T×m híng gi¶i: DiÖn tÝch tø gi¸c ABCD b»ng tæng diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c ABC vµ ADC.. §· biÕt AC, cÇn biÕt thªm chiÒu cao t¬ng øng víi AC.[r]
Trang 1Bài tập
"Vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông"
Môn Toán - Lớp 9
I Mục tiêu:
- Củng cố, khắc sâu các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
- Rèn kĩ năng vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để giải các tam giác vuông, giải các bài toán thực tế nh xác định chiều cao hoặc khoảng cách
- Hạn chế các sai lầm khi vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
II Tài liệu hỗ trợ :
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9; Nâng cao và phát triển toán 9; Ôn kiến thức, luyện kĩ năng hình học 9
III Nội dung:
1 Lí thuyết:
Chúng ta đã biết trong một tam giác vuông nếu biết hai yếu tố về độ dài của tam giác vuông thì có thể tính đợc độ dài của các yếu tố còn lại theo định lí Pi ta go Bây giờ nhờ có khái niệm tỉ số lợng giác của góc nhọn ta có thêm các hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác vuông
Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề (1)
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề (2)
cạnh góc vuông cạnh góc vuông
Từ (1) suy ra: cạnh huyền = =
sin góc đối côsin góc kề
Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông đợc vận dụng trong nhiều bài tập:
- Biết độ dài một cạnh và biết số đo một góc, tính độ dài cạnh còn lại
- Giải các tam giác vuông tức là trong một tam giác vuông nếu biết độ dài hai cạnh hoặc độ dài một cạnh và số đo một góc, tính độ dài các cạnh còn lại và số đo các góc còn lại
- Giải các bài toán thực tế nh xác định chiều cao hoặc khoảng cách
2 Bài tập:
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có A D 90 0, C 50 0 Biết AB = 2, AD = 1,2 Tính diện tích hình thang ABCD
Giải: Vẽ BH CD ta có ABHD là hình chữ nhật
b = a sin B = a cos C
c = a sin C = a cos B
b = c tan B = c cotC
c = b tanC = b cot B
B
A
1,2
2
B
H A
50
Trang 2nên BH = AD = 1,2, DH = AB = 2.
Xét tam giác vuông HBC, H 90 0, ta có:
HC = HB cotC = 1,2 cot 500 1,0
CD = CH + HD 1 + 2 = 3
Diện tích hình thang ABCD là: AB CD AD 2 3 1, 2
Chú ý: Việc kẻ BH CD là để tạo ra một tam giác vuông biết độ dài một cạnh và biết số đo một góc, từ đó tính đợc độ dài CH và CD, do đó tính đợc diện tích hình thang
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH, biết BC = a và B Hãy tính AH,
BH và CH theo a và
Giải:
Tam giác ABC vuông tại A (GT) nên AB = a cos , AC = a sin
Tam giác ABH vuông tại H ta có
AH = AB sinB = a cos sin
BH = AB Cos B = a cos cos = a cos 2
CH = AC cosC = AC sinB = a sin sin = a sin2
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3,5 Tính diện tích tam giác ABC trong hai tr-ờng hợp:
a) A = 400;
b) A = 1400
Giải:
a) Vẽ đờng cao CH, ta có A = 400 (Anhọn) thì
H và B nằm cùng phía đối với A
Xét tam giác HAC vuông tại H, ta có
CH = AC sinHAC = 3,5 sin 400 2,2
Diện tích của tam giác ABC là:
S AB.CH 4.2, 2 4, 4
b) Trờng hợp A = 1400
Vẽ đờng cao CH, ta có A = 1400 (Atù) thì
H và B nằm khác phía đối với A
Xét tam giác HAC vuông tại H, ta có
CH = AC sinHAC = 3,5 sin 400 2,2
Diện tích của tam giác ABC là: 1 1
S AB.CH 4.2, 2 4, 4
Lu ý : Một cách tổng quát, ta chứng minh đợc rằng: Diện tích tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đờng thẳng chứa hai cạnh đó.
Bài tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, B 65 0, đờng cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC
C
A
a
A
4 3,5
C
B
H 40
4 A
3,5
C
B H
140
Trang 3Giải: Tam giác ABC cân tại A nên C B 65 , A 180 0 0 1300 500.
Xét tam giác vuông HBC vuông tại H có:
0
CH 3, 6
sin B sin 65
Vẽ AD BC khi đó DB = DC = 2,0
Xét tam giác ABD vuông tại D, có
AB = BD 2 0
4,7 cos B cos 65
Do đó AC 4,7
Chú ý: Việc vẽ thêm đờng cao AD là để tạo ra một tam giác vuông biết một cạnh góc vuông
và một góc nhọn, từ đó sẽ tính đợc cạnh huyền AB, AC.
Bài tập 2 : Vì kèo của một mái nhà có dạng tam giác cân (hình vẽ) Biết đáy BC = 4,2 m,
chiều cao AH = 1,7 m Hãy tính:
a) Độ dốc của mái nhà
b) Độ dài của các thanh đỡ HD, HE
Giải:
a) AH là đờng cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân
ABC nên:
HB = HC = 4,2 : 2 = 2,1 (m)
Xét tam giác ABH vuông tại H có tan = AH
BH =
1,7 0,8095 2,1 40
0 b) Xét tam giác DBH vuông tại H có HD = HB Sin B 2,1 0,643 1,3 (m)
Suy ra HE 1,3 (m)
Bài tập 3: Tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại O Biết AOD = 700; AC = 5,3 cm; BD
= 4,0 cm Tính diện tích tứ giác ABCD
Tìm hớng giải: Diện tích tứ giác ABCD bằng tổng diện tích của các tam giác ABC và ADC
Đã biết AC, cần biết thêm chiều cao tơng ứng với AC Do đó cần vẽ DKAC, DKAC
Giải: Vẽ BH AC, DK AC
Xét tam giác HOB vuông tại H ta có BH = OB sinO2
Xét tam giác KOD vuông tại K ta có DK = OD sin O1
Mà O 1 O 2 (đối đỉnh)
SABCD = SABC + SADC = 1
2AC (BH + DK)
= 1
2AC(OB + OD) sin O1 =
1
2AC.BD sin O1
= 1
2.5,3 4 sin 70
0 1
2 5,3 4 0,9397 10,0 (cm
2)
Nhận xét: Nếu tứ giác có độ dài hai đờng chéo là m và n, góc nhọn xen giữa hai đờng chéo là
thì diện tích của tứ giác là : S = 1
2.m.n sin .
Bài tập 4: Cho tam giác nhọn ABC, B C , đờng cao AH và đờng trung tuyến AM
a) Chứng minh rằng HC - HB = 2 HM
H
A
C
E
H
A
C B
D
K H A
C
B
D
1
O2
Trang 4b) Gọi là góc tạo bởi đờng cao và trung tuyến Chứng minh rằng: cot C cot B
tan
2
Giải:
a) Ta có HC – HB = (HM + MC) – (MB – HM) = 2HM
c) Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có HC = AH.cotC
Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có HB = AH.cotB
HC – HB = AH(cot C – cotB)
hay 2HM = AH(cot C – cotB) (1)
Xét tam giác vuông AHM vuông tại H ta có:
HM = AH tan 2HM = 2AH tan (2)
Từ (1) và (2) AH(cot C – cotB) = 2AH tan hay tan = cot C cot B
2
IV Hớng dẫn HS tự học ở nhà:
- Học thuộc các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, nắm chắc phơng pháp giải tam giác
- Xem kĩ các bài tập trong buổi học, tham khảo các ví dụ trong các tài liệu nâng cao
- Bài tập về nhà: Cho tam giác nhọn ABC, A 75 0, AB = 30 mm, BC = 35 mm, hãy giải tam giác ABC
M H
A
C B