Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm về Thể tích khối tròn xoay Toán 12 có đáp án

Cho một vật thể trong không gian tọa độ Oxyz, gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và Tính thể của Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông g[r]

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ

THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY TOÁN 12

Quay quanh trục Ox Quay quanh trục Oy

Dạng 1: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , trục Ox

và hai đường thẳng x a và xb abquay xung quanh trục Ox là:   2

Ox

b

a

V f x  dx

Chú ý: Hàm sốy f x 0  x  a b; và liên tục trên đoạn  a b ;

Dạng 2: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x f y , trục Oy

và hai đường thẳng ya và yb abquay xung quanh trục Oy là:   2

Oy

b

a

V f y  dy

b

a

x

y

0



x

O

( ) :C xg y( )

b

y

a

y

) ( :

) (C y  f x

b

a

x y

O

Chú ý: Hàm số x f y 0  y  a b; và liên tục trên đoạn  a b ;

Dạng 3: Cho hai hàm số y f x và yg x  liên tục, cùng dấu trên đoạn  a b Hình phẳng giới ; hạn bởi đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng xa và xb ab quay xung quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là:   2   2

V

b Ox a

Dạng 4: Cho hai hàm số x f y và xg y  liên tục, cùng dấu trên đoạn  a b Hình phẳng giới ; hạn bởi đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng ya và yb ab quay xung quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là:   2   2

V

b Oy a

Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau:

1. Thể tích của khố ờng sau: 0

y f ( x ) y

x a; x b









2 

b Ox a

V   f x dx

2. Thể tích của khố ờng sau:

y f ( x )

y g( x )

x a; x b









2  2 

b Ox a

V   f x g x dx

3. Thể tích của khố ờng sau: 0

x f ( y ) x

y a; y b









2 

b Oy a

V   f y dy

4. Thể tích của khố ờng sau:

x f ( y )

x g( y )

y a; y b









2  2 

b Oy

V   f y g y dy

Câu 1 Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1  x 3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 2 

3x 2

A V  32 2 15  B 124 

3

3

V D V  (32 2 15)  

Câu 2 Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng xa và xb ab, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ x a x b là một hình chữ nhật có hai kích thước là f x và   g x  

b

a

V f x g x dx B    

b

a

V  f x g x dx

 

b

a

f x

g x

b

a

V  f x g x dx

Câu 3 Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y x, y0 và x4 quanh trục Ox Đường thẳng xa 0 a 4 cắt đồ thị hàm y x tại M

(hình vẽ bên) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết 1

rằng V 2V1 Khi đó

2

Câu 4 Kí hiệu  H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số   4 x

y x e , trục tung và trục hoành Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H xung quanh trục Ox

A  8 

39 4

e

41 4

e



8 39 4

e



8 41 4

e

Câu 5 Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình  H quanh Ox với  H được giởi hạn bởi đồ

thị hàm số y 4xx2 và trục hoành

A 35 

31 3



C.32 

34 3



Ox

x

y

O

a

M

H

4

K

Câu 6 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong 3  2

1

x x

y

xe



 , trục hoành và hai đường thẳng

x x Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V a bln 1 1

e

trong đó a, b là các số hữu tỷ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A a2b7 B a b 3 C a b 5 D a2b5

Câu 7 Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đường cong 5  4

1

x x

y

xe



 , trục hoành và hai đường thẳng x0,x1 quanh trục hoành có thể tích V a b lne1, trong đó

a, b là các số nguyên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a b 5 B a2b 3 C a b 9 D a2b13

Câu 8 Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường  2   

sin cos

y



 , trục hoành và hai đường thẳng x0 và

4

x

Biết rằng diện tích của hình phẳng D bằng 2 4  

ln 2 ln 4

với a, b là các số hữu tỷ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A 2a b 12 B 2a b  6 C 2a b  12 D 2a b 6

Câu 9 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

xung quanh trục Ox là

2

b.

c



   (với a,b,c và b

c phân số

tối giản) Giá trị của S  a b c là

Câu 10 Cho là hàm số liên tục trên đoạn Hình phẳng giới hạn bởi các đường

và quay quanh trục tạo thành một khối tròn xoay có thể tích Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 11 Cho (H) là miền hình phẳng giới hạn bởi các đường (với a<b) và đồ thị của hai hàm

số Gọi V là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh Ox Mệnh đề nào dưới

đây là đúng?



π

y tan x, y 0, x 0, x

3









 b

a

V f (x) dx. b 

a

V f (x) dx.2  b 

a

V f (x) dx.2 b

a

V f (x) dx.

;

x a x b 

( ), ( )

y f x yg x

b

a

V f x2 g x dx2

  b  

a

b 

b

V  f x( )g x( )2dx

Câu 12 hể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn ởi các đường

quanh trục ox là

Câu 13 Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường

, , , quay quanh

Câu 14 Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, các đường thẳng , Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi cho hình quay quanh trục

Câu 15 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành, trục tung, đường thẳng .Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi khi quay quanh trục

Câu 16 ho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , ính thể tích khối tròn xoay khi hình phẳng quay quanh trục

Câu 17 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục Ox và hai đường thẳng

quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay Tính thể tích V của khối tròn xoay

Câu 18 Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng quay xung quanh trục được xác định bởi công thức nào sau đây ?

4 , 1 , 0 ,

y

16



V



 3x 1

1 3

3 6

3 1 3

3

0

 4

1

4







1



1 4







1

7 8

3

8

15







  





V 32

6

( ) :P y x

 :

1

2 2 0

( ) d

0 ( )d

Câu 19 Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành Tính thể tích

của vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục

Câu 20 Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

quay quanh trục có kết quả là (với , là phân số tối giản) Tính

Câu 21 Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và

quay quanh

Câu 22 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Khi quay xung quanh trục thu được khối tròn xoay có thể tích , với là phân số tối giản Khi đó ằng bao nhiêu?

Câu 23 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục

Câu 24 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục hình phẳng giới hạn bởi các đường ; và

Câu 25 Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục và đường thẳng Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục

Câu 26 Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ylnx,trục Ox và đường thẳng x2.Thể

Ox



15

15

15

15

b



,

2 2

yx  x

2

4

3

4 3



3

3

a V

b 1

a



32 5



5



3



3



V

Ox



y x y 2 x y0 2

3

2

6



4

x y

4

ln

2 3



ln



ln

2 4



ln 3



A B.

Câu 27 Cho hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng , trục và Hình

quay quanh trục tạo thành một vật thể tròn xoay có thể tích là Hỏi được tính bởi công thức nào sau đây ?

Câu 28 Cho và Gọi lần lượt là hình chiếu của và xuống trục Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang khi quay quanh trục Ox

Câu 29 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay xung quanh trục tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng Tìm và

Câu 30 Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đường cong

, trục hoành ,trục tung và đường thẳng Đường

thẳng chia thành hai phần

như hình vẽ bên Khi quay quanh trục hoành ta được

hai khối tròn xoay có thể tích tương ứng là Tìm để

A

B.

C

D.

Câu 31 Trong mặt phẳng (P) cho đường elíp có độ dài trục lớn

là , độ dài trục nhỏ là ; đường tròn tâm O đường

kính là như hình vẽ ính thể tích vật thể tròn xoay có được

ằng cách cho miền hình phẳng giới hạn ởi đường elíp và đường

2

π 2ln 2 4 ln 2 2

3 2 0

0

0

0

V  xdx

(1 ; 2)

/ /

AA B B

56

3

3

6







a

3

a 27; b 5 a26; b6 a24; b5 a27; b6.

 H

x

0 ln 4

1, 2

H H

1, 2

1 2 2

V  V

1

ln 3

2

k

1 ln11

2

k

ln 3

k

1 ln11

4

k

(E)



BB'

B

tròn ) quay xung quanh trục

A

B.

C

D

Câu 32 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là một hình chữ nhật có hai kích thước là và

Câu 33 Cho một vật thể trong không gian tọa độ Oxyz, gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt

phẳng và Tính thể của Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ x (với ) là một nửa hình tròn có bán kính bằng

Câu 34 Tính thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

xung quanh trục

AA'.





S 36 .





S 12 .





V 16 .





S 64 .

3

0

x 2 9x2

0

2

x

2

4

8

4

8

V 

2

x

y , y 2, y 4, x 0

2

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các rường ĐH và HP danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, iếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), C P B i Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Tr N Dũ , TS P m Sỹ Nam, TS Trị T Đè T y Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình oán Nâng ao, oán huyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Tr N Dũ , TS P m Sỹ N , TS L B T ắng, Th y Lê Phúc Lữ, Th y Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, in Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí