- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trườn[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS VĨNH HƯNG ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT NĂM 2021
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
ĐỀ 1
Câu 1
1) Rút gọn các biểu thức sau:
a) 3 4+2 25−4 9
b) 3 3 5 12+ −2 27
2) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) x2−6x+ =5 0
b) 2
+ =
− =
x y
x y
4
−
x M
x
1) Tìm các giá trị thực của x để biểu thức có nghĩa?
2) Rút gọn biểu thức
3) Tính giá trị của M biết x =16
Câu 3: Quãng đường AB dài 60km, một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc và thời gian quy định Sau
khi đi được nửa quãng đường người đó giảm vận tốc 5km/h trên nửa quãng đường còn lại Vì vậy, người
đó đã đến B chậm hơn quy định 1 giờ Tính vận tốc và thời gian quy định của người đó
1) Cho phương trình: 2x2+(2m−1)x m+ − =1 0 (1) trong đó m là tham số
2) Giải phương trình (1) khi m = 2
3) Tìm m để phương trình (1) có hai ngiệm thỏa mãn: 4x12+4x22+2x x1 2 =1
Câu 4: Cho đường tròn (O; R), dây BC cố định Điểm A di động trên cung lớn BC (AB < AC) sao cho tam
giác ABC nhọn Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H Gọi K là giao điểm của EF với BC
1) Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp
2) Chứng minh: KB KC =KE KF
3) Gọi M là giao điểm của AK với (O) (M A) Chứng minh MH ⊥AK
Câu 5: Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:
1 ( )
a b+ + c b c+ + + a c a+ + + b + +
ĐÁP ÁN Câu 1:
1) a) 3 4+2 25−4 9=3.2 2.5 4.3+ − =4
b) 3 3 5 12+ −2 27=3 3 5.2 3+ −2.3 3=3 3 10 3 6 3+ − =7 3
2) a) x2−6x+ = 5 0 x2−5x x− + = 5 0 x x( − − − =5) (x 5) 0
( 5)( 1) 0
− − =
Trang 2b) 2+ =− =213 = −=23 == −12 1 ==11
Vậy hệ đã cho có nghiệm ( ; )x y là (1;1)
Câu 2:
1) Tìm các giá trị thực của x để biểu thức có nghĩa?
Điều kiện:
0
(*) 4
2 0
x
x x
x
+
−
Vậy x0,x0 thì biểu thức M có nghĩa
2) Rút gọn biểu thức
Điều kiện: x và 0 x 4
4
=
( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)
( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2) 2
−
x M
x
Vậy
2
=
−
x M
x
3) Tính giá trị của M biết x=16
Điều kiện: x và 0 x 4
Với x=16thì 16 4 2
4 2
16 2
−
−
M
Vậy với x=16thì M = 2
Câu 3
1) Gọi vận tốc quy định của người đó là x (km/h), (x > 5)
Thời gian quy định để người đó đi hết quãng đường là 60 ( )h
x
Nửa quảng đường đầu là: 60 : 2 30( )= km nên thời gian đi nửa quãng đường đầu là: 30 ( )h
x
Nửa quãng đường sau, vận tốc của người đó giảm 5km/h nên vận tốc lúc sau là: x−5(km h/ )
Thời gian đi nửa quãng đường sau là 30 ( )
5 h
x −
Vì người đó đến chậm so với thời gian dự định là 1 giờ nên ta có phương trình:
Trang 32 2
2
30 30 1 60 30 30 1 0
30 30( 5) ( 5) 0
( 5)
30 30 150 5 0
5 150 0
15 10 150 0
( 15) 10( 15) 0
( 15)( 10) 0
15 0 15 (tm)
10 0 10 (ktm)
x x
x x
+ − = − − =
−
− = =
+ = = −
Vậy vận tốc quy định của người đó là 15km/h và thời gian quy định của người đó là: 60 : 15 = 4 giờ
2) Cho phương trình 2x2+(2m−1)x m+ − =1 0 (1) trong đó m là tham số
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
Khi m = 2 thì (1) trở thành: 2x2+3x+ =1 0 có hệ số a=2;b=3;c=1
Dễ thấy a b c− + = − + =2 3 1 0 nên phương trình có hai nghiệm 1 1; 2 1
2
= − = − = −c
a
Vậy vớim=2 thì phưng trình có tập nghiệm 1; 1
2
= − −
S
b) Tìm m để phương trình (1) có hai ngiệm thỏa mãn: 2 2
4x +4x +2x x =1 Phương trình (1) có nghiệm 0
Ta có: =(2m−1)2−4.2.(m− =1) 4m2−4m+ −1 8m+ =8 4m2−12m+ =9 (2m−3)2
Dễ thấy =(3m−3)2 0, m nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x x1, 2
Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2
1 2
1 2 2 1 2
m
x x
m
x x
+ = −
−
=
Theo đề bài ta có:
2
2
4 6 1 (2 1) 3( 1) 1 0
1
4 4 1 3 3 1 0 4 7 3 0 3
4
=
− + − + − = − + =
=
m
m
Vậy 1;3
4
m thỏa mãn bài toán
Câu 4
Trang 41) Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp
Do
0 0
90 90
BE AC BEC
CF AB CFB
Tứ giác BCEF có BEC=CFB=900 nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)
2) Chứng minh: KB KC =KE KF
Tứ giác BCEF nội tiếp (câu a) nên KFB=ECB (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) Xét tam giác KFB và KCE có:
chung
(cmt)
=
K
KFB KCE
KFB KCE (g - g)
KF = KB
KC KE (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) KF KE =KB KC (đpcm)
3) Gọi M là giao điểm của AK với (O) (M A) Chứng minh MH ⊥AK
Kéo dài AH cắt BC tại D thì AD⊥BCADB=900
Xét tam giác AFH và ADB có:
0
chung
AF = 90
=
A
H ADB
AFH
ADB(g - g) AF = AH
AD AB (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
(1)
AF AB=AD AH
Dễ thấy tứ giác AMBC nội tiếp (O) nên AMB+ACB=1800 (tính chất) (2)
Tứ giác ABCF nội tiếp (cmt) nên BFE+BCE =1800
Mà BFE= AFK (đối đỉnh)
0
= 180 (3)
AFK+ACB
Từ (2) và (3) suy ra AMB=AFK (cùng bù với ACB)
Xét tam giác AMB và AFK có:
chung
AMB (cmt)
=
A
AFK
AMB
AFK(g - g) AM = AB
AF AK (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
(4)
AM AK =AB AF
Từ (1) và (4) suy ra AM AK =AD AH AM = AD
Xét tam giác AMH và ADK có:
Trang 5chung
= (cmt)
A
AMH
ADK(c - g - c) AMH =ADK (hai góc tương ứng)
Mà ADK=900AMH=90 hay 0 HM ⊥AK
Câu 5
Ta chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1
4
+
x y x y với x, y > 0
Thậy vậy, với x, y > 0 thì:
x y
x − xy+y −x y (luôn đúng)
Do đó: 1 1 14 +1
x y x y với x, y > 0
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
Tương tự ta có:
2 4
2 4
+ + + +
Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:
1
4
ab ab bc bc ca ca
a c b c b a c a c b a b
ab bc ab ca bc ca b a c a b c c b a a b c
Do đó 1
4
VT VP (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
ĐỀ 2
Câu 1: (1,0 điểm)
Tính giá trị biểu thức T = 4+ 25− 9
Câu 2: (1,0 điểm)
Tìm mđể đồ thị hàm số =y (2m+1)x đi qua điểm 2 A(1;5)
Câu 3: (1,0 điểm)
Trang 6Giải phương trình x2− − =x 6 0
Câu 4: (1,0 điểm)
Vẽ đồ thị của hàm số y x = 2
Câu 5: (1,0 điểm)
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d y1: =2x+1và đường thẳng d y x2: = +3
Câu 6: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường trung tuyến BM ( M thuộc cạnh AC ) Biết AB=2a Tính theo a độ dài AC , AM và BM
Câu 7: (1,0 điểm)
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B Vận tốc của ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc của ô tô thứ hai là
10 km/h nên ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai 1
2 giờ Tính vận tốc mỗi ô tô biết quãng đường AB
dài 150 km
Câu 8: (1,0 điểm)
Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình x2−4x m+ + =1 0 có hai nghiệm phân biệt x1và x2thỏa +
Câu 9: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I là trung điểm AB Đường thẳng
qua I vuông góc AO và cắt AC tại J Chứng minh: , , B C J và I cùng thuộc một đường tròn
Câu 10: (1,0 điểm)
Cho đường tròn ( )C có tâm I và có bán kính R=2a Xét điểm M thay đổi sao cho IM= Hai dây a
,
AC BD đi qua M và vuông góc với nhau ( , , , A B C D thuộc ( ) C ) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ
giác ABCD
ĐÁP ÁN Câu 1:
4 2
• =
25 5
• =
9 3
• =
Vậy T =4
Câu 2:
( )1;5
A thuộc đồ thị hàm số y=(2m+1)x2 suy ra 5 2= m+ 1
2m 4
=
2
m
=
Vậy m = là giá trị cần tìm 2
Câu 3:
Trang 72 4
b ac
= −
25
=
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = − ;2 x = 3
