Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc, biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong giờ xong việc.. Giải.[r]
Trang 1CHUYấN ĐỀ:
GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG
TRèNH, HỆ PHƯƠNG TRèNH.
Các b ớc giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình : 3 bớc
Bớc 1: Lập phơng trình:
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết
- Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giã các đại lợng
Bớc 2: Giải phơng trình
Bớc 3: Trả lời:
-Kiểm tra xem trong các nghiệm của phơng trình, nghiệm nào thoả
mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận
I
LOẠI TOÁN HèNH HỌC :
Bài 1: Một hình chữ nhật có chu vi là 28m Nếu tăng chiều rộng gấp 2 lần
và giảm chiều dài còn một nửa thì chu vi tăng thêm 4cm Tìm kích thớc
của hình chữ nhật?
Giải:
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là a
Và chiều rộng của hình chữ nhật là b (a, b>0)
Theo bài ra ta có:
2(a+b) = 28 a+b =14
Mặt khác: 2(2b+) = 28 + 14
a+4b = 32
Ta có hệ pt sau:
Vậy kích thớc của hình chữ nhật lần lợt là: 8 và 6 (cm)
Bài 2:
Một sân hình tam giác có diện tích 180m2 Tính cạnh đáy của sân
biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4m và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích
không đổi?
Giải:
Gọi cạnh đáy và chiều cao tơng ứng của sân lần lợt là a và b
(a,b>0)
Theo bài ra: Diện tích của sân là 18m2
ab = 360 Mặt khác ta có: (a + 4)(b - 1) = ab
-a + 4b - 4 = 0 Kết hợp 2pt trên ta có hệ
pt sau:
Từ (1) b = thay
vào (2) đợc: -a2- 4a +
1440 = 0
Vậy cạnh đáy của sân là 36m
Bài 3:
Một tam giác vuông có chu vi 30m, cạnh huyền 13m Tính mỗi cạnh
góc vuông?
Giải:
Gọi độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông là a, b (a,b >0)
Chu vi của tam giác là: a + b + 13 =30 a + b = 17 (1)
2
a
32 4
14
b a
b a
6
8
b a
ab 360 1
a 4b 4 0 2
360
a
a 36
a 40
Trang 2Mặt khác theo định lý Pytago: a2 + b2 = 169 (2)
Kết hợp (1) và (2) :
Vậy độ dài 2 cạnh góc
vuông là 12 và 5 m
Bài 4:
Một hình chữ nhật
có chu vi là 32cm và diện tích là 60 cm2 Tính đờng chéo của hình chữ nhật
đó?
Giải:
Gọi độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật là a và b (a,b>0)
Chu vi hình chữ nhật là 32cm
2(a + b) = 32 a + b = 16 (1) Diện tích hình chữ nhật là 60 cm2
ab = 60 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có
Độ dài 2 cạnh của hình
chữ nhật là 10 và 6 cm
Vậy độ dài đờng chéo của hình
chữ nhật là: = cm
Bài 5:Một sân trờng hình chữ nhật có chu vi 340m Ba lần chiều dài hơn
bốn lần chiều rộng là 20m Tính chiều dài và chiều rộng của sân trờng?
Giải:
Gọi chiều dài và chiều rộng của sân trờng lần lợt la a và b (a,b >0)
Chu vi sân trờng là 340m a + b = 170 (1)
Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m nên 3a - 4b = 20 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có:
Vậy chiều dài và chiều rộng
của sân trờng lần lợt là 100 và
70m
Bài 6:
Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 12 cm Điểm M chạy
trên AB Tứ giác MNCP là một hình bình hành có đỉnh N thuộc cạnh AC
Hỏi khi M cách A bao nhiêu thì diện tích của hình bình hành bằng 32 cm2?
Giải:
Đặt MA = x (0 < x< 12) Tam giác ABC vuông cân nên MP = MB = 12- x Diện tích của hình bình hành MNCP là MP.MA = (12-x)x
Theo giả thiết:
Diện tích của hình bình hành MNCP là 32 cm2 (12 - x)x =32 x2 -12x +
32 = 0
x = 4 hoặc x = 8 (thoả mãn)
Vậy M cách A là 4 hoặc 8 cm
II, LOẠI TOÁN TèM SỐ:
Bài 1:Hai số kộm nhau 12 đơn vị Nếu chia số nhỏ cho 7, chia số lớn cho 5
thỡ thương thứ nhất kộm thương thứ hai là 4 đơn vị.Tỡm 2 số đú
Giải
Cỏch 1 : Gọi số nhỏ nhất là : x
Số lớn nhất là : x+12
5 17
a
b
a b
60
16
b a
b a
6
10
b
a
) 36 100 ( 136
3a - 4b = 20
a + b = 170
100 70
a b
100 70
a b
P
N
M
C
B
Trang 3Thương của số nhỏ cho 7 là:
Thương của số lớn cho 5 là:
Theo bài ra ta có: = + 4
5x = 7x + 84 + 140
x = 28
Vậy số nhỏ là: 28 Số lớn là: 28 + 12 = 40
Cách 2 : Đặt thương thứ nhất là: a
Thương thứ hai là: a + 4
Số nhỏ là: 7a
Số lớn là (a + 4)5
Theo bài ra ta có :
(a + 4) 5 – 7a = 12
5a + 20 - 7a = 12
2a = 8
a = 4
Vậy số nhỏ là 7.4 = 28
Số lớn là : (4 + 4).5 = 40
Cách 3 : Gọi 2 số cần tìm lần lượt là: x, y (x,y N)
Hai số kém nhau 12 đơn vị : y - x = 12
Thương thứ nhất kém thương thứ hai là 4 đơn vị : + 4 =
Ta có hệ:
Giả hệ ta được x = 28 (thoả
mãn )
y = 40
Vậy số cần tìm là 28 và 40
Bài 2 : Cho một số có hai chữ số, chữ số hàng chục bằng nửa chữ số hàng
đơn vị Nếu đặt số 1 xen vào giữa hai số này ta được một số lớn hơn số đã cho là 370 Tìm số đã cho?
Giải
Gọi số phải tìm là:
Chữ số hàng chục bằng nửa chữ số hàng đơn vị : b=2a
Đặt số 1 xen vào giữa ta được số mới là
Theo bài ra ta có : - = 370
100a + 10 + b – 10a – b = 370
90a = 360
a =4
b =2.4 = 8
Vậy số cần tìm là : 48
Bài 3 :
Tổng của hai số bằng 136 Nếu lấy số nhỏ chia cho 4 và số lớn chia cho 6 thì tổng của hai thương là 28 Tìm hai số đó?
Giải
Cách 1: Gọi số nhỏ là x Số lớn là y ( x, y Z và y > x )
7
x
5
12
x
7
x
5
12
x
7
x
5
y
5
4 7
12
y x
x y
ab
b a1 b a1 ab
a 36
a 40
Trang 4Ta có : x + y = 136 (1)
Số nhỏ chia 4 được thương:
Số lớn chia cho 6 được thương:
Mà tổng hai thương là: 28 => + = 28 (2)
Từ (1), (2) ta có hệ:
(thoả mãn ) Vậy hai số cần tìm là:
64 và 72
Cách 2: Gọi số nhỏ là x (x N).Số lớn là : 136 - x
Thương của số nhỏ cho 4 là:
Thương của số nhỏ cho
6 là:
Theo bài ra ta có: + = 28 3x + 272 – 2x = 336
x = 64 ( thoả mãn ) Vậy số nhỏ là : 64
Số lớn là : 136 – 64 =72
