[r]
Trang 1SỠ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT-DTNT CON CUÔNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2009-2010
(Thời gian 180 phút).
Câu I: (4điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc lập thành một cấp số cộng,
Và sin A +sin B+sin C=3+√3
2
1 Tìm các góc của tam giác ABC
2 Biết nữa chu vi là p=3+ √ 3 .Tìm bán kính đường tròn nội tiếp
Δ ABC
CâuII: (4điểm)
1 Giải phương trình : 2+sin x= 3(1+cos x )
sin x
2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
cosπ
8(3 x−√9 x2+160 x+800)=1
Câu III: (4 điểm)
1 Tìm giới hạn: lim
x →0
2010
√3 x +1−2009√2 x+ 1
x
2 Cho dãy số xác định bởi công thức sau:
u1= 4
u n= 1
2u n − 1+3
¿
{ ¿ ¿ ¿
¿
(n∈N ,n≥2)
Hãy tìm công thức: un=?,lim un= ?
Câu IV: (4điểm) Chứng minh rằng với ∀ n≥2,n∈N ta có.
C n2
(n−1 )2+
2C n3
(n−1 )3+
3 C n4
(n−1 )4+ .+
(n−1 )C n n
(n−1) n =1
Câu V: (4điểm) Cho hình chóp S.ABC Có ABC là tam giác đều cạnh bằng a,
các mặt bên hợp với đáy một góc α
Tìm - Chiều cao SH của hình chóp theo a và α
- Diện tích các mặt bên theo a và α
Trang 2
ĐÁP ÁN BÀI THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 11
Câu I:
Câu 1:
* A, B, C Là ba cạnh của tam giác ta giả sử π >A>B>C
Ta có A+B+C=1800
đ
0,25 đ
sin A +sin B+SinC =3+√3
2 ⇔sin A +sin C=
3 2 ⇔2 sin
A+C
2 cos
A−C
2 =
3
2⇔2 sin 120
0 cos A−C
2 =
3 2
√3
A−C
0
⇔A−C=600
Mặt # ta có: A + C =2B=1200
⇒ A = 900, B = 300 Vậy ba góc là: 300, 600, 900
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ Câu 2:
ABC là tâm giác vuông Ta giả sử A=900, B= 600, C=300
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Ta có BC = 2R
AB = R, AC = R √3
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
Trang 3Nửa chu vi bằng 3 + √3
⇔ R(3+ √3 ) = 2(3+ √3 )
⇔ R = 2
⇒ BC = 4, AB = 2, AC = 2 √3
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
S Δ ABC=
1
2AB AC=2√2
r=
S Δ ABC
2√2 3+√3
0,25 đ
0,25 đ
CâuII: Câu 1:
lim
x →0
2010
√3 x+1−2009√2 x+1
x =limx →0
2010
√3 x +1−1−2009√2 x +1+1
⇒lim
x→ 0
2010
√3 x+1−2009√2 x +1
x =limx →0(
2010
√3 x+1−1
2009
√2 x +1−1
= limx→0
2010
√3 x+1−1
x −limx→ 0
2009
√2 x+1−1
x
lim
x→0
2010
√ 3 x+1−1
x =limx→0
(2010√ 3 x+1−1 ) (2010√ ( 3 x+1 )2009+2010√ ( 3 x+1 )2008+ +1 )
x (2010√ ( 3x+1 )2009+2010√ ( 3 x+1 )2008+2010√ ( 3 x+1 )2007+ +1 )
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Trang 4
lim
x →0
2010
√3 x+1−1
x =limx → 0
3
2010
√(3 x+1)2009+2010√(3 x+1)2008+ +1=
3 2010
lim
x→0
2009
√ 2 x+1−1
x =limx→0
(2009√ 2x+1−1 ) (2009√ ( 2 x+1 )2008+2009√ ( 2 x+1 )2007+ +1 )
x (2009√ ( 2 x+1 )2008+2009√ ( 2 x+1 )2007+ +1 )
lim
x→0
2009
√2 x +1−1
x =limx →0
2
2009
√(2 x +1)2008+2009√(2 x+1)2007+ +1=
2 2009
vậy limx →0
2010
√3 x +1−2009√2 x+1
3
2010−
2
2009=
2007
2009 2010
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu II:
Ta có u n=
1
2u n−1+3
, u n−1=
1
2u n−2+3
⇒u n−u n−1= 1
2(u n−1−u n−2)= 1
22(u n−2−u n−3)= = 1
2n−2(u2 −u1)
⇒ u2 −u1=u2−u1
u3−u2=
1
2(u2 −u1)
u4−u3=
1
22(u2 −u1) ………
………
………
u n−u n−1=
1
2n−2(u2 −u1)
Cộng lại ta được: u n=u1+(u2−u1)(1+1
2+
1
22+
1
23+ .+
1
2n−2)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25
Trang 5Mà
1+1
2+
1
22+
1
23+ +
1
2n−2=
1− 1
2n−1 1−1 2
= 2(2n−1−1)
2n−1
u2 −u1=1
u n=4 +
2 ( 2n−1−1 )
2n−1
⇒ lim(4 +2(2
n−1−1)
2n−1 )= lim[4+ 2(1− 1
2n−1) ]=6
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu III: Câu 1|
Điều kiện: sin x ¿ 0 ⇔ x ¿ k π , k ¿ Z
Đặt t=tan x
2
Ta có
2+ 2t
1+t2=
3(1+1−t2
1+t2)
2 t 1+t2
⇔2 t3−t2+2 t−3=0
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Trang 6¿ [t−1=0
[2t2 +t +3=0[¿ ⇔t=1
t=1⇔ tan
x
2=1⇔
x
2=
π
4+kπ ,k ∈Z
2 +2 kπ , k ∈Z ( thoả mãn với điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
π
2+2 kπ , k ∈Z
đ 0,5đ
0,25 đ
0,25 đ Câu 2:
⇔π
8(3 x−√9 x2+160 x+800)=2kπ
, k ¿Z
⇔3 x−√9 x2+160 x+800=16 k , k ∈Z
⇔ √ 9 x2+160 x+800=3 x−16k , k ∈Z
3 x−16 k ≥0
( 96 k +5 ) x =256 k2−800
¿
{ ¿ ¿ ¿
¿ , k ∈Z
3 x−16 k≥ 0 ( 1)
x= 8 k2−25
3 k +5 ( 2)
¿
{ ¿ ¿ ¿
¿ k ∈Z
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Từ (2) ta có x=
8 k
3 −
40
9 −
25
9(3 k+5)⇔9 x =24 k −40−25
3 k +5
25
3 k +5∈Z ⇒3 k +5 là ước của 25
0.25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Trang 7¿
[3k+5=±1
[3k+5=±5
[3k+5=±25
[¿
⇔
¿
[k=−4
3 ∉Z [k=−2
[k=0
[k=−10
3 ∉Z [k=20
3 ∉Z [k=−10
[¿
.Với k = -2 thì x = -7 thoả mãn (1)
.Với k = 0 thì x = -5 không thoả mãn (1)
.Với k =-10 thì x = -31 thoả mãn (1)
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên là: x = -7, x = -31
0,5đ
0,25 đ
Câu IV
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) Trong mặt phẳng
(ABC) qua H kẻ các đường thẳng lần lượt vuông góc với AB, AC, BC tại M,
N, P.
Dựa vào định lí ba đường vuông góc
⇒SM ⊥ AB , SN ⊥ AC , SP ⊥BC
∠SMH =∠ SNH =∠ SPH=α
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5đ
⇒ H là tâm đường tròn nội tiếp Δ ABC 0,5đ
A
H B
C S
N
Trang 8Do Δ ABC đều ⇒ H là trọng tâm tam giác ABC đ
Ta có AP =
a√
2
⇒ PH =
a 3 6
Mà tan α= SH
HP⇒SH=HP tan α=
a√3 tan α
6
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Từ HA=HB=HC ⇒ SA=SB=SC
Ta có cos α =
HP
HP
a√3
6 cos α
⇒S Δ SAB=S Δ SAC=S Δ SBC=1
2 SP BC=
a2√3
12cos α
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ 0,5đ
Câu5:
Xét hàm số:
f ( x ) = x ( 1+ 1
x )n , (n≥2 , n∈Z )
⇒f ' (x )=(1+1
x)n−n x(1+1
x)n−1 1
x2=(1+1
x)n−n
x(1+1
x)n−1
0,5đ 0,25 đ
Trang 9
= ( 1+ 1
x )n−1( 1+ 1
x −
n
x )
= ( 1+ 1
x )n−1( 1+ 1−n
x ) (1)
0,25 đ
0,25 đ
f ( x )=x [ Cn o+ Cn1 1
x + Cn2 1
x2+ +Cn
n 1
xn]
= Cn0 x+Cn1+ Cn2 1
x + Cn
3 1
x2+ .+Cn
n 1
xn−1
⇒ f'(x )=Cn0− ( Cn2
x2 +
2 Cn3
x3 +
3 Cn4
x4 + +
( n−1)Cn n
xn )
(2)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
từ (1) và (2) ta có
(1+1
x)n−1.(1+1−n
x )=C n0−(C n
2
x2+
2 C n3
x3 +
3 C n4
x4 + +
(n−1)C n n
x n ) (3) 0,5đ
Trong (3) thay x=n-1
ta được
0=C n0−( C n2
(n−1)2+
2 C n3
(n−1)3+
3 C n4
(n−1)4+ +(n−1)C n
n
(n−1)n )
⇔ C n2
(n−1)2+
2 C n3
(n−1)3+
3 C n4
(n−1)4+ +(n−1)C n
n
(n−1)n =1
0,5đ
0,5đ
0,5đ