Câu 4
Bảng sau cho một số giá trị tương ứng của x và y
x −2 −1 0 1 2
2
Vẽ đồ thị:
Câu 5
Phương trình hoành độ giao điểm của d và1 d là 2 12 x+ = + x 3
2
x
=
Với x = tìm được 2 y =5
Vậy tọa độ giao điểm của d1 và d2là ( )2;5
Câu 6
2
AC AB= = a
2
AC
AM= =a
BM =AB +AM
5
BM= a
Câu 7
Gọi x(km/h) là vận tốc ô tô thứ nhất Điều kiện x 10
Trang 8Khi đó vận tốc ô tô thứ hai là x −10 km/h( )
Từ giả thiết ta có 150 1 150
2 10
x + = x−
10 3000 0
50
x
x
=
− − = = −
Do x 10 nên nhận x =60
Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 60 km/h và vận tốc của ô tô thứ hai là
Câu 8
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 m 3
1 2 4; 1 2 1
x +x = x x = +m
Ta có 3 3 ( )3 ( )
x +x x +x − x x x +x m −
Kết hợp với điều kiện m ta được 43 − m 3
Vậy các giá trị nguyên của m cần tìm là − − −3; 2; 1;0;1;2
Câu 9
Gọi M là trung điểm AC ; H là giao điểm của IJ và AO
Ta có AOC=2ABC ( góc ở tâm và góc chắn cung)
Tam giác OAC cân tại O nên 1 ( )1
2
AOM= AOCABC AOM=
Mặt khác AJI =90 −OAM AOM= ( )2
Từ ( )1 và ( )2 suy ra IBC AJI= Vậy bốn điểm B C J và I cùng thuộc một đường tròn , ,
Câu 10
Trang 9Đặt H K lần lượt là trung điểm của , AC và BD , S ABCD là diện tích tứ giác ABCD
( 2 2)
ABCD
S = AC BD AC +BD
AC +BD = AH +BK = R −IH +R −IK
Do IH2+IK2 =IM2 nên AC2+BD2=28a2
2 7
ABCD
S = a khi AC BD=
Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD là 7a 2
Đề 3
Câu 1: Tính 27+4 12− 3
Câu 2: Tìm điều kiện của m để hàm số y=(2m−4)x2 đồng biến khi x 0
Câu 3: Cho Parabol ( ) :P y=2x2 và đường thẳng ( ) :d y=3x− Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) 1
bằng phép tính
Câu 4: Viết phương trình đường thẳng AB, biết ( 1; 4); (5; 2)A − − B
Câu 5: Trong lễ phát động phong trào trồng cây nhân dịp kỷ niệm ngày sinh Bác Hồ, lớp 9A được giao trồng 360 cây Khi thực hiện có 4 bạn được điều đi làm việc khác, nên mỗi học sinh còn lại phải trồng thêm 1 cây so với dự định Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh? (biết số cây trồng của mỗi học sinh như nhau)
Câu 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (DBC; EAC; FAB), tia FE cắt đường tròn tại M Chứng minh 2
AM =AH.AD
ĐÁP ÁN Câu 1
27 4 3 3 3 3 8 3 3 10 3
Câu 2
Hàm số ( ) 2
y= 2m 4 x− đồng biến khi x0 2m 4 0
−
Trang 10m 2
Câu 3
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P và ( )d là:
2x =3x 1− 2x −3x 1+ =0
x 1 y 2
= =
= =
Vậy tọa độ giao điểm của ( )P và ( )d là A 1; 2( )và B 1 1;
2 2
Câu 4
Phương trình đường thẳng AB có dạng (d) : y=ax+b
Phương trình ( )d
đi qua A(− −1; 4)
: − + = −a b 4 1( ) Phương trình ( )d
đi qua B 5; 2( )
: 5a+ =b 2 2( )
Từ ( )1 và ( )2 ta có hệ phương trình a b 4 6a 6 a 1
5a b 2 5a b 2 b 3
+ = + = = −
Vậy phương trình đường thẳng AB có dạng y= −x 3
Câu 5
Gọi số học sinh lớp 9Alà x(hs) (xN, x4)
Suy ra số học sinh lớp 9Atrên thực tế là x−4(hs)
Số cây mỗi học sinh lớp 9A trồng theo dự định là 360
x (cây)
Số cây mỗi học sinh lớp 9A trồng trên thực tế là 360
x−4 (cây)
Theo đề bài ta có phương trình 360 360 1
x 4− x =
2 2
1
2
360 x 4 x x 4 360x
360x 360x 1440 x 4x
x 4x 1440 0
x 40
x 36
=
= −
Vì xN, x4 nên x=40
Vậy số học sinh của lớp 9A là 40 học sinh
Câu 6
Trang 11Xét AFH và ADB: BADchung và AFH=ADB=900
AFH ADB g.g AH.AD AB.AF 1
AD AB
Xét tứ giác BFECcó:
0
BFC=90 CF⊥AB
0
BEC=90 BE⊥AC
Có Fvà E cùng nhìn đoạn BC cố định dưới một góc vuông
Suy ra tứ giác BFECnội tiếp đường tròn đường kính BC
AFM ACB
= (góc trong bằng góc ngoài tại đỉnh đối)
Trong ( )O có: AMB=ACB(hai góc nội tiếp cùng chắn AB)
Suy ra AFM=AMB
Xét AMF và ABM: MABchung và AFM=AMB
AB AM
Từ ( )1 và ( )2 suy ra AM2 =AH.AD
Đề 4
Bài 1: (2 điểm)
Cho biểu thức: b b 1 b 2 b 3
B
b 9
−
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B
b) Tìm các giá trị của b để B ≥ 1
Bài 2: (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình: x 2y 6
b) Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho các đường thẳng (d): y = 3x + m và đường thẳng (d’):
y = m 5 1 x + − + 3 (với m -5) Xác định m để (d) song song với (d’)
Bài 3: (2 điểm)
Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0
M
O
H F
E
D
C
B
A
Trang 12a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x + 2mx = 912 2
Bài 4: (3 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính PQ = 2R Điểm N cố định trên nửa đường tròn Điểm M thuộc cung PN (M P; N) Hạ MH ⊥ PQ tại H, tia MQ cắt PN tại E, kẻ EI ⊥ PQ tại I Gọi K là giao điểm của PN và MH Chứng minh rằng:
a) Tứ giác QHKN là tứ giác nội tiếp;
b) PK.PN = PM2;
c) PE.PN + QE.QM không phụ thuộc vị trí của điểm M trên cung PN;
d) Khi M chuyển động trên cung PN thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MIN đi qua hai điểm cố định
Bài 5: (1 điểm)
Với x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + + = y z 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
ĐÁP ÁN Bài 1:
a) ĐKXĐ: b 0 và b 9
B
=
+
=
+
=
b
=
−
b) b 0 và b 9, b
−
b
1 0
− 3
−
Kết hợp với điều kiện b 0 và b 9 ta có: b > 9
Vậy: b > 9
Bài 2:
Trang 13a) x 2y 6 2x 4y 12
=
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là x 4
=
=
b) (d) // (d’) m 5 1 3
m 11
m 11
=
= (thỏa mãn điều kiện m - 5)
Vậy m = 11
Bài 3:
a) Với phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0
Ta có: / = m2 – m2 + m - 1 = m – 1
Phương trình có nghiệm kép / = 0 m – 1= 0 m = 1
khi đó nghiệm kép là:
/
a
−
b) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 / ≥0 m –1 ≥ 0 m ≥ 1
theo hệ thức Vi –ét ta có: 1 2
2
1 2
x x
Mà theo bài cho, thì x + 2mx = 912 2 (3)
Thay (1) vào (3) ta được:
2
2
1 x2) x x1 2 9 (4)
(x
Thay(1), (2) vào (4) ta được : 2 2 2
Trang 14
Giải phương trình ta được: m1= - 2 (loại) ; m2 = 5
3(TMĐK)
Vậy m = 5
3 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 x2 :
2
x + 2mx = 9
Bài 4:
a) Ta có góc PNQ = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Hay KNQ = 900
Xét tứ giác QHKN, có:
0
90
KHQ = (vì MH⊥PQ)
0
90
KNQ = (cm trên)
180
KNQ + KHQ = , mà hai góc này là hai góc đối diện
b) Chứng minh được PHK PNQ (g-g)
Suy ra PK.PN = PM2 (1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam vuông AMB ta có:
PH.PQ = PM2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra PK.PN = PM2
c) C/minh được PEI PQN (g-g) PE.PN = PI.PQ (3)
C/minh được QEI QPM (g-g) QE.QM = QI.PQ (4)
Từ (3) và (4) suy ra :
d) CM được tứ giác QNEI nội tiếp đường tròn EIN = EQN
CM được tứ giác PMEI nội tiếp đường tròn EIM = EPM
O
K
E
N M
Q P
Trang 15Mà 1
2
Do đó MIN = MON, mà O và I là hai đỉnh kề nhau của tứ giác MOIN => Tứ giác MOIN nội tiếp =>
Đường tròn ngoại tiếp tam giác MIN đi qua hai điểm O và N cố định
Bài 5:
Với x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + + = y z 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Ta có x + y + z = 2 nên 2x + yz = (x + y + z)x + yz = (x + y)(x + z)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương u = + x y và, v = x + z, ta có:
2
(1)
Tương tự 2 2
2
y x z
y + xz + +
(2); 2
2
2
z + xy + +
(3) Cộng các bđt (1), (2), (3) ta được:
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =2
3 Vậy Max P = 4 khi x = y = z =2
3
Trang 16Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí