Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phân số của học sinh lớp 4

Nguyễn Thị Duyến Tómătắt: Qua quá trình khảo sát 50 bài làm của học sinh lớp 4 tại trư ng Tiểu học Phù Đổng, chúng tìm hiểu về kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của học sinh về

TR NGăĐ IăH CăS ăPH M

NGUY NăTH ăHOÀIăTH NG

KI NăTH CăQUYăTRỊNHăVÀăKI NăTH CăKHỄIăNI M

V ăPHÂNăS ăC AăH CăSINHăL Pă4

LU NăVĔNăTH CăSĨă GIỄOăD CăH C

ĐÀăN NGăậ 2020

TR NGăĐ IăH CăS ăPH M

NGUY NăTH ăHOÀIăTH NG

KI NăTH CăQUYăTRỊNHăVÀăKI NăTH CăKHỄIăNI M

V ăPHÂNăS ăC AăH CăSINHăL Pă4

ChuyênăngƠnh:ăGiáoăd căh că(Ti uăh c)

Mƣăs :ă814ă01ă01

LU NăVĔNăTH CăSĨă

Ng iăh ngăd năKhoaăh c:ăTS.ăNGUY NăTH ăDUY N

ĐÀăN NGă- 2020

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng

và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguy năTh ăHoƠiăTh ng

V ăPHÂNăS ăL Pă4 (Kh oăsátăt iătr ngăTi uăh căPhùăĐ ng,ăTPăĐƠăN ng)

Ngư i hướng dẫn khoa học : TS Nguyễn Thị Duyến

Tómătắt: Qua quá trình khảo sát 50 bài làm của học sinh lớp 4 tại trư ng Tiểu học Phù Đổng, chúng

tìm hiểu về kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của học sinh về chủ đề phân số lớp 4 Chúng tôi

đã thống kê cụ thể mức độ nhận biết của học sinh qua từng tình huống cụ thể Dựa trên thực trạng đã khảo sát chúng tôi phân tích khả năng nắm kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm, việc giải quyết các bài toán thực tế Trong đó, tỉ lệ học sinh nắm kiến thức quy trình về phân số chiếm tỉ lệ khá cao Tuy nhiên kết quả thống kê được về kiến thức khái niệm của học sinh về phân số lại phân hóa đa dạng Hầu hết học sinh thể hiện khá tốt với những bài toán yêu cầu thể hiện hiểu biết về kiến thức khái niệm phân số Đối với những bài toán đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm có

sự phân kì Từ đó phân loại kết quả về kiến thức của học sinh về phân số Qua thống kê mức độ học sinh mức độ yếu và trung bình khá cao, chiếm 52% tổng số học sinh tham gia khảo sát Tỉ lệ học

sinh đạt mức khá là 38% và mức giỏi là 10% Đề tài Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về

phân số lớp 4 (khảo sát tại trường Tiểu học Phù Đổng, TP Đà Nẵng) nhằm mục đích tìm hiểu kiến

thức quy trình và kiến thức khái niệm của học sinh về phân số để biết được những khó khăn về mặt nhận thức của học sinh trừ đó phát triển kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm cho học sinh qua chủ đề phân số góp phần nâng cao kĩ năng làm toán về phân số cho học sinh Qua đó có thể giúp cho

cả ngư i dạy phát hiện được điểm yếu của học sinh mà đưa ra những phương pháp dạy học thích hợp

Từăkhóa: Kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm, phân số, lớp 4, trư ng Tiểu học Phù Đổng.

Xácănh năc aăgiáoăviênăh ngăd n Ng iăthựcăhi năăđ ătƠi

ABOUT THE CLASS CLASSIFICATION 4 (Survey at Phu Dong Primary School, Da Nang City)

Full name of Master studen t : Nguyen Thi Hoai Thuong

Training institution : University of Education - Danang University

Abstract: Through a survey of 50 4th grade students 'assignments at Phu Dong Primary School, they

learned about students' process knowledge and conceptual knowledge on the subject of 4th grade fractions The level of awareness of students through each specific situation Based on the surveyed situation, we analyze the ability to grasp process knowledge and conceptual knowledge, solving practical problems In particular, the percentage of students who know the process knowledge about fractions is quite high However, the statistical results of students' conceptual knowledge about fractions diversify Most students perform well with problems that require knowledge of the concept

of fractions For problems that require a combination of process knowledge and conceptual knowledge, there is divergence From there, classify the results for students' knowledge of fractions According to statistics, the level of students at weak and medium level is quite high, accounting for 52% of the total students participating in the survey The rate of students achieving a good level is 38% and at a good level is 10% The topic of process knowledge and conceptual knowledge about fractions of grade 4 (surveyed at Phu Dong Primary School, Da Nang City) aims to learn about process knowledge and conceptual knowledge of students about fractions to know the cognitive difficulties of students except for developing process knowledge and conceptual knowledge for students through the topic of fractions, which contribute to improving the numeracy skills of students Thereby, it can help both teachers discover weaknesses of students and offer appropriate teaching methods

Key words: Process knowledge, conceptual knowledge, fractions, grade 4, Phu Dong Primary School

Supervior’săăconfirmationăăăăăăăăăă Student

L IăCAMăĐOAN

M C L C

DANH M C CÁC B NG

M Đ U 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Câu hỏi nghiên cứu 3

5 Đối tượng, chủ thể và phạm vi nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Cấu trúc luận văn 4

CH NGă1 T NG QUAN V NăĐ NGHIÊN C U 5

1.1 Lịch sử nghiên cứu của vấn đề 5

1.2 Đặc điểm tâm lý của học sinh tiểu học 7

1.2.1 Đặc điểm nhận thức 7

1.2.2 Đặc điểm nhân cách của học sinh tiểu học 8

1.3 Đặc điểm môn Toán tiểu học 9

1.4 Chủ đề phân số trong chương trình môn Toán tiểu học 9

1.5 Mục tiêu và nội dung dạy học về phân số trong chương trình toán tiểu học 10

1.5.1 Mục tiêu dạy học phân số trong chương trình toán tiểu học 10

1.5.2 Nội dung phân số trong chương trình toán tiểu học 10

1.6 Thực trạng và khó khăn của việc học phân số của học sinh tiểu học 12

1.6.1 Thực trạng chung của việc học phân số của học sinh tiểu học 12

1.6.2 Khó khăn của việc học phân số của học sinh tiểu học 12

1.7 Tiểu kết chương 1 14

CH NGă 2 KI N TH C QUY TRÌNH VÀ KI N TH C KHÁI NI M V PHÂN S 15

2.1 Kiến thức quy trình về phân số 15

2.1.1 Kiến thức quy trình 15

2.1.2 Các kiểu kiến thức quy trình về phân số 16

2.2 Kiến thức khái niệm về phân số 23

2.2.1 Kiến thức khái niệm 23

2.2.2 Các cách tiếp cận khái niệm phân số 24

2.3 Tiểu kết chương 2 37

CH NGă3 THI T K NGHIÊN C U 38

3.1 Ngữ cảnh nghiên cứu 38

3.2 Đối tượng tham gia và nghiên cứu 38

3.3 Công cụ nghiên cứu 39

3.3.1 Khảo sát kiến thức về khái niệm phân số 39

3.3.2 Khảo sát kiến thức về phép toán trên phân số 40

3.4 Phân tích tiên nghiệm 44

3.4.1 Kiến thức về khái niệm phân số 44

3.4.2 Kiến thức về phép toán trên phân số 46

3.4 Phát triển khung đánh giá và mã hóa dữ liệu 51

3.5 Hạn chế của nghiên cứu 55

3.6 Tiểu kết chương 3 56

CH NGă4 K T QU NGHIÊN C U 57

4.1 Định hướng phân tích kết quả nghiên cứu 57

4.2 Phân tích định lượng kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của học sinh về phân số 57

4.3 Bảng tổng hợp thể hiện của từng học sinh với các bài toán về phân số 59

4.4 Phân loại kết quả về kiến thức của học sinh về phân số 61

4.5 Phân tích định tính kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của học sinh về phân số và phép toán trên phân số 62

