Toa do trong khong gian

12) Tính theå tích töù dieän OABC vaø ñoä daøi ñöôøng cao cuûa töù dieän aáy haï töø O. Bieát theå tích cuûa töù dieän baèng 5. Tìm toïa ñoä ñænh D. 3) Tính chieàu cao cuûa hình hoäp AB[r]

VẤN ĐỀ 1

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:

I) Hệ tọa độ Đềcác vuông góc trong không gian:

z

Oyz

Oxz

k j

i O

y

x Oxy

Chủ đề VI: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN

66

2 2 2

i j j.k k.i 0





     

 

 

Trục tung

Trục

hoành

Trục cao

Mặt phẳng tọa độ

II)Toạ độ của véctơ đối với hệ toạ độ:

x ; y ; z

a k z j y i

x

a    

Bộ ba số (x;y;z) được gọi là tọa độ của:











a của độ cao :z

a của độ tung :y

a của độ hoành

:x a









III)Toạ độ của điểm đối với hệ toạ độ:

x ; y ; z OM x i y j z k Mx ; y ; z

Bộ ba số (x;y;z) được gọi là tọa độ của điểm











M của độ cao : z

M của độ tung : y

M của độ oành h :

x M

IV)Các phép toán tính toạ độ véctơ:

A(x A ;y A ;z A );vx;y;z 0 k  R

B(x B ;y B ;z B ); v ' x' ;y' ;z'

1) AB xB xA; yB yA; zB zA

2) v v' x  x ' ; y  y ' ; z  z '

3) k  v kx ; ky ; kz

4) v v'  x x ';y y ';z z '   

(Véctơ bằng nhau)

5) v v'  x  x';y  y';z  z'

(Véctơ đối nhau).

V) Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước:

1) M chia đoạn AB theo tỉ số k 1

MB k

MA 

 

x kx y ky z kz M

2) M là trung điểm của AB (k = - 1)

MB

MA  

 

x x y y z z

M    

VI) Tích vô hướng của hai véctơ và Ứng dụng:

a  x1;y1;z1 b  x2;y2;z2

1) Định nghĩa: ab abcosa; b

2) Biểu thức tọa độ: b x1x2  y1y2  z1z2

3) Ứng dụng:

a) Độ dài (Môđun) của véc tơ:

2 1 2 1 2

x

a  

b) Điều kiện đồng phẳng của các véc tơ:

* a,b,c đồng phẳng  [a;b]c 0

* a,b,c không đồng phẳng  [a;b]c 0

c) Tính diện tích hình bình hành:SABCD AB ; AD

d) Tính diện tích tam giác: AB ; AC

2

1

SABC 

e) Tính thể tích hình hộp:

AB ; ADAA '

VABCD.A'B'C'D' 

f) Tính thể tích hình tứ diện: AB ; ACAD

6

1

VABCD 

VII) Tích có hướng của hai véctơ và Ứng dụng

1) Định nghĩa và ký hiệu:

















2 2

1 1 2 2

1 1 2

2

1 1

;

; ]

;

[

y x

y x z x

z x z

y

z y

b

a 

2) Tính chất:a)[ a; b]  a; [ a; b]  b.

b) [ a; b]  a bsina; b

3) Ứng dụng:

a) Điều kiện hai véctơ cùng phương:





 a k b b

phương

cùng

0]

b;a[

z

z y

y x

x

ky

y

kx

x

2

1 2

1 2

1

2

1

2























b) Khoảng cách:

2 A B 2 A

x AB

c) Góc giữa hai véctơ: cos   cosa; b

2 2

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1

2 1 2 1 2 1

z y x z y x

z z y y x x b

a

b















 



d) Điều kiện hai véctơ vuông góc:

0





b a b

a  

B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:

1 Dùng véctơ để chứng minh một hệ thức véc tơ, tính thẳng hàng, song song, vuông góc, đồng phẳng

2 Tính độ dài, góc, diện tích tam giác, thể tích hình hộp

BÀI TẬP Bài 1: Cho điểm M có tọa độ (x;y;z).

1) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:

a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz

b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz

2) Tìm tọa độ của điểm đối xứng của điểm M:

a) Qua gốc tọa độ O

b) Qua các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz

c) Qua các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có toạ độ xác định bởi

các hệ thức:

A = (2;4;-1), OB i 4 j k    

, C = (2;4;3), OD 2i 2 j k  

   

Chứng minh rằng AB  AC, AC  AD, AD  AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD

(Trích Đề thi TN THPT 2002 – 2003)

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh bằng 1 Chọn hệ trục tọa độ như sau:

 Gốc O trùng với A

 Trục hoành Ox nhận AB làm đơn vị

 Trục tung Oy nhận AD làm đơn vị

 Trục cao Oz nhận AA' làm đơn vị

1) Trong hệ trục Oxyz đó, hãy tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương

2) Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của A'BDvà  CB ' D ' Tìm tọa độ của G1 và

G2 Suy ra rằng A, G1, G2, C’ thẳng hàng

3) Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm của ABCD và A’B’C’D’.Tìm tọa độ của O1 và O2 rồi suy ra AO2 và A’O1 có chung trung điểm

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độï Đềcác vuông góc Oxyz cho hình lập phương

OABC.O’A’B’C’ có A(2;0;0), C(0;2;0), O’(0;0;2)

1) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương đó

2) Chứng tỏ rằng AO' ,CB' ,IJ đồng phẳng (I và J lần lượt là trung điểm của OC và AB)

3) Chứng tỏ rằng AB' ,OO' ,AC' không đồng phẳng.

Bài 5: Cho A(1;2;-1), B(2;-1;-3),C(-4;7;-5).

1) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng (ABC lập thành một tam giác)

2) Tìm tọa độ trọng tâm của  ABC

3) Chứng tỏ  ABC không thể là tam giác vuông

4) Tính các góc của  ABC

5) Tính diện tích  ABC Suy ra độ dài đường cao hạ từ A

6) Tìm hệ thức liên hệ giữa (x;y;z) là tọa độ của điểm M để M(ABC)

7) Tìm tọa độ trực tâm của  ABC

8) Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp  ABC

9) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong vẽ từ B của  ABC

10) Chứng tỏ bốn điểm O, A, B, C không đồng phẳng (OABC lập thành một tứ diện) 11) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện OABC

12) Tính thể tích tứ diện OABC và độ dài đường cao của tứ diện ấy hạ từ O

13) Tìm tọa độ chân đường cao D của tứ diện OABC hạ từ O

Bài 6: Cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1); B(3;0;1); C(2;-1;3) và D nằm trên trục tung Biết thể

tích của tứ diện bằng 5 Tìm tọa độ đỉnh D

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với: A(1;0;1); B(2;1;2); D(1;-1;1); C’(4;5;-5).

1) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại

2) Tính thể tích của hình hộp ABCD.A’B’C’D’

3) Tính chiều cao của hình hộp ABCD.A’B’C’D’

Bài 8: Cho A(0;1;0); B(2;3;1); C(-2;2;2); D(1;-1;2).

1) Chứng minh ABCD là tứ diện có ba mặt vuông

2) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A

3) Gọi G là trọng tâm  BCD Chứng minh AGBCD

Bài 9: Cho A(3;0;4); B(1;2;3); C(9;6;4) là ba đỉnh của hình bình hành ABCD Tìm:

1) Tọa độ đỉnh D

2) Tọa độ giao điểm của hai đường chéo

3) Số đo góc B

4) Độ dài đường chéo AC

5) Diện tích hình bình hành

Bài 10: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Xác định tọa độ

điểm D để ABCD là tứ diện đều và toạ độ D là những số dương