Bài 4 : Tìm hai số biết tổng của chúng là 17 và tổng bình phương của chúng
là 157
Giải
Cách 1 : Gọi 2 số cần tìm lần lượt là: a,b (a,b Z)
Theo bài ra ta có hệ:
Giải hệ: (1) a = 17 – b
(2) (17-b)2 + b2 =
157
b2 -34b + 289 + b2 = 157
2b2 – 34b +132 = 0
(thoả mãn ) Vậy 2 số phải tìm là: 6 và 11
Cách 2:
Gọi 1 số phải tìm là: a
Số kia là: 17 – a
Tổng bình phương của chúng là 157
(17-a)2 + a2 = 157
a2 + 289 – 34a + a2 = 157
2a2 – 34a +132 = 0
Vậy hai số phải tìm là: 6, 11
Bài 5 :
4
x
6
x
4
x
6
x
28 6 4
136
x x
y x
72
64
y x
4
x
6
136 x
4
x
6
136 x
2 2
a+b = 17 (1)
a +b = 157 (2)
6
11
b
b
11
6
a a
6
11
a a
Trang 5Tìm 1 số có hai chữ số biết rằng nếu đem chia số đó cho tổng các
chữ số của nó thì được thương là 4 và dư là 3, còn nếu đem chia số đó cho
tích các chữ số của nó thì được thương là 3 và còn dư 5
Giải
Gọi số có hai chữ số đó là (a,b )
Chia số đó cho tổng các chữ số của nó ta có:
= 4(a + b) + 3 10a + b = 4a + 4b + 3
6a – 3b = 3 (1)
Đem chia số đó cho tích các chữ số của nó
= 3ab + 5 10a + b = 3ab + 5 (2)
Từ (1), (2) ta có hệ:
Từ (1) có: b = Thay vào (2): 10a + = 3a + 5
18a2 – 45a + 18 = 0
Vậy số cần tìm là: 23
Bài 6 :
Tìm phân số có đồng thời các tính chất sau:
a,Tử số của phân số là 1 số tự nhiên có 1 chữ số
b, Hiệu giữa tử số và mẫu số bằng 4
c, Nếu giữ nguyên tử số và viết thêm vàobên phải của mẫu số một chữ số
đúng bằng tử số thì ta được 1 phân số bằng phân số 1/3
Giải:
Gọi tử số là : a (1)
thì mẫu số là: a-4
Nếu giữ nguyên tử thêm vào bên phải mẫu số 1 chữ số = tử Ta có :
= =
=
3a = 11a
- 40
8a = 40
a = 5
Vậy số phải tìm là:
Bài 7 :
Tỉ số của hai số a và b là: 1 Tìm 2số biết rằng a- b =8
Giải
Cách 1 : Tỉ số của hai số a và b là: = 2a - 3b = 0
Theo bài ra ta có hệ : :
giải hệ ta được : a = 24
ab N
ab
ab
6a - 3b = 3 10a + b = 3ab + 5
3
3
6 a
3
3
6 a
3
3
6 a
2 1 ( ) 2
a
a loai
3 0( )
b
b loai
9
a
a a
a
) 4 ( 3
1
a a
a
40
10 3
1
40
11 a
a
3
1
1 5
2 1
2
3
b
a
2
3
0 3 2
8
b a b a
Trang 6b = 16
Cách 2 : Theo bài ra: a - b = 8 a=b + 8 (1)
Tỉ số của 2 số a và b là : a=b (2)
Từ (1) (2): 8+b = b b = 8 b = 16
Thay vào (1): a = 8 + 16 = 24
Vậy 2 số phải tìm là: 16; 24
Baì 8 :
Trên đường Lương Ngọc Quyến, thành phố Thái Nguyên cứ 5 nhà liền nhau có số nhà hơn kém nhau 2 đơn vị Biết tổng của số nhà đầu tiên
và số nhà cuối cùng là 210 Tìm 2 số nhà đó?
