Tham khảo Đề kiểm tra chất lượng đội tuyển HSG năm 2018 - 2019 để có tài liệu chất lượng rèn luyện làm bài kiểm tra đạt điểm cao. Thực hành cùng các bài tập tổng hợp kiến thức môn học giúp bạn tiện theo dõi và ôn tập làm bài hiệu quả. Mời các bạn tham khảo!
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HSG (Lần 1)
NĂM HỌC 2018-2019
Môn: TOÁN - Lớp 11 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày kiểm tra: 12 tháng 01 năm 2019
(Đề có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu I: 1) Cho hàm số y x 24(m1)x4m23 (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Oxtại hai điểm có hoành độ x x1, 2 sao cho
1 2 2( 1 2)
x x x x đạt giá trị nhỏ nhất.
2) Giải phương trình: 5x214x 9 x2 x 20 5 x1
Câu II: 1) Giải phương trình:
2
4cos 2 tan 2 tan 2
x
2) Giải hệ phương trình:
Câu III: 1) Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn a b c 3abc Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: 3( 2 ) 3( 2 ) 3( 2 )
P
2) Cho dãy số u n như sau: 1
3 1
1
2
u
u u n
Tính: lim20204u n
L
n
2) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD2AB Trên đoạn thẳng BD
lấy điểm M sao cho DM 4MB và gọi E F, lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
DM và BC Tìm tọa độ các đỉnh A B C D, , , , biết E1;6 , F2;3 , D có hoành độ lớn hơn
1 và A có hoành độ âm
Câu V: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a Xét hai điểm M trên '
AD và N trên DB sao cho AM DN k (0<k<a 2).
1) Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng ( ' 'A D CB) khi k thay đổi
2) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
……….HẾT………
Họ tên thí sinh: SBD:
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HSG
NĂM HỌC 2018-2019
Môn: TOÁN - Lớp 11 THPT
I 1 Phương trình hoành độ giao điểm: x24(m1)x4m2 3 0(*)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x x khi PT (*) có1, 2
1 ' 0
8
m
Theo Định lý Viet: 1 2 2
1 2
4( 1)
Ta có: x x1 2 2(x1x2) 4m28m11
1 2 2( 1 2)
x x x x nhỏ nhất khi 4m28m11nhỏ nhất
Xét hàm số 4 2 8 11 , [- ;1 )
8
y m m m
Bảng biên thiên:
8
y
161 16 Đáp số: x x1 2 2(x1x2) đạt giá trị nhỏ nhất khi 1
8
m
0.5
0.5
2 5x214x 9 x2 x 20 5 x1
Điều kiện xác định: x 5
PT x x x x x
2
2
2
2
7 ( ) 4
x
0.5
0.5
Trang 3II 1
sin 2 0; tan cot 0
(*)
Ta có:
2
2 2
2
4cos 2
x
x
2 2
(tan 2 1) 0 tan 2 1
Kết hợp điều kiện (*) suy ra phương trình vô nghiệm
0.5
0.5
2 - Điều kiện 0
2
y x
- Từ phương trình (1) x1 yx12 y2 x2xy x
1
1
1
1
x y
Do 0
2
y x
1
- Thay vào (2) ta được phương trình
x418x23x 6 x 2 78 0
2 2
2
2 9 0
3
2 1 0
x
x x
(thỏa mãn điều kiện) với x 3 y2 thỏa mãn điều kiện
- Vậy hệ phương trình có nghiệm 3
2
x y
0.5
0.5 III 1
Từ giả thiết, ta có: 1 1 1 3
ab bc ca
Đặt
P
yx zx yz xy zx yz xy yz zx
x y z xy yz zx nên P 1 Dấu “=” xảy ra khi x y z 1 Pmin 1 a b c 1
0.5
0.5
2 Dự đoán 2( 1)2 1
n
n n
u Chứng minh bằng phương pháp quy nạp 0.5
Trang 4Khi đó: lim20204u n 505
L
n
n k
k
với k , n , n k nên:
1 0 2 1 2018 2017 2019 2018
2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019
Mà 2019 20192019
2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019
Mặt khác ta có:
2019
2019 2019 , 0
k l
Suy ra hệ số của số hạng chứa x2020 trong khai triển của 1 là
1 2019 2 2018 2018 2 2019 1
2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019
Lại do 1x2019 1 x2019 1 x4038;
4038 4038
4038 0
n
2 suy ra hệ số của số hạng chứa 2020
x trong khai triển của
2 là 2020
4038
Vậy 12019 20192019 20192 20192018 20192018 20192 20192019 12019 40382020 40382019
2019
2020
0.5
0.5
M
E
F
Đặt AB a AD2a Ta có
2 2
AE AD AB FE AD BD AB AD
Mà EF1; 3 AE x: 3y17 0 A a3 17;a
0.5
Trang 5Lại có: 2 9 2 1 2 2 2
5
FE AB AD a a
4
a
a
Mà x A 0 A5;4
Từ AD 10 và FA FD nên tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình:
10
y
2
BD ED B C
V 1 Từ giả thiết, ta có:
2
2
2
MN A D A B, ' ', '
đồng phẳng Từ đó suy
ra MN/ /( 'A BCD ')
0.5
0.5
2 Theo trên:
2
3 3
a MN
Dấu “=” xảy ra khi 6
3
a
k Vậy MN ngắn nhất khi 6
3
a
0.5
0.5
Ghi chú: Các cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa.