- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS THANH QUAN ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT NĂM 2021
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Đề 1
Câu 1
a) Tính giá trị của các biểu thức sau
5 5 3 3 5
b) Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
2
1) x −7x+10=0
2) x −5x −36=0
3)
x y
− = −
Câu 2: Cho biểu thức 1 1 1
P
− + với a0, a1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi a =3
Câu 3
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số 1 2
2
y= x
b) Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (P) với đường thẳng (d): y=x
c) Cho phương trình: x2+(m+2)x+ − =m 1 0 (1) (m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m Khi đó tìm m để biểu thức
2 2
1 2 3 1 2
A=x +x − x x đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC) và nội tiếp đường tròn (0) Vẽ đường cao AH
(HBC), Từ H kẻ HM vuông góc với AB (MAB) và kẻ HN vuông góc với AC ( NAC) Vẽ đường
kính AE của đường tròn (O) cắt MN tị I, Tia MN cắt đường tròn (O) tại K
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp
b) Chứng minh AM.AB=AN.AC
c) Chứng minh tứ giác CEIN nội tiếp và tam giác AHK cân
ĐÁP ÁN Câu 1:
Trang 2a) Tính giá trị của các biểu thức sau
5 5 3 3 5 5 3 5 3 5 5
b) Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
2
1) x −7x+10=0 (1)
2
( 7) 4.1.10 9 0
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
Vậy phương trình (1)có tập nghiệm là S={2;5}
2) x −5x −36=0 (2)
Đặt 2
(t 0)
x =t khi đó phương trình (2) tương đương với
2
5 36 0
t − −t = (3)
2
( 5) 4.1.( 36) 169 0
Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt
1
5 169
9 2.1
(Thỏa mãn)
2
5 169
4 2.1
(Không thỏa mãn) Với t= 9 x2 = = 9 x 3
Vậy phương trình (2)có tập nghiệm là S={-3;3}
3)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y)=(-3;1)
Câu 2
a) Rút gọn P
1
P
Vậy 1
1
a P
a
+
=
− ới a0, a1
b) Tính giá trị của P khi a =3
Trang 3Thay a=3 vào 1
1
a P a
+
=
− ta có
3 1 2
3 1
P= + =
−
Vậy P=2 với a=3
Câu 3
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số 1 2
2
y= x
Ta có bảng giá trị sau
2
2
2
Đồ thị hàm số 1 2
2
y= x là đường cong đi qua các điểm (-2;2);(-1; 1
2 );(0;0);
(1; 1
2); (2;2) và nhận trục Oy làm trục đối xứng
b) Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (P) với đường thẳng (d): y=x
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (P) và đường thẳng (d): 1 2
0; 2
2x = =x x x=
Với x=0 => y =0 ta có giao điểm O(0;0)
Với x=2 => y=2 ta có giao điểm A(2;2)
Vậy giao điểm của đồ thị hàm số (P) và đường thẳng (d) là O(0;0); A(2;2)
c) Cho phương trình: 2
x + m+ x+ − =m (m là tham số) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m Khi đó tìm m để biểu thức
2 2
1 2 3 1 2
A=x +x − x x đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có =(m+2)2−4.1(m− =1) m2 +4m+ −4 4m+ =4 m2+ 8 0 m
Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2
Theo định lý vi-et ta có 1 2
1 2
( 2)
x
y
1
4 3 2
-3 -2 -1 0 2 3 4 5
-4 -5
6 7 8
Trang 4Theo bài ra ta có
35
4
A
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 35
4 khi
1 0 2
m− = hay 1
2
m=
Câu 4
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp
Ta có
0 0
Xét tứ giác AMHN có
90 90 180
Mà AMH và ANH là 2 góc đối
Tứ giác AMHN nội tiếp
b) Chứng minh AM.AB=AN.AC
Do Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt)
=>AMN= AHN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
90
AHN+HAN= (ANH vuông tại N)
0
90
ACB+HAN= (ANH vuông tại N)
=>AMN=ACB
Xét ABC và ANM có
BAC là góc chung
AMN=ACB (cmt)
ABC
đồng dạng ANM(g.g)
Trang 5.
AB AM AC AN
c) Chứng minh tứ giác CEIN nội tiếp và tam giác AHK cân
Xét (0) ta có
EAC=EBC (2 góc nội tiếp chắn cung EC) (1)
Ta có ABE=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (0))
=>ABH+CBE=900
Mà ABH+HAM=900 (ABH vuông tại H)
Từ (1) và (2)HAM=EAC (3)
Do Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt)
= (2 góc nội tiếp chắn cung AM) (4)
Mà MHA+HAM=900( AHM vuông tại M) (5)
90
CAE+ANM=
=>ANI vuôn tại I
AIN= NIE=
90
ACE
= (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác CEIN có
90 90 180
NIE+NCE=NIE+ACE= + =
Mà NIE và NCE là 2 góc đối
=>Tứ giác CEIN nội tiếp
Xét AHC vuôn tại H
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao
=>AH2=AN.AC (6)
Nối A với KAKE=900 AKE vuông tại K
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao
=>AK2=AI.AE (7)
Xét AIN và ACE có
0
90
AIN= ACE=
CAE chung
=>AIN đồng dạng ACE
AI AE AC AN
Trang 6Từ (6)(7)(8) => AH2 =AK2 => AH=AK => HAK cân tại A
Đề 2
Câu 1 (2,0 điểm)
1
=
+
A
x và
B
x x x x x với x0, x1 a).Tính giá trị của biếu thức A khi x=2
b).Rút gọn biểu thức B
c).Tìm x sao cho C= −A B nhận giá trị là số nguyên
Câu 2 (2,0 điểm)
a).Giải hệ phương trình 4 3
+ =
− =
x y
x y (không sử dụng máy tính cầm tay)
b).Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 2
150 m Biết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều rộng mảnh vườn là 5 m Tính chiều rộng mảnh vườn
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho hàm số y=(m−4)x m+ +4 ( m là tham số)
a).Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên
b).Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị hàm số đã cho luôn cắt parabol ( ) 2
: =
P y x tại hai
điểm phân biệt Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm, tìm m sao cho x x1( 1− +1) x x2( 2− =1) 18
c).Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng ( )d Chứng minh khoảng cách từ điểm O( )0;0 đến ( )d
không lớn hơn 65
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB Kẻ dây cung CD vuông góc với AB tại H ( H nằm giữa
A và O , H khác A và O ) Lấy điểm G thuộc CH ( G khác C và H), tia AG cắt đường tròn
tại E khác A
a).Chứng minh tứ giác BEGH là tứ giác nội tiếp
b).Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD Chứng minh: KC KD =KE KB
c).Đoạn thẳng AK cắt đường tròn O tại F khác A Chứng minh G là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác HEF
d).Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên đường thẳng EF Chứng minh
HE H F MN
Câu 5 Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a b c ab bc ac+ + + + + =6 Chứng minh rằng:
3
ĐÁP ÁN Câu 1
Trang 7Cho 1
1
=
+
A
x và
B
x x x x x với x0, x1 a).Tính giá trị của biếu thức A khi x=2
1
+
A
x
Khi x= =2 A 2 2 1−
b).Rút gọn biểu thức B
c).Tìm x sao cho C= −A B nhận giá trị là số nguyên
B
=
B
− +
=
−
=
x
Cĩ
3
1
+
x x
1 1
1
= −
+
x
Cĩ x+ 1 1, x0, x1
C nhận giá trị là số nguyên x+ = =1 1 x 0 (nhận)
Câu 2
a).Giải hệ phương trình 4 3
+ =
− =
x y
x y (khơng sử dụng máy tính cầm tay)
+ =
− =
x y
x y
x
x y
− =
2 3 1 3
x y
=
=
Vậy nghiệm của hệ là 2 1;
3 3
b).Một mảnh vườn hình chữ nhật cĩ diện tích 150 m2 Biết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều
rộng mảnh vườn là 5 m Tính chiều rộng mảnh vườn
Gọi x , y lần lượt là chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn, điều kiện x 0y 0, x y
150
x y
xy
− =
=
( 5 150 1)5 ( )
x y
y y
= +
( )1 y2 +5y−150 0= ( )
( )
10 nhận
15 loại
y y
=
= −
Trang 8Vậy chiều rộng mảnh vườn là 10 m( )
Câu 3
a).Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên
y m x m đồng biến trên − m 4 0 m 4
Vậy m thì hàm số đồng biến trên 4
b).Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị hàm số đã cho luôn cắt parabol ( ) 2
: =
P y x tại
hai điểm phân biệt Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm, tìm m sao cho x x1( 1− +1) x2(x2− =1) 18
( )d : y=(m−4)x m+ +4, ( ) 2
: =
P y x
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d , ( )P : x2 =(m−4)x m+ +4
0,
a
m
Suy ra ( )d cắt luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt
Có x x1( 1− +1) x2(x2− =1) 18 2 2 ( )
1 2
1 2
4 4
− + + − − − = m2−7m+10 0= (m−5)(m−2)=0 5
2
m m
=
=
Vậy m = , 5 m = thỏa yêu cầu bài 2
c).Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng ( )d Chứng minh khoảng cách từ điểm O( )0;0 đến
( )d không lớn hơn 65
( )d : y=(m−4)x m+ +4 cắt trục Ox,Oy lần lượt ở 4 ;0
4
m A m
− +
và B(0;m +4)
*Trường hơp 1: Xét m− = = , thì 4 0 m 4 ( )d y =: 8, ( )d song song trục Ox, ( )d cắt trục Oy tại
( )0;8
B
Có khoảng cách từ O đến đường thẳng ( )d là OB = 8
Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng ( )d
OAB
vuông tại O có OH AB⊥ , Có OH AB OA OB =
Trang 9( )
2
4
m
−
2 2
4
m m
= +
2 2
2
4
m OH
m
+
Giả sử OH 65 OH265 ( )
2 2
4
65
m m
+
− + m2+8m+16 65 (m2 −8m+17)
2
64m 528m 1089 0
8m 2.16.8m 33 0
8m 33 0
Vậy OH 65
Câu 4
a).Chứng minh tứ giác BEGH là tứ giác nội tiếp
Có BHG=BEG= 90 BHG+BEG=180
Tứ giác BEGH nội tiếp đường tròn đường kính BG
b).Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD Chứng minh: KC KD =KE KB
Có KEC=KDB , EKC=DKB (góc chung) KEC∽ KDB KE KC
= KC KD =KE KB
c).Đoạn thẳng AK cắt đường tròn O tại F khác A Chứng minh G là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác HEF
KAB
có ba đường cao AE, BF, KH đồng qui tại G Suy ra G là trực tâm của KAB
2
GHE GBE sñGE (trong đường tròn BEGH )
2
GBE GAF sñEF (trong đường tròn ( )O )
T
Q
O C
D
H G
E K
F M
N
Trang 10Có = = 1
2
GAF GHF sñEG (tứ giác AFGH nội tiếp đường tròn đường kính AG)
Suy ra GHE GHF HG= là tia phân giác của EHF
Tương tự EG là tia phân giác của FEG
EHF có hai tia phân giác HG và EG cắt nhau tại G Suy ra G là tâm đường tròn nội tiếp EHF
d).Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên đường thẳng EF Chứng minh
HE H F MN
Gọi Q là giao điểm của tia EH và đường tròn ( )O
Có EOB=2EFB sñEB= , 2EFB EFO= (do FG là tia phân giác của EFH)
EOB EFH = Tứ giác EFHO nội tiếp đường tròn
2
FOH FOQ
OH là tia phân giác của FOQ
OFH OQH, có OH chung, OF OQ= , FOH QOH=
OFH = OQH HF HQ=
Do đó HE+H F=HE+HQ=EQ
Có AMN MNT NTA= = =90 Suy ra AMNT là hình chữ nhật, nên AT MN=
Suy ra AQ FA ET= = AE// QT, mà AETQ nội tiếp đường tròn ( )O
AETQ là hình thang cân EQ AT MN= =
Vậy HE+H F =MN
Câu 5
Đặt
P
= + +
Có a , b , c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:
3
2
3
2
3
2
2 2 2
b
c
a
. =P a3 +b3 +c3 2(a2+b2+c2)−(ab bc ac+ + )
P 2 a2+b2+c2 + + + −a b c 6
Trang 11Có (a b− ) (2+ b c− ) (2+ a c− )202(a2+b2+c2)2(ab bc ca+ + ) 3 a( 2+b2+c2)(a b c + + )2
Suy ra 2( + + ) (2+ + + −) 6
3
Có ab bc ca a b c+ + 2+ +2 2 ( ) ( )2
3 ab bc ac a b c
6
3
= + + +a b c ab bc+ +ac + + +a b c a b c+ + 1( ) (2 ) 6 0
3 a b c a b c
(a b c) 3
9
a b c+ +
Suy ra 2 9 3 6 3
3
P + − = Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c= =
Vậy
3
Đề 3
Câu 1: Đơn giản biểu thức ( )( ) 2
A= sin −cos sin +cos +2cos
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (HBC) Biết BH =3cm BC, =9cm Tính
độ dài AB
Câu 3: Tính thể tích một hình cầu có diện tích mặt cầu bằng 144 cm 2
Câu 4: Rút gọn biểu thức B 6 2
Câu 5: Cho phương trình 2 ( )
x − m 3 x+ + − =m 1 0 (ẩn x, tham số m) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x ; x sao cho 1 2 x1 1 x2
2
−
Câu 6: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ( )O , vẽ tiếp tuyến AB(Blà tiếp điểm) và cát tuyến ACD không đi qua tâm O (C nằm giữa A và D) Gọi E là trung điểm của CD Chứng minh ABOE là tứ giác nội tiếp
ĐÁP ÁN
Câu 1
A sin cos sin cos 2 cos
sin cos 2 cos
Câu 2
Trang 12Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao AHta có:
( )
2
2
AB BH.BC
AB 3.9
AB 27 3 3 cm
=
Câu 3
Bán kính của hình cầu là
2 2
S 4 R
144 4 R
6cm R
=
Tính thể tích hình cầu V 4 R3 4 .63 288 cm3
Câu 4
B
2 7 2 16 6 7
2 7 4 3 7
7 1
Câu 5
Ta có
2
= − = − + − −
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có 1 2 ( )
1 2
1
x x m 1
Theo đề x1 1 x2
2
−
2
1
2
+
+
Từ ( )1 và ( )2 suy ra
C H
B
A
Trang 13( ) 1( ) 1 1 3 1
Câu 6
Trong đường tròn ( )O có:
*OElà một phần đường kính; CD là dây không đi qua tâm O; E là trung điểm của CD
0
*AB là tiếp tuyến (Blà tiếp điểm) ABO=900
Suy ra OEC ABO 180+ = 0
Vì OEC và ABO là hai góc đối nhau suy ra tứ giác ABOE nội tiếp
ĐỀ 4
Câu 1 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
2x−x =0
b) x+ = − 1 3 x
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức
2
A
− với x0;y0;x y
b) Cho hệ phương trình:
− =
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y thỏa mãn đẳng thức x2+2y2 = 2
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm m để đồ thị hàm số 2
y= m − x+ m− song song với đồ thị hàm số y=5x−1 b) Một tam giác vuông có chu vi 24 cm Độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2 cm Tính diện tích của tam giác vuông đó ?
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại điểm H (H nằm giữa O và B)
Trên tia đối của tia NM lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn
O E D
C
B A
Trang 14(O; R) tại điểm K khác A Hai dây MN và BK cắt nhau ở E Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F Chứng minh:
a) Tứ giác AHEK nội tiếp
b) Tam giác NFK cân và EM.NC=EN.CM
c) Giả sử KE =KC Chứng minh OK // MN và KM2+KN2 =4R2
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn x + + = y z 3 Chứng minh:
( 1) ( 1) ( 1)
4
x− + y− + −z −
ĐÁP ÁN
Câu 1 :
a) 2x−x2 =0
(2x −x)=0
Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x=0;x=2
b) x+ = − 1 3 x
x
2
1 (3 )
1 9 6
2
Giải phương trình tìm được 1 7 17
2
x = +
(loại)
2 7 17
2
Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm 2 7 17
2
x = −
Câu 2:
a)
2
A
−
= xy( x y) x 2 xy y 4 xy
−
−
=
2
( x y)
−
−
Trang 15= x+ y− x+ y =2 y
Kết luận: Vậy A = 2 y
− =
Thay x=2 ;m y= −m 1 vào đẳng thức x2+2y2 = ta có: 2
b) 4m2+2(m−1)2 = 2 4m2+2(m2−2m+ = 1) 2
4m 2m 4m 2 2 6m 4m 0
3m 2m 0
0 0
3
m m
m m
=
=
Kết luận: Vậy 0; 2
3
m= m=
Câu 3:
a) Để đồ thị hàm số 2
y= m − x+ m− song song với đồ thị hàm số y=5x−1 ta có:
3
3 3
m
m m
=
Kết luận: Vậy m = − 3
b) Gọi độ dài cạnh góc vuông thứ nhất là x (cm; 0 x 24)
Độ dài cạnh góc vuông thứ hai là x + (cm) 2
Vì chu vi tam giác vuông bằng 24 cm, nên độ dài của cạnh huyền là: 24 (− + +x x 2)=22 2− x (cm)
Theo Định lý Pi ta go ta có phương trình:
( 2) (22 2 )
4 4 484 88 4
46 240 0
Giải phương trình (1) tìm được: x =1 40 (loại)
x = (thỏa mãn) 2 6
Kết luận: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là 6cm và 8cm
Diện tích tam giác vuông là: 1.6.8 24 2
Câu 4:
a) Vẽ hình đúng
Trang 16Xét tứ giác AHEK có: AHE=90 ( )0 gt
0
90
AKE = (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
0
180
+ = Tứ giác AHEK nội tiếp
b) *Do đường kính AB ⊥ MN nên B là điểm chính giữa cung MN
Ta lại có: BK/ /NF (cùng vuông góc với AC)
= (so le trong) (2)
MKB=MFN (đồng vị) (3)
Từ (1);(2);(3)MFN =KNF hay KFN =KNF
KNF
cân tại K
*MKNcó KE là phân giác của góc MKN ME MK
Ta lại có:KE⊥KC ; KE là phân giác của góc MKN KC là phân giác ngoài của MKN tại K
Từ (4) và (5) ME CM ME CN EN CM
Câu 5:
* Ta có AKB=900 BKC=900 KEC vuông tại K
h
k
o
n m
f
b a
B A
Trang 17Theo giả thiết ta lại có KE=KC KEC vuông cân tại K
45
KEC=KCE =
Ta có BEH =KEC=450 OBK =450
Mặt khácOBKcân tại O OBKvuông cân tại O
/ /
(cùng vuông góc với AB)
* Gọi P là giao điểm của tia KO với (O)
Ta có KP là đường kính và KP/ /NM ; KP = 2R
Ta có tứ giác KPMN là hình thang cân nên KN=MP
0
90
PMK = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tam giác vuông KMP, ta có: MP2+MK2 =KP2
Mà KN=MP KN2+KM2 =4R2
Ta có (x−1)3 =x3−3x2+3x− =1 x x( 2−3x+ − 3) 1
= ( 3)2 3 1
x x− + x−
Vì x 0 ( 3)2 0
2
x x − 3 3
4
x− x− (1) Tương tự ta có: 3 3
4
y− y− (2)
3 3
4
z− z− (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
Vậy ( 1)3 ( 1)3 ( 1)3 3
4
x− + y− + −z −
Dấu đẳng thức xảy ra khi
2
2
2
3 0
3
2 3
0, 2
2
3
x x
y y
x y z
+ + =