Giải
Cách 1 : Gọi số nhà đầu tiên là: x
Số nhà cuối cùng là: y (x, y N )
Theo bài ra ta có: x + y = 210 (1)
Vì các nhà liền nhau hơn kém nhau 2 đơn vị nhà đầu tiên cách nhà cuối cùng là: 2.5 = 10 y – x = 10 (2)
Từ (1), (2) ta có hệ:
Giải hệ được: x = 100
y = 110
Vậy số nhà đầu tiên là: 100
Số nhà cuối cùng là: 110
Cách 2: Gọi số nhà đầu tiên là: x (x N )
Số nhà cuối cùng là: 210- x
Do 2 nhà sát nhau hơn kém 2 đơn vị Nhà đầu tiên cách nhà cuối cùng là: 2.5 = 10
Ta có: 210 – x – x = 10
-2x = -200
x = 100
Vậy số nhà đầu tiên là: 100
Số nhà cuối cùng là: 110
Bài 9: Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số.biết rằng chữ số tận cùng của
nó bằng 4, và nếu chuyển chữ số 4 đó lên vị trí của số đầu tiên thì số phải tìm tăng gấp 4 lần
Giải
Gọi số phải tìm là:
Chuyển chữ số 4 lên vị trí đầu ta
có: 4 = 4
đặt = x
Ta có pt : (10x +4) 4 = 400000 + x
40x + 16 = 400000 + x
x = 10256
Vậy số phải tìm là : 10256
Bài 10 :
2
3
2 3 2
3
2
1
10
210
x y
y x
4
abcde
4
abcde abcde
abcde
Trang 7Cho n số nguyên dương (không nhất thiết khác không ), trong đó có số 68.Trung bình cộng của n số đó bằng 56.Khi bỏ số 68 đó đi thì trung bình cộng của n – 1 số còn lại là 55
a Tìm n
b Số lớn nhất trong n số đã cho có thể bằng bao nhiêu?
Giải
Số nguyên dương phải tìm là : n (n Z )
Do khi bỏ số 68 đi thì trung bình cộng của n số bằng 55 ta có pt :
= 55
n = 13
Tổng của 13 số = 56 13 = 728
Trong 13 số có 1 số 68 Tổng của 12 số còn lại = 728 – 68 = 660
Số lớn trong 12 số con lại đạt được nếu 11 số bằng 1
Khi đó số lớn nhất = 660 – 11 = 649
III, D¹NG TO¸N CHUYÓN §éng:
Bài1 :
Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35km/h Sau đó
24 phút, trên cùng một tuyến đường đó, một ôtô xuất phát từ Nam Định đi
Hà Nội với vận tóc 45km/h Biết quãng đường Nam Định – Hà Nội dài 90km Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau?
Giải:
- Gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau là x (h) Điều kiện thích hợp của x là x>
-Trong thời gian đó, xe máy đi được quãng đường là 35x (km)
Vì ôtô xuất phát sau xe máy 24 phút (tức là h) nên ôtô đi trong thời gian
là x- (h) và đi được quãng đường là 45 (x - ) (km)
Đến lúc hai xe gặp nhau, tổng quãng đường chúng đi được đúng bằng quãng đường Nam Định – Hà Nội (dài 90km) nên ta có phương trình:
35x+ 45 (x - ) = 90
- Giải phương trình:
35x+ 45 (x - ) = 90 35x + 45x – 18 = 90
80x = 108
x = =
- Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn Vậy thời gian để hai xe gặp nhau là giờ, tức là 1 giớ 21 phút, kể từ lúc xe máy khởi hành
Bài 2: Một ôtô du lịch từ A đến B với vận tốc 50km/h, 24 phút sau khi khởi
hành vận tốc giảm đi 10km/h do đó B chậm mất 18 phút Tính quãng đường từ A đến B
Giải:
- Gọi độ dài quãng đường từ A đến B là x (km) Điều kiện x> 0
- Sau 24 phút (tức giờ ) ôtô đi được quãng đường là 50 = 20 (km)
- Nếu cứ đi với vận tốc 50km/h ôtô đi từ A đến B mất giờ
1
68 56
n
n
5 2
5
2 5
2 5 2
5 2
5 2
80
108 20 27 20 27
5
2 5 2 50
x
Trang 8- Nhưng quãng đường còn lại là x – 20 (km) ôtô đi với vận tốc giảm 10km so với ban đầu nên đến B chậm 18 phút (tức giờ) nên ta có phương trình:
- Giải phương trình:
(*) 80 + 5(x - 20) = 4x + 60
80 + 5x – 100 = 4x + 60
x = 80
- Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn Vậy độ dài quãng đường từ A đến B là 80 km
Bài3: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bô
10km Canô đi từ A đến B mất 3 giờ 20 phút, ôtô đi hết 2 giờ Vận tốc của canoo nhỏ hơn vận tốc của ôtô là 17 km/h Tính vận tốc canô
Giải:
Gọi vận tốc của canô là x (km/h) Điều kiện x>0
Thì vận tốc của ôtô là x + 17 (km/h)
Canô đi từ A đến B mất 3 giờ 20 phút(tức giờ) Vây đường sông từ A đến B dài là (km)
- Ôtô đi từ A đén B mất 2 giờ nên đường bộ từ A đến B dài là 2(x + 17) (km)
- Theo bài ra đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bô 10km nên ta có phương trình:
2(x + 17) - = 10
- Giải phương trình:
2(x + 17) - = 10 3.2(x + 17) – 10x = 3.10
6x + 102 -10x = 30
4x = 72
x = 18
- Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn Vậy vận tốc của canô là 18 (km/h)
Bài 4:
Một ôtô khởi hành từ bến đi với vận tốc 40 km/h Sau 30 phút sau cũng tại bến đó ôtô thứ 2 đi với vận tốc 60 km/h đuổi theo ôtô thứ nhất Tính thời gian ôtô thứ 2 đuổi kịp ôtô thứ nhất
Giải:
- Gọi thời gian để ôtô thứ hai đuổi kịp ôtô thứ nhất là t (giờ) (t>0)
- Khi bị ôtô thứ hai đuổi kịp ôtô thứ nhất đã khởi hành được thời gian là + t (giờ) và quãng đường đi được là ( + t)40 (km)
- Khi đó quãng đường của hai xe đã đi được là bằng nhau nên ta có phương trình:
( + t)40 = 60t
- Giải phương trình: + t)40 = 60t t = 1
- Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn Vậy thời gian để ôtô thứ hai đuổi kịp ôtô thứ nhất là 1 giờ
10 3
5
2
10 50
20
x
50
x
10 3
3
10 3
10x
3
10x
3
10x
2
1 2 1
2 1 2 1
Trang 9Bài 5: Hai người xe đạp cùng khởi hành cùng một lúc ở cùng một chỗ,
người thứ nhất đi về phía bắc, người thứ hai đi về phía đông Sau hai giờ họ cách nhau 60 km theo đường chim bay Biết vận tốc của người thứ nhất lớn hơn vận tốc của người thứ hai là 6 km/h Tính vận tốc của mỗi người
Giải:
- Gọi vận tốc của người thứ hai là x (km/h) (x>0) thì vận tốc của gười thứ nhất là x+6 (km/h)
- Sau 2 giờ người thứ nhất đi được quãng đường là 2x (km), người thứ hai đi được quãng đường là 2(x+6) (km)
- Gọi O là địa điểm hai người bắt đầu xuất phát, A là địa điểm người đi
về phía bắc tới sau 2 giờ, B là địa điểm người đi về phía đông tới sau 2 giờ,
A
60km
B
O Khi đó khoảng cách AB là 60km, tam giác AOB là tam giác vuông tại O, nên ta có phương trình sau:
(2x)2 +[2(x+6)]2=602
- Gía trị x=18 thoả mãn điều kiện của ẩn
- Vậy vận tốc của người thứ hai là: 18km/h, vận tốc của người thứ nhất là: 18+6=24(km/h)
Bài 6: Một canô đi xuôi dòng 44 km rồi ngược dòng 27 km hết tất cả 3 giờ
30 phút Biết vận tốc thực của ca nô là 20km/h Tính vận tốc dòng nước
Giải:
Gọi vận tốc của dòng nước là x (km), điều kiện x>0
Vận tốc canô lúc xuôi dòng là 20 + x (km/h)
Vận tốc canô lúc ngược dòng là 20 – x (km/h)
Thời gian canô đi canô đi xuôi dòng là (giờ), thời gian canô đi ngược dòng là (giờ), tổng thời gian cả luc xuôi và luc gược dogflà 3 giờ 30 phút ( tức 3 giờ), nên ta có phương trình:
+ = 3 (*)
- Giải phương trình: (*) 7 x2 – 34x + 40 = 0
x= 2 hoặc x =
Bài 7: Hai ôtô khởi hành từ cùng một địa điểm và theo cùnh một hướng Xe thứ nhất chạy với vận tốc 40 km/h Vận tốc xe thứ hai bằng 1 vận tốc xe tứ nhất 30 phút sau từ cùng một địa điểm xuất phát và
2
8 48 3456 0 18
24( )
x
x
20
44
x
20
27 2 1
x
20
44
x
20
27 2 1
2 20
4 1
Trang 10cùng hướng nói trên một xe thứ 3 khởi hành, xe này vượt xe thứ nhất, sau
đó 1 giờ 30 phút nó vượt tiếp xe thứ hai Tính vân tốc xe thứ ba
Giải:
Gọi vận tốc của xe thứ 3 là v(km/h) v>0
Thời gian xe thứ ba bắt đầu khởi hành đến khi đuổi kịp xe thứ nhất là t giờ
(t>0)
Từ khi bắt đầu khởi hành đến khi xe thứ 3 đuổi kịp xe thứ nhất đã đi
được + t (giờ)
Khi đuổi kịp xe thứ nhất quãng đường xe thứ 3 đi được bằng quãng đường
xe thứ nhất đi được nên ta có phương trình :
( + t)40 = vt (1) Vận tốc của xe thứ hai là 1 40 = 50 (km/h)
Từ khi bắt đầu khởi hành đến khi xe thứ 3 đuổi kịp xe thứ 2 đã đi được
thời gian là
+ t + (giờ)
Thời gian xe thứ ba từ lúc bắt đàu khởi hành đến khi đuổi kịp xe thứ
hai là t + (giờ)
Khi đuổi kịp thì quãng đường hai xe đi được là bằng nhau nên ta có
phương trình :
( + t + )50 = v (t + ) (2)
Từ (1) và (2 ) ta có hệ
Từ (2) suy ra (*) thay vào (1) ta được:
t=-3 (loại) t=1 thay vào (*)
Ta thấy giá trị t =1 và v =
60 phù hợp với điều kiện của ẩn
Vậy vận tốc của xe thứ ba là: 60 km/h
Bài 8:
Một người đi xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC và đoạn
xuống dốc CB Thời gian đi từ A đến B là 4 giờ 20 phút, thời gian từ B về
A là 4 giờ Biết vận tốc lên dốc (lúc đi cũng như lúc về) là 10 km/h, vận tốc
xuống dốc (lúc đi cũng như lúc về) là 15 km/h Tính quãng đường AC, CB
Giải:
Gọi quãng đường AC, CB lần lượt là S1 và S2,với S1>0,S2>0
Người đi xe đạp từ A đến B mất 4 giờ 20 phút(tức giờ) mà thời gian
người đó đi từ A đến C là (giờ), thời gian người đó đi từ C đến B là
(giờ) Nên ta có phương trình + = (1)
Người đi xe đạp đi từ B về A mất 4 giờ mà thời gian người đó đi từ B
đến C là (giờ), thời gian người đó đi từ C đến A là (giờ) Nên ta có
phương trình: + = 4 (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
2 1
2 1 4 1
2
1 2 3 2 3
2
1 2
3 2
3
2
t vt
2( 2)50
2 3
t v
t
2
1 2( 2)50 ( )40
1
2 3 0
3
t
t t
t
2(1 2)50
60 2.1 3
3
13 10
1
S
15
2
S
10
1
S
15
2
S
3 13
10
2
S
15
1
S
15
1
S
10
2
S
1 2 13
10 15 3
1 2
4
10