; 0 ( ), 0
; 1
; 0 ( ), 0
; 0
; 1 ( ),
0
;
0
;
0
'
C D
B
C
Trên các ñoạn thẳng BD và AD, lần lượt lấy hai ñiểm M, N sao cho
DM = AN = x (0≤x≤ 2) Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố ñịnh Gọi (P) là mặt phẳng bất kì chứa CD, còn α là góc giữa (P) và mặt phẳng (BB'D'D) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của α
Bài 5(2 ñiểm) Cho a,d là các số không âm; b, c là các số dương thoả mãn:
b + c ≥ a + d và a + b ≥ c + d Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
`
b a
c d c
b P
+
+ +
=
-Hết -
Trang 7Sở giáo dục và ñào tạo
bắc giang
ðề chính thức
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009
Môn thi: Toán, lớp 12 THPT
Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (5 ñiểm)
Cho hàm số
2
(1), 1
y
x
− −
=
1 Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) tiếp xúc với ñường thẳng y = x
2 Khi m = 2, tìm trên ñồ thị (C) của hàm số (1) hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua ñường thẳng d: y = 2x +1
4
Câu II (4 ñiểm)
1 Giải phương trình 3 2
x+ + x− =x − (x ∈ )
2 Giải phương trình | cot | tan 1
sin
x
Câu III (5 ñiểm)
1 Trong hệ trục tọa ñộ Oxy, cho ñiểm A(1; 1) Tìm tọa ñộ các ñiểm B thuộc ñường thẳng
d: y = 3 và C thuộc Ox sao cho tam giác ABC ñều
2 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = b, SA ⊥ (ABCD)
và SA = a
a) Gọi E là trung ñiểm CD Tính khoảng cách từ S ñến BE theo a, b
b) Gọi α, β, γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (SBD) với các mặt phẳng (SAB), (SAD)
và (ABD) Chứng minh rằng cos α + cos β + cos γ ≤ 3
Câu IV (4 ñiểm)
1 Tính tích phân I =
2
2 2
cos
4 sin
dx x
π
π
+
−
∫
2 Tìm các giá trị của x trong khai triển Niutơn của ( 2log(10 3 )− x +52(x−2)log 3) ,n biết rằng số hạng thứ sáu trong khai triển ñó bằng 21 và C1n+C n3 =2C n2
Câu V (2 ñiểm)
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1
Chứng minh rằng 2 12 2 1 1 1 30
x y z + xy+ yz+zx ≥ + +
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên học sinh số báo danh
Trang 8SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
BẮC GIANG
NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: Toán-lớp 12
Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao ñề)
Câu I (5,0 ñiểm)
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số) (1)
1 Tìm m ñể hàm số (1) ñạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3
2 Tìm m ñể ñường thẳng y = 1 cắt ñồ thị hàm số (1) tại ba ñiểm phân biệt A(0;1), B, C sao
cho các tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau
Câu II (4,0 ñiểm)
1 Giải hệ phương trình: 8
5.
x x y x y y
x y
− = +
− =
(x, y ∈ R)
2 Giải phương trình: sin 4 cos 4 4 2 sin ( ) 1
4
x + x = x + π − (x ∈ R)
Câu III.(2,0 ñiểm)
Cho phương trình: log( x2+ 10 x + m ) = 2 log(2 x + 1) (với m là tham số) (2)
Tìm m ñể phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt
Câu IV (2,0 ñiểm)
Tính tích phân:
4
2 0
tan cos 1 cos
xdx
π
+
Câu V (4,0 ñiểm)
1 Trong hệ tọa ñộ Oxy, cho ñiểm A(3; 2), các ñường thẳng ∆1: x + y – 3 = 0 và ñường
thẳng ∆2: x + y – 9 = 0 Tìm tọa ñộ ñiểm B thuộc ∆1 và ñiểm C thuộc ∆2 sao cho tam giác
ABC vuông cân tại A
2 Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) và mặt phẳng
(P): x + y + z - 6 = 0
Tìm tọa ñộ ñiểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA2 + MB2 ñạt giá trị nhỏ nhất
Câu VI (2,0 ñiểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với ñáy Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Câu VII (1,0 ñiểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3
Chứng minh rằng:
3
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:……….SBD:………