- Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu [r]
Trang 1TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ
PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN TOÁN 10
1 Phương sai
Kí hiệu 2
x
s
Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất
1
f x1( 1x)2 f x2( 2x)2 f x k( kx) 2
Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp
1
f c1( 1x)2 f c2( 2 x)2 f c k( kx) 2
Trong đó , ,n f c lần lượt là tần số, tần suất, giái trị đại diện của lớp thứ i; n là số các số liệu thống kê; i i i x
là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho
x
Trong đó 2
1
n (đối với bảng phân bố tần số, tần suất) hoặc 2
1
n (đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp)
Ý nghĩa phương sai
- Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình)
- Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy
có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng bé
2 Độ lệch chuẩn
Khi chú ý đơn vị đo ta thấy phương sai 2
x
s có đơn vị đo là bình phương của đơn vị đo được nghiên cứu (
đơn vị đo nghiên cứu là cm thì 2
x
s là cm2), để tránh tình trạng này ta dùng căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn, kí hiệu là s x
s x s x2
Trang 2Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn cũng dùng đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so
với số trung bình) Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn để đánh giá vì độ lệch chuẩn có
cùng đơn vị đó với dấu hiệu X được nghiên cứu
3 Bài tập mẫu
Dạng 1: Tính phương sai và độ lệch chuẩn đối với bảng phân bố tần số, tần suất
Phương pháp:
- Lập bảng phân bố tần số, tần suất
- Áp dụng công thức:
Phương sai
1
Độ lệch chuẩn
2
s s
Bài tập 1: Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một loại sản phẩm mới người
điều tra yêu cầu cho điểm sản phẩm ( thang điểm 100) kết quả như sau:
80 65 51 48 45 61 30 35 84 83 60 58 75 72
68 39 41 54 61 72 75 72 61 58 65
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn Nhận xét gì về các kết quả nhận được
Giải
Ta lập bảng phân bố tần số như sau:
Điểm 30 35 39 41 45 48 50 51 54 58 60 61 65 68 72 75 80 83 84
Tần số 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 1 1
Ta có:
1 1 2 2
1
1
1.30 1.35 1.39 1.41 1.45 1.48 1.50 1.51 1.54 1.58 1.60 3.61 2.65 1.68 3.72 2.75 1.80 1.83 1.84 60, 2 25
k k
n
1
Độ lệch chuẩn 2
Nhận xét: mức độ chênh lệch điểm giữa các giá trị là khá lớn
Bài tập 2: sản lượng lúa ( đv tạ) của 40 thửa ruộng thí nghệm có cùng diện tích được trình bày trong
bảng tần số sau đây:
Tần số 5 8 11 10 6
Trang 3a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng
b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn
Giải
a) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:
5.20 8.21 11.22 10.23 6.24 22,1 40
b) Phương sai:
1
c) Độ lệch chuẩn:
2
Dạng 2: Tính phương sai và độ lệch chuẩn đối với nảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp
Phương pháp:
- Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp, xác định giá trị đại diện
- Áp dụng công thức
2
1
n
Bài tập 1: bảng phân bố sau đây cho biết chiều cao ( tính bằng cm) của 500 học sinh trong một trường
THCS
Chiều cao 150;154
154;158
158;162
162;166
166;170
Tần số 25 50 200 175 50
a) Tính số trung bình
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn
Giải
Lớp chiều cao Giá trị đại diện Tần số
Trang 4158;162 160 200
a) Số trung bình:
1 152.25 156.50 160.200 164.175 168.50 161, 4 500
b) Phương sai:
2
25 152 161, 4 50 156 161, 4 200 160 161, 4 175 164 161, 4 50 168 161, 4 14, 48
s f c x f c x f c x
Độ lệch chuẩn: s x s2x 14, 483,85
Bài tập 2: Trên 2 con đường A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tần số của 30 chiếc xe ô tô trên mỗi con
đường như sau:
Con đường A:
60 65 70 68 62 75 80 83 82 69 73 75 85 72
67 88 90 85 72 63 75 76 85 84 70 61 60 65
73 76
Con đường B:
76 64 58 82 72 70 68 75 63 67 74 70 79 80
73 75 71 68 72 73 79 80 63 62 71 70 74 69
60 60
a) tìm số trung bình, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn của tốc độ trên mỗi con đường A, B
b) theo em thì xe chạy trên con đường nào thì an toàn hơn
Giải
a) Số trung bình:
60 65 70 65 73 76
73, 63 30
A
76 64 58 69 60 63
70, 7 30
B
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
Trang 5con đường A:
con đường B:
Giá
trị 58 60 62 63 64 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 79 80 81 Tần
số 1 1 1 3 1 1 2 1 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1
Số trung vị con đường A: do n=30 chẵn nên 73 73 73
2
A e
Số trung vị con đường B: do n=30 chẵn nên 71 71 71
2
B e
Phương sai:
1
1
Độ lệch chuẩn:
2 77,14 8, 78
2
37, 73 6,11
b) Nhận xét: chạy trên đường B an toàn hơn
Giá
trị 60 61 62 63 65 67 68 69 70 72 73 75 76 80 83 82 84 85 88 90 Tần
số 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 3 2 1 1 1 1 3 1
1
Trang 6Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh
Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí