Nhằm phục vụ cho các em học sinh lớp 9 có tài liệu ôn tập, luyện tập kì thi chọn học sinh giỏi môn Toán, xin gửi đến các em đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán. Mời các em cùng tham khảo.
Trang 1UBND HUYỆN CẦU KÈ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: Với x > 0, cho hai biểu thức:
A
x
và
x 1 2 x 1 B
1) Tính giá trị của A khi x = 64
2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm x để
B 2
Bài 2: Một người mua 30 con chim gồm 3 loại: chim sẻ, chim ngói và chim bồ câu, hết tất
cả 30 đồng Biết 3 con chim sẻ giá 1 đồng, 2 con chim ngói giá 1 đồng và mỗi con bồ câu giá 2 đồng Hỏi người đó mua mỗi loại bao nhiêu con?
Bài 3: Cho ba đường thẳng (d1): ym2 1 x m2 5
với m 1; (d2): y x 1 ; (d3):
yx 3.
1) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d1) luôn đi qua một điểm cố định
2) Chứng minh rằng nếu (d1) // (d3) thì (d1) (d2)
Bài 4: Cho 2a2 2b2 5ab và b > a > 0 Tính giá trị của biểu thức:
a b
a b
Bài 5: Giải phương trình: x4 5x3 10x 4 0
Bài 6: Giải hệ phương trình:
2
2x 3xy 5 0
Bài 7: Cho đường tròn (O ; R) và dây BC với số đo của góc BOC bằng 1200 Các tiếp tuyến
vẽ tại B và C với đường tròn (O) cắt nhau tại A
1) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều
2) Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC Tiếp tuyến tại K với đường tròn (O) cắt AB tại M, cắt AC tại N Tính số đo của góc MON?
3) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của BC với OM và ON Chứng minh rằng tam giác OMN đồng dạng với tam giác OPQ?
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3 5 cm Hình vuông ADEF cạnh 2 cm có D
thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC Tính AB, AC
Trang 2HẾT
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
VÒNG HUYỆN NĂM HỌC : 2014 - 2015 MÔN : TOÁN - LỚP 9
1
(3 đ)
1
Thay x = 64 vào A ta được:
5 A 4
B
1 đ
3
Ta có:
(1)
Vì x > 0 nên x 0 , với điều kiện đó giải ra ta được: x < 4
Vậy để
B 2 thì 0 < x < 4
0,5 đ
0,5 đ
2
(2 đ)
Gọi số chim sẻ là x, số chim ngói là y và số chim bồ câu là z (x, y, z là số nguyên dương)
Ta có hệ phương trình:
x y z 30
2x 2y 2z 60
Trừ từng vế của 2 phương trình ta được: y + 10 z = 120
Hay
y
z 12
10
Để z nguyên dương thì y phải là bội của 10 và nhỏ hơn 30
Thử chọn, chỉ có y = 10 là phù hợp
tính được x = 9, z = 11
Vậy có 9 con chim sẻ, 10 con chim ngói và 11 con chim bồ câu
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ 3
(2 đ)
2
(*)
0,5 đ UBND HUYỆN CẦU KÈ
PHÒNG GD - ĐT
Trang 3Để (*) thỏa mãn với mọi m
x 1 0
x 5 y 0
Vậy khi m thay đổi thì (d1) luôn đi qua một điểm cố định là điểm 1; 4
0,5 đ
2
Vì (d1) // (d3) nên
2 2
m 0
Với m = 0 thì (d1) trở thành yx 5 Hai đường thẳng (d1) và (d2) có tích các hệ số góc là 1 1 1 nên (d1) (d2)
0,5 đ
0,5 đ
4
(2đ)
Ta có 2a2 2b2 5ab 2a2 2b2 5ab 0
2a ab 4ab 2b 0 (2a b)(a 2b) 0
Do b > a > 0, nên a – 2b < 0 => 2a – b = 0 hay b = 2a
Vậy:
3
1 đ
0,5 đ 0,5 đ
5
(2 đ)
x 5x 10x 4 0
Dể thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình;
Chia cả 2 vế của phương trình ta được:
2 2
Đặt :
Ta có phương trình:
t 5t 4 0
t 4
* t = 1 thì
1 2
2
2
x
* t = 4 thì
3 2
4
2
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
6
(2 đ)
2
2x 3xy 5 0
Từ phương trình thứ nhất suy ra:
x xy 2xy 2y 0 (x y)(x 2y) 0
0,5 đ
Trang 4x y 0 x y
* Với x = y thay vào phương trình (2) ta được:
2
* Với x = 2y thay vào phương trình (2) ta được: 2y2 5 0, phương trình này vô nghiệm
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
7
(3 đ)
Vẽ
hình
đúng
0,5 đ
1 Theo định lí về hai hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AB = AC ABC cân tại A (1)
Do BOC 1200 s®BC 1200
Xét tam giác ABC, ta có :
(ABC và ACB là góc tạo dây cung và tiếp tuyến)
Từ (1) và (2) suy ra: ABC là tam giác đều Vậy ABC là tam giác đều
0,5 đ
0,5 đ
2 Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có :
OM là phân giác góc BOK
1 2
ON là phân giác góc KOC
1 2
Ta có :
MOK KON BOK KOC BOK KOC
.120 60
0,5 đ
0,5 đ
Q P
N
M K
O
C B
A
Trang 5Vậy: MON 60 0 3
Do POQ QCN 600 và OQP CQN
Nên: OPQ CNQ, do đó : OPQ CNQ Mà: CNQ MNO ( Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) Suy ra: OPQ MNO
Xét OPQ và OMN
Do đó: OPQ OMN ; Vậy OPQ OMN
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
8
(4 đ)
Đặt DB = x, FC = y (x > 0, y > 0)
BDE
2 y
Ta có: AB2 AC2 BC2 Hay 2 2 2
x 2 y 2 3 5 45
2 2
x y 4 x y 37
x y 2 2xy 4 x y 37
x y2 4 x y 45 0
(do xy = 4) Đặt t = x + y >0, pt thành: t2 4t 45 0
2
t 9t 5t 45 0
t 9 t 5 0
t = -9 (loại); t = 5 (thỏa mãn)
Do t = 5 x + y = 5 y = 5 – x (2) Thay (2) vào (1), được:x2 5x 4 0 x 1 x 4 0
* Với x = 1 thì y = 5 - 1 = 4, khi đó AB = 3cm, AC = 6cm
* Với x = 4 thì y = 5 - 4 = 1, khi đó AB = 6cm, AC = 3cm
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ 0,5 đ 0,5 đ
Trang 6Ghi chú: thí sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng chấm điểm tròn theo
từng phần của bài đó./.