4.5.1 Phân tích định tính kiến thức quy trình của học sinh về phân số và phép toán trên phân số 62

4.5.2 Phân tích định tính kiến thức khái niệm của học sinh về phân số và phép toán trên phân số 64

4.6 Tiểu kết chương 4 72

CH NGă5 K T LU N 73

5.1 Trả l i và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu 73

5.2 Hướng phát triển của đề tài 76

5.3 Tiểu kết chương 5 76

DANH M C TÀI LI U THAM KH O 77

PH L C

QUY TăĐ NHăGIAOăĐ TÀI LU NăVĔNă(B n sao)

S ăăhi uă

3.2 Khung nội dung đánh giá cụ thể dành riêng cho mỗi tình huống 52 4.1 Thống kê kết quả về kiến thức quy trình của học sinh 57 4.2 Thống kê kết quả về kiến thức khái niệm của học sinh 58

4.10 Đáp ứng của học sinh thứ hai với tình huống 1 654.11 Đáp ứng của học sinh thứ hai với tình huống 2 654.12 Đáp ứng của học sinh thứ hai với tình huống 3 664.13 Lập luận đúng của học sinh với tình huống 1b 674.14 Bài làm sai của học sinh với tình huống 1b 674.15 Lập luận đúng của học sinh với tình huống 2b 674.16 Bài làm thiếu giải thích của học sinh với tình huống 2b 68

4.18 Luận luận không chính xác của học sinh với tình huống 3b 694.19 Luận luận chính xác của học sinh với tình huống 3b 69

4.21 Luận luận chính xác của học sinh với tình huống 4b 704.22 Hai cách giải quyết vấn đề của học sinh với tình huống 4b 70

M Đ U

1 LỦădoăch năđ ătƠi

Bước sang thế kỉ XXI, khoa học công nghệ phát triển như vũ bão Phát triển

giáo dục là nền tảng, tạo nguồn nhân lực chất lượng cao; là một trong những động lực

quan trọng, thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa; là yếu tố cơ bản để

phát triển xã hội, tăng trư ng kinh tế nhanh và bền vững

Trong sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước và hội nhập với Quốc

tế đòi hỏi phải khẩn trương đổi mới giáo dục đào tạo (GD&ĐT) Để đáp ứng yêu cầu

phát triển của đất nước trong giai đoạn mới, ngành giáo dục nói chung, bậc tiểu học

nói riêng đang đẩy mạnh tiến trình đổi mới cả về nội dung, phương pháp và hình thức

tổ chức hoạt động dạy và học theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh Đổi

mới hình thức dạy học cũng là một trong các giải pháp được toàn xã hội quan tâm,

nhằm đưa các hình thức tổ chức dạy học mới vào nhà trư ng

Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện

GD&ĐT xác định nhiệm vụ đổi mới là: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các

yếu tố cơ bản của giáo dục, đào tạo theo hướng coi trọng sự phát triển phẩm chất, năng lực của người học” Trong đó chú trọng đổi mới phương pháp dạy và học “theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”

Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể có nêu rõ mục tiêu giáo dục tiểu học:

giúp học sinh hình thành và phát triển những yếu tố căn bản đặt nền móng cho sự phát triển hài hoà về thể chất và tinh thần, phẩm chất và năng lực; định hướng chính vào giáo dục về giá trị bản thân, gia đình, cộng đồng và những thói quen, nền nếp cần thiết trong học tập và sinh hoạt

Có thể nói rằng Toán học có mặt mọi ngõ ngách của khoa học và đ i sống, do

tính thực tiễn phổ dụng, tính trừu tượng cao nên những tri thức và kĩ năng toán học cùng với phương pháp tư duy của toán học được sử dụng trong nhiều ngành khoa học

khác nhau

Hiện nay việc nâng cao chất lượng dạy và học đang là vấn đề được các nhà hoạch định chính sách và giáo dục quan tâm Đặc biệt nâng cao chất lượng dạy và học toán trong trư ng tiểu học ngày càng được xã hội quan tâm Việc đổi mới phương pháp dạy và học toán trư ng tiểu học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập của cá nhân sau này b i vì những kiến thức và kĩ năng toán mà học sinh có được từ

cấp tiểu học sẽ đặt nền tảng cho việc tiếp thu những kiến thức toán trừu tượng bậc trung học và đại học sau này Bên cạnh đó, kiến thức và lối tư duy mà học sinh có được trong quá trình học toán tiểu học có thể giúp các em học tốt các môn khác, giúp các em năng động, sáng tạo, tự tin hơn và làm quen với việc vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống

Chương trình toán tiểu học có vị trí và tầm quan trọng trong việc đặt nền móng cho việc hình thành và phát triển nhân cách cho học sinh Trên cơ s cung cấp những tri thức khoa học ban đầu về số tự nhiên, phân số, số thập phân và các đại lượng cơ bản Môn Toán là “chìa khóa” m cửa cho các em học các ngành khoa học khác và là môn học không thể thiếu trong nhà trư ng Bên cạnh đó, nội dung chương trình Toán tiểu học còn được biên soạn theo hướng đồng tâm và số học được coi là mảng kiến thức cốt lõi Mảng kiến thức số học được sắp xếp bắt đầu từ số tự nhiên, phân số, số thập phân Trong đó phân số được coi là mảng kiến thức mới và khó đối với nhận thức của học sinh tiểu học Việc dạy học chủ đề phân số chiếm một vị trí rất quan trọng

trong nội dung của Toán tiểu học Điều này thể hiện chương trình Toán 4, phân số được học bắt đầu từ học kỳ II, dạy học phân số chiếm 60% th i lượng dạy học Toán

của kỳ II, chiếm 29,75 % tổng th i lượng dạy học Toán 4 Phân số là một trong các

nội dung cơ bản của chủ đề số học Tiểu học, tập trung vào các nội dung cơ bản sau như khái niệm ban đầu về phân số và một số nội dung liên quan như mối liên hệ với

số tự nhiên và với số thập phân, tính chất cơ bản của phân số, rút gọn phân số, so sánh phân số, cộng, trừ, nhân, chia phân số và giải toán ứng dụng phân số

Theo nhận định chung của các nhà nghiên cứu giáo dục thì dạy học phân số hiệu quả là một vấn đề thách thức giáo viên đứng lớp b i một số lí do cơ bản sau:

- Học sinh trong nhà trư ng tiểu học từ 6 – 11 tuổi, với độ tuổi đó hoạt động nhận thức chủ yếu mức độ đơn giản Trong khi đó khái niệm số nói chung và khái

niệm phân số nói riêng rất trừu tượng nên học sinh khó nhận thức vì tính khái quát

cao Phân số lúc này được xem là loại số mới với học sinh tiểu học, là sự m rộng

của khái niệm số Phân số cho phép ghi lại cả những lượng nhỏ hơn đơn vị và thấy được mối tương quan với đơn vị (cái toàn thể) Như vậy, với phân số tính chất

khái quát và trừu tượng tăng thêm Cấu tạo của phân số mới mẻ so với cấu tạo “thập

phân” của số tự nhiên

- Trong quá trình học số tự nhiên, học sinh làm quen với cách ghi số theo vị trí

và cấu tạo thập phân (hàng, lớp) Tuy nhiên, phân số lại gồm hai phần là tử số và

mẫu số Do đó một số học sinh sẽ cho rằng phân số là hai số và chưa hiểu được ý

nghĩa biểu thị số lượng của phân số

- Ngoài ra, một số tính chất của phân số khác hẳn số tự nhiên

Với những lí do trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài “Kiến thức quy trình

và kiến thức khái niệm về phân số của học sinh lớp 4” để nghiên cứu, chúng tôi

mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình vào việc giúp học sinh hình

thành khái niệm phân số và ứng dụng vào việc thực hành giải toán của học sinh

2 M căđíchănghiênăc u

Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm về phân số và các phép toán trên phân số của học sinh lớp 4 và phát triển kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm cho học sinh lớp 4 nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề phân số trư ng tiểu học

3 Nhi măv ănghiênăc u

Căn cứ vào mục đích nghiên cứu, luận văn gồm có các nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu cơ s lý luận và nội dung của kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm, cụ thể hóa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về chủ đề phân số

- Nghiên cứu nội dung các kiến thức phân số lớp 4, tìm hiểu kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phân số của học sinh lớp 4

- Thực nghiệm sư phạm, xử lý kết quả và đề xuất các tiếp cận để phát triển kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phân số của học sinh lớp 4

4 Cơuăh iănghiênăc u

Nghiên cứu nhằm mục đích tìm kiếm câu trả l i cho các câu hỏi sau đây:

 Câu hỏi nghiên cứu 1: Kiến thức quy trình của học sinh lớp 4 về chủ đề phân

6 Ph ngăphápănghiênăc u

6.1.ăNghiênăc uălỦălu n

Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp tài liệu về dạy học phân số cho học sinh lớp 4

6.2 Ph ngăphápăđi uătraăậ kh oăsát

Tiến hành điều tra thực trạng hiểu biết về khái niệm phân số và kỹ năng làm toán phân số của học sinh thông qua việc nắm kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phân số

6.3 Ph ngăphápăthựcănghi măs ăph m

Tiến hành thực nghiệm dạy học phân số cho học sinh lớp 4 nhằm phát triển kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phân số để khẳng định tính khả thi và hiệu quả của đề tài luận văn

7 C uătrúcălu năvĕn

Ngoài phần m đầu, tài liệu tham khảo, phụ lúc, luận văn được bố cục thành 5 chương như sau:

Ch ngă1.ăT ngăquanăv năđ ănghiênăc u

Ch ngă2.ăKi năth căquyătrìnhăvƠăki năth căkháiăni măv ăphơnăs ă

Ch ngă3.ăThi tăk ănghiênăc u

Ch ngă4.ăK tăqu ănghiênăc u

Ch ngă5.ăK tălu nă

CH NGă1

1.1.ăL chăsửănghiênăc uăc aăv năđ

Thuật ngữ kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm toán học luôn thu hút nhiều nhà khoa học thế giới quan tâm, nó xuất hiện và tr nên phổ biến giữa những năm 1980, đặc biệt sau khi Hiebert (1986) biên tập cuốn sách “ Kiến thức khái niệm và quy trình: Trư ng hợp của toán học”, các thuật ngữ này được sử dụng phổ biến và nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà giáo dục toán Sự phân biệt giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm đóng một vai trò quan trọng trong việc hình thành kiến thức mà học sinh thu nhận được

Haapasalo và Kasijevich nhấn mạnh rằng chúng ta chỉ có thể nghiên cứu kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của ngư i học thông qua các nhiệm vụ toán học mang tính quy trình và khái niệm vì kiến khái niệm và kiến thức quy trình không thể

đo trực tiếp Trong ba thập kỉ, có rất nhiều công trình nghiên cứu trên thế giới về kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm trong giáo dục Các nghiên cứu về chủ đề này đã

cố gắng để trả l i câu hỏi làm thế nào để học sinh tiếp thu kiến thức toán học (Hiebert

& Lefevre, 1986) Đặc biệt là trong toán học và kiến thức khoa học, khái niệm và quy trình tạo thành những phần thiết yếu của học sinh hiểu và học khái niệm toán học

(Haapasalo, 2003) Kiến thức về khái niệm và quy trình có liên quan đến nhau (Hiebert

& Lefevre, 1986) Do đó đối với năng lực toán học, học sinh nên phát triển liên tục cả kiến thức về khái niệm và kiến thức quy trình (Rittle-Johnson & Alibali, 1999) Tuy

nhiên, trong quá trình dạy học khía cạnh khái niệm của các khái niệm toán học đôi khi còn bỏ qua và các khía cạnh quy trình thư ng được chú trọng hơn Điều này dẫn đến việc học sinh học vẹt các quy trình mà không hiểu ý nghĩa của chúng

Việt Nam chưa có nhiều công trình nghiên cứu về kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm Tuy nhiên, nghiên cứu của Phạm Thế (2015) đã tìm hiểu kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình của học sinh về hàm số Có một số tác giả nghiên cứu

về những vấn đề liên quan đến phân số như Hoài Châu và Hồng Thắm (2015), Dương Hữu Tòng (2013) Tuy nhiên nước ta chưa có nghiên cứu nào đề cập đến kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của học sinh tiểu học về phân số

Phân số là một trong những chủ đề quan trọng trong quá trình dạy học toán, tạo tiền đề quan trọng để học sinh tiếp thu các chủ đề khác như số hữu tỷ, tỷ lệ và số đo Tuy nhiên phân số cũng là một lĩnh vực gây nhiều khó khăn cho học sinh trong việc tiếp nhận và sử dụng chúng Một số nghiên cứu điều tra kiến thức về khái niệm và quy trình của học sinh Thổ Nhĩ Kỳ với các cấp học khác nhau từ cấp trung học đến cấp

đại học (trích theo Omerci, 2012) Kết quả của những nghiên cứu này cho thấy rằng học sinh Thổ Nhĩ Kỳ các cấp lớp khác nhau có kiến thức quy trình về phân số khá đầy đủ, tuy nhiên kiến thức khái niệm của ngư i học về chủ đề phân số còn khá m nhạt Bên cạnh đó, những nghiên cứu này còn lý giải về sự non yếu của kiến thức khái niệm của học sinh trong quá trình học toán học Việc thiếu những kiến thức khái niệm

về toán học dẫn đến những khó khăn của ngư i học khi giải quyết các vấn đề toán học liên quan đến phân số, khái niệm thập phân và việc sử dụng phân số trong các lĩnh vực nội dung khác, đặc biệt là đại số (Bailey, Hoard, Nugent, & Geary, 2012) Nguyên nhân của tình trạng này có thể là do trong quá trình dạy học toán, học sinh thư ng xuyên được tiếp xúc với các bài toán mà giáo viên đã thực hiện bằng các thuật toán trên lớp Học sinh đã quen với việc giáo viên đưa ra các ví dụ để học sinh làm theo cách tương tự, cho đến khi các em có thể tự mình làm các bài toán này một cách chính xác theo các thuật toán đã được chỉ dẫn trước đó Nhiều học sinh tiểu học tập trung ghi nhớ các quy trình hoặc thuật toán thay cho việc tìm hiểu các mối liên hệ giữa các đối tượng Điều đó dẫn đến việc học sinh gặp khó khăn khi gặp phải các nhiệm vụ gắn với tình huống thực tế (Lamon,1996) Một trong những điển hình thấy rõ nhất là nhiều học sinh vẫn làm được các bài toán mang tính quy trình trong chủ đề phân số tiểu học, tuy nhiên các em không hiểu bản chất của các phép toán và lúng túng khi đứng trước một vấn đề thực tế chứa đựng kiến thức phân số Trong lúc đó, phân số là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình lớp 4 Hiểu biết về phân số trong toán

4 làm cơ s vững chắc để học tiếp phân số thập phân, hỗn số lớp 5 nhằm hệ thống hóa

và hoàn chỉnh toàn bộ nội dung dạy học phân số Tiểu học, chuẩn bị cho dạy học số thập phân và các kiến thức toán trừu tượng hơn bậc trung học

Phân số là một nội dung mới và khó đối với học sinh lớp 4 Kiến thức về phân

số mang tính trừu tượng cao với nhận thức của trẻ lớp học này Trong khi đó, trong các đợt kiểm tra và thi cử, hầu như các bài toán về phân số tập trung vào các kĩ năng

như cộng, trừ, nhân, chia phân số; rút gọn phân số, so sánh phân số,… Điều đó dẫn đến việc nhiều học sinh tập trung học các kiến thức quy trình để hoàn thành các bài kiển tra Thông thư ng, nếu học sinh nắm vững quy tắc thì có thể làm đúng đáp án Điều này vô tình tạo ra một lý do để giáo viên và học sinh tin rằng các em đã hiểu được khái niệm phân số, nhưng có lẽ điều này không đúng Sự sự vắng mặt của kiến thức khái niệm trong quá trình kiểm tra đánh giá đã che dấu đi thực trạng về kiến thức khái niệm về phân số của các em Vậy nếu có một sự quan tâm nhiều hơn cho việc giảng dạy kiến thức khái niệm trong trư ng học, thì liệu rằng kiến thức quy trình có thể bỏ qua, hay là ít quan tâm hơn? Điều này có thể không xảy ra, các nhà giáo dục đã chỉ ra rằng, kiến thức quy trình là điều kiện cần thiết cho kiến thức khái niệm Nói

cách khác, ngay cả khi mục tiêu giảng dạy toán học, mà cụ thể trong nghiên cứu này là giúp học sinh hiểu được kiến thức khái niệm về phân số, kiến thức quy trình là công cụ

để học sinh đạt được mục tiêu đó Xuất phát từ những ý nghĩa thực tế trong dạy học của hai dạng kiến thức này, chúng tôi thấy cần thiết trong việc tìm hiểu kĩ hơn bản chất của kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm và mối liên hệ của chúng cũng như ứng dụng của chúng trong việc thực hành giải toán của học sinh

1.2 ăĐặcăđi mătơmălỦăc aăh căsinhăti uăh c

1.2.1 Đặcăđi mănh năth c

Nếu như bậc mầm non hoạt động chủ đạo của trẻ là vui chơi, thì đến tuổi tiểu học hoạt động chủ đạo của trẻ đã có sự thay đổi về chất, chuyển từ hoạt động vui chơi sang hoạt động học tập Đây là một bước ngoặt lớn trong đ i sống của trẻ

Tri giác của học sinh tiểu học mang tính đại thể, ít đi vào chi tiết và mang tính không ổn định: đầu tuổi tiểu học tri giác thư ng gắn với hành động trực quan, đến cuối tuổi tiểu học tri giác bắt đầu mang tính xúc cảm, trẻ thích quan sát các sự vật hiện tượng có màu sắc sặc sỡ, hấp hẫn, tri giác của trẻ đã mang tính mục đích, có phương hướng rõ ràng - tri giác có chủ định (trẻ biết lập kế hoạch học tập, biết sắp xếp công việc nhà, biết làm các bài tập từ dễ đến khó, )

Nhận thấy điều này chúng ta cần phải thu hút trẻ bằng các hoạt động mới, mang màu sắc, tính chất đặc biệt khác lạ so với bình thư ng, khi đó sẽ kích thích trẻ cảm nhận, tri giác tích cực và chính xác

Tư duy mang đậm màu sắc xúc cảm và chiếm ưu thế tư duy trực quan hành động Các phẩm chất tư duy chuyển dần từ tính cụ thể sang tư duy trừu tượng, khái quát

Khả năng khái quát hóa phát triển dần theo lứa tuổi, lớp 4, 5 bắt đầu biết khái quát hóa lý luận Tuy nhiên, hoạt động phân tích, tổng hợp kiến thức còn sơ đẳng phần đông học sinh tiểu học

Tư ng tượng của học sinh tiểu học đã phát triển phong phú hơn so với trẻ mầm non nh có bộ não phát triển và vốn kinh nghiệm ngày càng dày dạn Tuy nhiên, tư ng tượng của các em vẫn mang một số đặc điểm nổi bật sau:

- đầu tuổi tiểu học thì hình ảnh tư ng tượng còn đơn giản, chưa bền vững và dễ thay đổi

- cuối tuổi tiểu học, tư ng tượng tái tạo đã bắt đầu hoàn thiện, từ những hình ảnh cũ trẻ đã tái tạo ra những hình ảnh mới Tư ng tượng sáng tạo tương đối phát triển giai đoạn cuối tuổi tiểu học, trẻ bắt đầu phát triển khả năng làm thơ, làm văn, vẽ tranh, Đặc biệt, tư ng tượng của các em trong giai đoạn này bị chi phối mạnh mẽ

b i các xúc cảm, tình cảm, những hình ảnh, sự việc, hiện tượng đều gắn liền với các rung động tình cảm của các em

Qua đây, chúng ta phải phát triển tư duy và trí tư ng tượng của các em bằng cách biến các kiến thức "khô khan" thành những hình ảnh có cảm xúc, đặt ra cho các

em những câu hỏi mang tính gợi m , thu hút các em vào các hoạt động nhóm, hoạt động tập thể để các em có cơ hội phát triển quá trình nhận thức lý tính của mình một cách toàn diện

1.2.2 Đặcăđi mănhơnăcáchăc aăh căsinhăti uăh c

Tính cách của học sinh tiểu học được hình thành trong hoạt động học tập, lao động và hoạt động xã hội và cả trong hoạt động vui chơi tuổi này, các em thư ng

có khuynh hướng hành động ngay lập tức dưới ảnh hư ng của kích thích bên ngoài và

bên trong Do vậy mà hành vi của học sinh tiểu học dễ có tính tự phát, dễ vi phạm nội quy và thư ng bị xem là “vô kỉ luật”

Học sinh tiểu học thư ng có nhiều nét tính cách tốt như tính hồn nhiên, ham hiểu biết, lòng thương ngư i, lòng vị tha Hồn nhiên trong quan hệ với mọi ngư i, với thầy, cô, với ngư i lớn, với bạn bè Hồn nhiên nên trẻ em rất cả tin, tin vào thầy cô, tin vào sách, tin vào ngư i lớn và tin vào khả năng của bản thân Niềm tin của hoc sinh tiểu học còn cảm tính, chưa có lí trí soi sáng dẫn dắt Giáo viên nên tận dụng đặc tính này để giáo dục học sinh của mình, nhưng cần luôn nhớ rằng mọi điều đưa đến cho các

em cần phải đúng, phải chính xác, vì nếu không thì khi trẻ đã có niềm tin vào điều gì

đó, khi niềm tin được định hình, khắc sâu thì rất khó thay đổi cho dù điều đó là sai trái

Tính hay bắt chước là đặc điểm quan trọng của lứa tuổi tiểu học, tạo điều kiện thuận lợi để chúng ta giáo dục cho trẻ phát triển theo hướng tích cực

Nhu cầu nhận thức phát triển và thể hiện rõ nét, đặc biệt là nhu cầu tìm hiểu thế giới xung quanh, khát vọng hiểu biết mọi thứ có liên quan Trước hết là nhu cầu tìm hiểu những sự vật, hiện tượng riêng lẻ, tiếp đến là nhu cầu gắn liền với sự phát hiện nguyên nhân, tính quy luật, các mối quan hệ phụ thuộc giữa các hiện tượng Nhu cầu này có ý nghĩa đặc biệt đối với việc học của học sinh Vì vậy, giáo viên phải làm thế nào để kích thích được nhu cầu nhận thức của học sinh thì các em mới hoạt động tích cực chiếm lĩnh tri thức

Tình cảm của học sinh tiểu học được hình thành trong đ i sống và trong quá trình học tập của các em và được nảy sinh từ các tác động của những ngư i xung quanh, từ các sự vật, hiện tượng cụ thể, sinh động lứa tuổi này, tình cảm của các em

có một số điểm đặc trưng, đó là: “Dễ xúc động, khó kìm hãm xúc cảm của mình nhưng chưa bền vững, chưa sâu sắc” lứa tuổi học sinh tiểu học, nếu xúc cảm về một

sự kiện, hiện tượng, nhân vật nào đó được củng cố thư ng xuyên trong cuộc sống và thông qua các môn học, thông qua các hoạt động thì sẽ hình thành được tình cảm sâu đậm, bền vững Đó chính là lòng yêu kính Bác Hồ, yêu quý cha mẹ, thầy cô giáo

1.3.ăĐặcăđi mămônăToánă ăti uăh c

Môn Toán tiểu học không chia thành các phân môn như môn Tiếng Việt Chương trình bao gồm các tuyến kiến thức: số học, đại lượng và đo lư ng, một số yếu

tố hình học, giải toán có l i văn… Các tuyến kiến thức này không chia ra thành từng chương, từng phần riêng biệt mà được sắp xếp nhằm tạo ra sự gắn bó, hỗ trợ nhau được thể hiện trong từng bài, từng tiết học Trong chương trình toán đổi mới năm

2018, toán học tiểu học tập trung vào các nội dung sau với các mục tiêu cụ thể là:

- Số và phép tính: Số tự nhiên, phân số, số thập phân và các phép tính trên

những tập hợp số đó

- Hình học và Đo lư ng: Quan sát, nhận biết, mô tả hình dạng và đặc điểm (

mức độ trực quan) của một số hình phẳng và hình khối trong thực tiễn; tạo lập một số

mô hình hình học đơn giản; tính toán một số đại lượng hình học; phát triển trí tư ng tượng không gian; giải quyết một số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với Hình học và Đo

lư ng (với các đại lượng đo thông dụng)

- Thống kê và Xác suất: Một số yếu tố thống kê và xác suất đơn giản; giải quyết

một số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với một số yếu tố thống kê và xác suất

Trong đó, số học nói dung và phân số nói riêng vẫn luôn được coi là tuyến kiến thức trọng tâm, quan trọng trong chương trình toán bậc tiểu học Cùng với các môn học và hoạt động giáo dục khác như Đạo đức, Tự nhiên và xã hội, Hoạt động trải nghiệm,… góp phần giúp học sinh tiểu học có những hiểu biết ban đầu về một số nghề nghiệp trong xã hội

1.4.ăCh ăđ ăphơnăs ătrongăch ngătrìnhămônăToánă ăti uăh c

Phân số được đưa vào trong môn toán trư ng tiểu học chiếm tỉ trọng tương đối lớn, bao gồm: Hình thành biểu tượng, hình thành khái niệm, quan hệ so sánh, bốn phép tính cơ bản và tính chất của bốn phép tính trên phân số Phân số được dạy chính thức lớp 4, nhưng ngay từ khi dạy học toán lớp 2 và lớp 3 phân số đã được giới thiệu với học sinh Chẳng hạn, sau mỗi lần học bảng chia 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 học sinh được làm quen với các phân số 12 ; 1

3; … dựa trên các hình ảnh trực quan

Học sinh biết đọc tên các phân số đó là: “một phần hai”, “một phần ba”,… tuy

nhiên tên gọi của chúng là phân số, cũng như các thành phần tử số, mẫu số thì học sinh chưa được giới thiệu rõ Lớp 4, nội dung về phân số được chính thức giảng dạy Phân

số và các phép tính trên phân số là phần kiến thức trọng tâm của học kì II lớp 4

Phần phân số lớp 4 gồm hai nhóm bài:

Nhóm bài thứ nhất gồm các bài học, các bài luyện tập về:

+ Giới thiệu khái niệm ban đầu về phân số

+ Phân số và phép chia số tự nhiên

+ Phân số bằng nhau, tính chất cơ bản về phân số

+ Rút gọn phân số

+ So sánh hai phân số cùng mẫu số và so sánh hai phân số khác mẫu số

Nhóm bài thứ hai bao gồm các bài học và luyện tập liên quan đến các phép tính

về phân số và các tính chất trên phân số:

+ Phép cộng và phép trừ phân số ( trư ng hợp có cùng mẫu số và trư ng hợp khác mẫu số)

+ Phép nhân và phép chia phân số

+ Tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân

+ Tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng

Đầu học kì I lớp 5, học sinh được luyện tập lại các kiến thức về phân số, có bổ sung thêm về phân số thập phân, hỗn số để chuẩn bị cho dạy học số thập phân

1.5.ăM cătiêuăvƠăn iădungăd yăh căv ăphơnăs trongăch ngătrìnhătoán ti uăh c

1.5.1.ăM cătiêu d yăh căphơnăs ătrongăch ngătrìnhătoánăti uăh c

Mục tiêu của việc dạy học phân số trong chương trình toán tiểu học là cung cấp

cho học sinh những tri thức ban đầu về cách nhận biết khái niệm phân số, biết đọc và viết phân số, những tính chất cơ bản của phân số, biết cách rút gọn phân số và tìm ra phân số tối giản, biết cách quy đồng mẫu số và so sánh hai phân số cùng mẫu hoặc

khác mẫu số Bên cạnh đó, việc dạy học phân số trong chương trình toán tiểu học cũng nhằm hình thành cho học sinh kĩ năng thực hành bốn phép tính cơ bản với phân số và giải những bài tập có nhiều ứng dụng thiết thực trong thực tế và cuộc sống liên quan đến phân số Việc dạy học phân số bậc học này nhằm bước đầu phát triển năng lực

tư duy, khả năng trừu tượng hóa cho học sinh, gây hứng thú học toán, hình thành tính chủ động, linh hoạt, sáng tạo trong học toán cho các em

1.5.2.ăN iădung phơnăs ătrongăch ngătrìnhătoánăti uăh c

Nội dung phân số được chính thức dạy lớp 4, nhưng ngay từ lớp 2 và lớp 3 học sinh đã bước đầu được làm quen với phân số Qua việc nghiên cứu, tham khảo tài liệu[4],[6],[7], ta có thể khái quát nội dung dạy học phân số tiểu học như sau:

• Lớp 2 và lớp 3: Học sinh bước đầu làm quen với phân số thông qua hình ảnh trực quan Giai đoạn này học sinh chưa gọi đích danh phân số mà biểu đạt phân số bằng các phần bằng nhau của một đơn vị, rồi từng bước khái quát để hình thành sự tương ứng giữa phân số với các phần đơn vị trên hình vẽ

Bảng 1.1: Nội dung dạy học phân số lớp 2, lớp 3

- Thực hành so sánh các phần bằng nhau của đơn vị trên hình vẽ

- Thực hành xác định tổng các phần bằng nhau của đơn vị trên hình vẽ

 Lớp 4: Học kì II lớp 4, học sinh chính thức được học về phân số bao gồm Đến đây phân số được chính xác hóa bằng ngôn ngữ toán học từ kí hiệu, cách đọc, cách viết và các phép tính Cụ thể như sau:

Bảng 1.2: Nội dung dạy học phân số lớp 4

- Phép cộng, phép trừ hai phân số khác mẫu số

-Giới thiệu về tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng các phân số

- Giới thiệu quy tắc nhân phân số với phân số, nhân phân số với số tự nhiên trư ng hợp đơn giản

- Giới thiệu tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân các phân số Giới thiệu nhân một tổng 2 phân số với một phân số

- Giới thiệu quy tắc chia phân số cho phân số, chia phân số cho số

tự nhiên khác 0

 Lớp 5: Học sinh thực hành, vận dụng giải quyết một số tình huống trong thực tiễn Bổ sung hiểu biết cần thiết về phân số thập phân, hỗn số để làm nên tảng cho việc học số thập phân

Bảng 1.3: Nội dung dạy học phân số lớp 5

Sự sắp xếp hợp lí các nội dung dạy học chủ đề phân số qua từng khối lớp giúp học sinh dễ dàng nắm kiến thức Kiến thức đã học lớp dưới sẽ là tiền đề giúp học

sinh học tiếp những lớp cao hơn

1.6.ăThựcătr ngăvƠăkhóăkhĕnăc aăvi căh căphơnăs ăc aăh căsinhă ăti uăh c

1.6.1.ăThựcătr ngăchung c aăvi căh căphơnăs ăc aăh căsinhă ăti uăh c

Bắt đầu từ năm học 2005-2006 phân số được đưa xuống dạy lớp 4 Đây là nội dung tương đối khó và trừu tượng đối với HS lớp 4 khi các em mới bắt đầu học khái niệm phân số và phải kết hợp thực hành các phép tính trên phân số

Cấu trúc nội dung, chương trình sách giáo khoa mới của tiểu học nói chung, của lớp 4 nói riêng có những thay đổi so với nội dung, chương trình cũ Môn toán lớp 4 hiện nay, chương “Phân số - Các phép tính về phân số” đã được đưa vào dạy một cách đầy đủ Trước khi học phần phân số các em đã được học về dấu hiệu chia hết cho 2, 3,

5 và 9 Nhưng đến chương “Phân số” cùng với các tính chất và các phép toán của phân

số, đặc biệt là vận dụng các phép toán để giải các bài toán liên quan đến bốn phép tính

về phân số, các bài toán có l i văn liên quan đến phân số thì học sinh còn gặp nhiều khó khăn Sau khi hình thành quy tắc đối với mỗi phép tính ( phần lý thuyết) các em đều có khả năng thực hành các phép tính theo các quy tắc đã học Tuy nhiên khi học đến các phép tính về sau học sinh rất dễ nhầm lẫn sang phép tính trước mới học và những sai lầm này nên phổ biến nhiều học sinh

1.6.2 ăKhóăkhĕn c aăvi căh căphơnăs ăc aăh căsinhă ăti uăh c

Trong những kiến thức toán dạy bậc tiểu học, phân số được xem như một chướng ngại lớn đối với học sinh bậc học này Để chứng tỏ việc dạy học phân số đang đặt ra nhiều vấn đề cần xem xét, nhóm các nhà nghiên cứu Đại học Libre- Bruxelles (2009) đã phân tích kết quả thu được qua các kì đánh giá học sinh giai đoạn

1994 - 2004 trong cộng đồng nói tiếng Pháp Bỉ Chúng tôi trích dưới đây vài kết quả minh họa cho việc hiểu và sử dụng khái niệm phân số:

sử dụng để biểu diễn trên hình

vẽ này 201 Kích thước trên thực tế của mặt nhà này là bao nhiêu? (đừng quên chỉ rõ đơn

vị đo)

(Carette V và các tác giả, 2009, tr 9-11) Tác giả còn đưa ra nhiều kết quả nghiên cứu khác để minh họa cho khó khăn của học sinh khi học khái niệm phân số và nhận xét :

“ để làm chủ các kiến thức cơ bản về phân số, học sinh thuộc cộng đồng

nói tiếng Pháp có nhiều khó khăn Kết quả này cũng tương tự với những gì quan sát được một số nước khác, chẳng hạn như Pháp (Bolon 1997), Mĩ (Behr, Lesh, Poste & Silver, 1983) hay Cộng hòa Síp (Charalambou, 2007).”

(Carette V và các tác giả, 2009, tr 8)

Thực tế giảng dạy Việt Nam cho thấy học sinh tiểu học cũng gặp những khó khăn tương tự Chẳng hạn, nhiều học sinh cho rằng 23 = 4

5 (cộng 2 vào tử và mẫu

của phân số thứ nhất) thay vì 23 = 46 (nhân 2 vào tử và mẫu của phân số thứ nhất) Quy tắc cộng, trừ phân sốcũng được nhiều em thực hiện theo kiểu ba + c

d =

a+cb+d… Như vậy,

rõ ràng là học sinh nhiều nước có những khó khăn chung trong việc hiểu khái niệm phân số, thực hiện các quy tắc tính toán và sau đó sử dụng vào việc giải quyết những vấn đề của toán học hay ngoài toán học

1.7 Ti uăk tăch ngă1

Trong chương này, chúng tôi đã đề cập đến lịch sử của vấn đề nghiên cứu, đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học, nội dung chủ đề phân số tiểu học, thực trạng

và khó khăn của học sinh tiểu học khi học chủ đề này Chúng tôi sẽ đề cập đến nội dung kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình về phân số chương tiếp theo

CH NGă2

KI N TH C QUY TRÌNH VÀ KI N TH C KHÁI NI M

V PHÂN S

2.1 Ki năth căquyătrình v ăphơnăs

2.1.1.ăKi năth căquyătrình

Gray và Tall (1993) đã đưa ra sự phân biệt giữa hai thuật ngữ “quy trình” và

“thủ tục” Theo đó, quy trình là đại diện cho một hoạt động toán học, còn thủ tục là các thuật toán để thực hiện một quy trình Một quy trình là một chuỗi các bước, các hoạt động được thực hiện để hoàn thành một mục tiêu Các quy trình được mô tả bằng cách

sử dụng các cấu trúc như kĩ năng, phương án, hoạt động bên trong (Byrnes & Wasik,

1991) Theo Canobi (2009), Rittle-Johnson và cộng sự (2001) thì kiến thức quy trình

là biết làm như thế nào hay kiến thức về các bước được yêu cầu để đạt được các mục tiêu khác nhau Các quy trình có thể là:

- Thuật toán – một dãy các hành động đã được xác định trước, nó sẽ dẫn đến câu trả l i đúng khi được thực hiện đúng, hoặc

- Những hành động có thể phải được tiếp nối nhau một cách phù hợp để giải quyết một vấn đề đã cho (ví dụ các bước giải phương trình)

Kiến thức quy trình được phát triển thông qua việc luyện tập giải các bài toán cho nên nó gắn chặt với các loại bài toán riêng biệt Hơn nữa, bản chất liên tiếp của quy trình có thể làm cho chúng hầu như tách r i các dạng kiến thức khác (Hiebert &

LeFevre, 1986) Kiến thức quy trình đôi khi cũng đòi hỏi một số điều kiện bổ sung Chẳng hạn như trong lĩnh vực giáo dục toán, John Anderson (1983) cho rằng kiến thức

quy trình là kiến thức mà con ngư i có thể bộc lộ rõ trong quá trình thực hiện hoạt động của mình, nó có thể được mô tả một cách tư ng minh Star (2005) cho rằng thuật ngữ kiến thức quy trình không chỉ biểu thị các bước hành động mà còn chứa đựng sự hiểu biết về con đư ng hình thành các bước đó Trong giải quyết vấn đề toán học, ngư i học thư ng biết và sử dụng các quy trình toán học nhưng đòi hỏi phải biết lựa chọn, phản ánh, sự sắp xếp các bước có ý thức

Hiebert và Lefevre (1986) định nghĩa thuật ngữ kiến thức quy trình chủ yếu là kiến thức về các quy trình: kiến thức về cú pháp, các bước, các công thức và các quy tắc cho các thao tác trên các biểu tượng Các bước trong quy trình có thể quản lý riêng biệt, nhiều hay ít không liên quan đến các bộ phận khác của nhiệm vụ Hiebert và Lefevre (1986) cũng cho rằng kiến thức quy trình cũng chứa các mối quan hệ mang tính chất tuần tự, nghĩa là một bước trong một quy trình được kết nối với các bước tiếp theo Theo định nghĩa này, kiến thức về quy trình là đơn giản, không chứa đựng các

kết nối phong phú Các định nghĩa của Hiebert và Lefevre (1986) có rất nhiều ảnh

hư ng trong giáo dục toán để tìm hiểu kiến thức về toán học của học sinh

Haapasalo và Kadijevich (2000) đã đưa ra những đặc trưng của kiến thức quy trình Theo các nhà nghiên cứu này, kiến thức quy trình biểu thị cách thức thực hiện các thuật toán, quy trình cụ thể Điều này thư ng đòi hỏi không chỉ kiến thức của các đối tượng toán học được sử dụng mà còn kiến thức về định dạng và cú pháp cần thiết

để biểu diễn chúng Nhìn chung, hầu hết các nhà nghiên cứu đều nhất trí rằng kiến thức quy trình là khả năng thực hiện một chuỗi các hành động để giải quyết vấn đề

2.1.2 Cácăki uăki năth căquyătrìnhăv ăphơnăs

2.1.2.1 Quy trình về hai cộng phân số

a Cộng hai phân số cùng mẫu

Ví dụ: Có một băng giấy, bạn Nam tô màu 38 băng giấy, sau đó Nam tô màu tiếp 28

băng giấy Hỏi bạn Nam đã tô màu bao nhiêu phần của băng giấy?

8

Nh năxét: hai phân số 38 và 28có mẫu số giống nhau và có tử số khác nhau

Kết quả phép cộng hai phân số có cùng mẫu số là một phân số có tử số là tổng tử số của hai phân số, mẫu số chính là mẫu số chung

Từ đây ta rút ra quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu số như sau: muốn cộng hai phân

số cùng mẫu số ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số

b Cộng hai phân số khác mẫu số

Ví dụ: Có một băng giấy màu, bạn Hà lấy 12 băng giấy, bạn An lấy 13 băng giấy Hỏi

cả hai bạn đã lấy bao nhiêu phần của băng giấy màu?

Qui đồng mẫu số hai phân số:

Sau khi qui đồng, hai phân số là 12 và 1

3 sẽ lần lượt tr thành hai phân số 36 và 2

Lúc này, việc tính tổng hai phân số 36 và 26 tr nên dễ dàng hơn vì chúng có cùng mẫu số

2.1.2.2 Quy trình trừ hai phân số

a Phép trừ hai phân số cùng mẫu

Khi giới thiệu phép trừ hai phân số cùng mẫu, chương trình sách giáo khoa toán tiểu học đưa ra ví dụ như sau:

Ví dụ: Từ 56băng giấy màu, lấy 36băng giấy màu để cắt chữ Hỏi còn bao nhiêu phần của băng giấy?

Từ 5 phần (56băng giấy), lấy đi 3 phần (36băng giấy) Như vậy, còn lại 2 phần ( tức

Từ đây, rút ra quy tắc trừ hai phân số cùng mẫu số như sau: muốn trừ hai phân số cùng mẫu số, ta trừ tử số của phân số thứ nhất cho mẫu số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số

b Phép trừ hai phân số khác mẫu số

Ví dụ: Một cửa hàng có 45 tấn đư ng, cửa hàng đã bán được 23tấn đư ng Hỏi cửa

hàng còn lại bao nhiêu phần của tấn đư ng?

Muốn biết cửa hàng còn lại bao nhiêu phần của tấn đư ng ta phải thực hiện phép trừ: 45 - 2

Sau khi qui đồng, hai phân số 45 và 23 sẽ lần lượt tr thành hai phân số 1215 và 1015

vì phân số 45 và 12

15 là hai phân số tương đương, phân số 23 và 10

15 là những phân số tương đương Chính vì vậy, hiệu của hai phân số 45 và 2

3 bằng hiệu của hai phân số 1215 và 10

2.1.2.3 Quy trình nhân hai phân số

Ví dụ: Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài 45m và chiều rộng 23 m

Để tính diện tích hình chữ nhật trên ta phải thực hiện phép nhân: 45 x 23

Xuất phát từ cơ s định nghĩa phép nhân hai số hữu tỉ không âm Ta xây dựng qui tắc nhân hai phân số: 45 và 2

3 là hai đại diện của hai số hữu tỉ không âm Tích của hai phân

số này là một số hữu tỉ không âm có phân số đại diện là: 4 x 25 x 3

Tính diện tích hình chữ nhật dựa vào hình vẽ trên:

Nhìn hình vẽ ta thấy: hình vuông có diện tích 1 m2 và gồm 15 ô, mỗi ô có diện tích bằng 151 m2

Hình chữ nhật (phần tô màu) chiếm 8 ô

Từ đó học sinh rút ra qui tắc nhân hai phân số như sau: muốn nhân hai phân số

ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số

2.1.2.4 Quy trình chia hai phân số

Ví dụ: Hình chữ nhật ABCD có diện tích 75 m2, chiều rộng là 23 m2 Tính chiều dài của hình đó

Để tính chiều dài hình chữ nhật trên ta phải thực hiện phép chia: 75 : 2

3

Xuất phát từ định lí về phép chia hai số hữu tỉ không âm và định lí về phần tử nghịch đảo

Ta xây dựng qui tắc chia hai phân số: 75 và 2

3 là hai đại diện của hai số hữu tỉ không âm Gọi y là chiều dài của hình chữ nhật

Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật, ta có: y x 23 = 7

5

Vì 23 x 32 = 1 nên 32là phần tử nghịch đảo của 23

Biểu thức trên có thể viết lại như sau:

chỉ được thừa nhận: để thực hiện phép chia phân số ta làm như sau: lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược

Phân số đảo ngược trong qui tắc trên chính là phần tử nghịch đảo của số hữu tỉ

không âm

2.1.2.5 Quy trình so sánh hai phân số

a So sánh hai phân số cùng mẫu số

So sánh hai phân số cùng mẫu số, sách giáo khoa Toán 4 trang 119 đã đưa ra ví dụ như sau: So sánh hai phân số 25 và 3

Trong hai phân số cùng mẫu số:

 Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn

 Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn

 Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau

b So sánh hai phân số khác mẫu số

So sánh hai phân số cùng mẫu số, sách giáo khoa Toán 4 trang 121 đã đưa ra ví dụ như sau: So sánh hai phân số: 23 và 34

Để so sánh hai phân số này, sách giáo khoa đưa về hình ảnh trực quan về hai băng giấy: Lấy hai băng giấy như nhau Chia băng giấy thứ nhất thành 3 phần bằng nhau, lấy 2

55

phần, tức là lấy 23 băng giấy Chia băng giấy thứ 2 thành 4 phần bằng nhau, lấy 3 phần, tức

2.2.ăKi năth căkháiăni măv ăphơnăs

2.2.1.ăKi năth căkháiăni m

Theo từ điển Webster (Merriam-Webster’s Collegiate Dictionary, 2012), một

khái niệm là một ý tư ng trừu tượng hoặc tổng quát được khái quát hóa từ nhiều trư ng hợp riêng Kiến thức khái niệm thư ng không gắn liền với một loại vấn đề cụ thể nào Nó có thể rõ ràng hoặc tiềm ẩn và do đó không được diễn đạt thành l i

(Goldin Meadow, Alibali & Church, 1993) Một số nhà nghiên cứu giáo dục toán khác thì có quan điểm với nhiều ràng buộc hơn: thuật ngữ kiến thức khái niệm bao gồm không chỉ là biết cái gì mà còn là cách mà khái niệm được biết một cách sâu sắc cùng với các liên kết đa dạng (Star, 2005) Sau khi phỏng vấn một số nhà nghiên cứu giáo dục toán, Baroody và cộng sự (2007) đề xuất rằng: kiến thức khái niệm nên được định

nghĩa là kiến thức về những sự kiện, những sự khái quát hóa và những nguyên tắc mà không đòi hỏi kiến thức phải được kết nối một cách đa dạng Haapasalo và Kadijevich

(2000) đã đưa ra các đặc trưng cho kiến thức khái niệm Theo các nhà nghiên cứu này kiến thức khái niệm biểu thị kiến thức về khả năng kết nối và vận dụng khéo léo các yếu tố trong các mạng lưới riêng biệt, các yếu tố trong mạng này có thể là các khái niệm, quy tắc, thuật toán, quy trình… và thậm chí cả các vấn đề được đưa ra với những hình thức biểu diễn khác nhau

Kiến thức khái niệm là cái gì đó rất giàu các mối quan hệ và trong đó các mối quan hệ liên kết quan trọng như là mỗi phần của thông tin (Hiebert & Lefevre, 1986) Kiến thức khái niệm cũng bao gồm việc nhận ra mối quan hệ giữa hai mẫu thông tin riêng biệt Ví dụ trong trư ng hợp phân số, học sinh nhận ra được phân số dưới các cách tiếp cận khác nhau, tuy nhiên cái nhìn sâu sắc hơn là việc nhận ra các cách tiếp cận khác nhau là các hình thức đại diện của phân số Đây cũng là một trong những đặc điểm của kiến thức khái niệm Sự liên kết giữa các biểu diễn toán học khác nhau là cốt lõi của kiến thức khái niệm Giống như nhiều khái niệm toán học, các phân số có thể được biểu thị b i các mô hình biểu diễn khác nhau, chẳng hạn như mô hình diện tích,

mô hình bộ phận và toàn thể, mô hình thiết lập, mô hình trục số Các hình thức biểu diễn khác nhau có thể đại diện cho cùng một đối tượng Tuy nhiên, mức độ trừu tượng hay chi tiết các hình thức đại diện khác nhau cũng khác nhau Do đó khả năng để thực hiện các hoạt động có thể phụ thuộc vào các biểu diễn của chúng Các nhà nghiên cứu cho rằng khả năng toán học không tốt là do sự vắng mặt của kết nối giữa kiến thức quy trình và khái niệm

2.2.2 Cácăcáchăti păc năkháiăni m phơnăs

2.2.2.1 Phân số xuất hiện từ mối liên hệ giữa cái bộ phận và cái toàn thể

Khi so sánh một bộ phận của một tập hợp với toàn bộ tập hợp đó ngư i ta dùng khái niệm phân số Như vậy, khái niệm phân số được đưa ra như là một phần của một nhóm các đối tượng Các đối tượng có thể giống nhau hoặc không giống nhau

Phân số ab có mẫu số b chỉ đối tượng của cả tập hợp, tử số a chỉ số đối tượng được quan tâm trong tập hợp đó

Mối quan hệ này cũng có thể được xây dựng như sau: số biểu thị của một cặp

số tự nhiên (a,b), trong đó b là chỉ số phần bằng nhau của một đơn vị và a là chỉ số phần bằng nhau lấy ra ( nếu a = 1 sẽ xuất hiện phân số đơn vị 1b; lớn hơn 1 và bé hơn

b thì xuất hiện phân số ab), được gọi là phân số Số đó được biểu thị dưới dạng ba

Định nghĩa này diễn đạt nguyên tắc:

2.2.2.2 Phân số xuất hiện từ phép chia hai số tự nhiên

Trong tập hợp số tự nhiên, phép chia không phải lúc nào cũng thực hiện được

Để phép chia luôn thực hiện được, cần dạng số mới – Đó là phân số Phân số biểu diễn thương đúng của các số tự nhiên (với số chia khác 0)

Cho hai số tự nhiên a và b khác 0 Phép chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b được viết dưới dạng ba(trong đó a là số bị chia, b là số chia), ba được gọi là phân số

Ta có thể biểu diễn như sau: a : b = ab

Trong phép chia có dư a : b, a có thể lớn hơn b, thương tìm được là một số lớn hơn 1 Lúc đó phân số ab sẽ lớn hơn 1 Ngược lại, a có thể bé hơn b, thương tìm được

là một số lớn hơn 1 Lúc đó phân số ba sẽ bé hơn 1

Như vậy, căn cứ vào so sánh giữa số bị chia và số chia trong phép chia hai số tự

nhiên, chúng ta còn biết được phân số lớn hơn hay bé hơn 1 Sự xuất hiện của phân số

đã đáp ứng nhu cầu giải quyết vấn đề: mọi phép chia số tự nhiên đều tìm ra được kết quả hoặc là số tự nhiên, hoặc là phân số Phân số là một loại số, các số tự nhiên được coi là phân số có tử số bằng số tự nhiên đó, mẫu số bằng 1 Như vậy, tập hợp phân số rộng hơn tập hợp số tự nhiên vì ngoài các số tự nhiên nó còn có các số không thể viết dưới dạng số tự nhiên Phân số abcó tử số a và mẫu số b đều là số tự nhiên nên ta coi mỗi phân số được xây dựng từ hai số tự nhiên Nhưng chỉ liên kết cả số a và b bằng

phép chia (được kí hiệu bằng vạch ngang trong kí hiệu ba) mới thành phân số

Xuất phát từ nhu cầu của bản thân, Toán học cung cấp một công cụ để biểu diễn thương (đúng) của phép chia hai số tự nhiên bất kì (số chia khác 0) và coi số hữu tỉ là thương nói trên

2.2.2.3 Phân số xuất hiện từ phép đo đại lượng

Trong thực tế, tập hợp số tự nhiên không đủ để biểu diễn số đo đại lượng trong

đ i sống thực tiễn, ngư i ta phải dung một loại số mới – đó là phân số Đây có thể coi

là bước một trong hình thành khái niệm phân số cho học sinh tiểu học (tương ứng với

việc hình thành khái niệm phân số theo th i kì đầu trong lịch sử phát triển khái niệm phân số)

2.2.2.4 Phân số xuất hiện qua so sánh tỉ số của các đại lượng

Khi so sánh hai đại lượng (cùng loại hay khác loại), gấp hoặc kém nhau bao nhiêu lần, ngư i ta dùng đến khái niệm phân số Phân số được coi như là một cặp số -

kí hiệu biểu diễn các số hữu tỉ Mỗi số hữu tỉ không âm là một lớp các phân số bằng

nhau

Như vậy, tỉ số của hai đại lượng có thể là một số tự nhiên hay một phân số Trong chương trình Toán phổ thông còn gặp những tỉ số không phải là số tự nhiên hay phân số Ví dụ: Tỉ số giữa chu vi đư ng tròn và đư ng kính của nó Khái niệm tỉ số diễn đạt quan hệ so sánh giữa hai đại lượng cùng loại khi chúng được đo cùng một đơn

vị Các đại lượng thư ng gặp trong thực tiễn là những đại lượng đo được Các tập hợp

số dung trong việc đo các đại lượng đó phải có cùng cấu trúc với đại lượng được đo Các tập hợp số trong chương trình Toán tiểu học (phân số, số tự nhiên) đều có cấu trúc cộng (một số có thể phân tích được thành tổng của nhiều số hạng) và cấu trúc nhân (một số có thể phân tích được thành tổng của nhiều số hạng bằng nhau hay tích của một số với số tự nhiên) Do đó, có thể so sánh hai số về mặt cấu trúc cộng (hơn kém nhau bao nhiêu đơn vị) hay về mặt cấu trúc nhân (hơn kém nhau bao nhiêu lần)

Trong môn Toán tiểu học, học sinh mới được học đến tập các phân số (không âm) Số đo các đại lượng được viết dưới dạng phân số, số thập phân hoặc số tự nhiên Giả sử hai đại lượng cần được so sánh kí hiệu là a và b Tỉ số của a và b được kí hiệu

là a

b Khi đó sẽ xảy ra hai trư ng hợp:

- Nếu a chứa đúng n lần b, do phép so sánh này không phụ thuộc vào đơn vị nên

2.2.2.5 Đưa khái niệm phân số vào dạy học ở tiểu học - cách mô tả khái niệm phân số ở tiểu học

 Phân số a b là kết quả của phép chia hai số tự nhiên, trong đó a là số bị chia, b là số chia và b khác 0

Đầu tiên, sách giáo khoa đưa ra một ví dụ về phép chia hết của hai số tự nhiên:

Ví dụ a (sách giáo khoa, Toán 4, trang 108): Có 8 quả cam, chia đều cho 4 em Hỏi mỗi em được bao nhiêu quả?

Mỗi em được 8 : 4 = 2 (quả cam)

Ta thực hiện phép chia: lấy tổng số cam chia cho tổng số ngư i

Trong ví dụ này, 8 và 4 là hai số tự nhiên Kết quả của phép chia 8 cho 4 là 2 Nghĩa là phép chia số tự nhiên 8 cho số tự nhiên 4 luôn thực hiện được Thương tìm được cũng là một số tự nhiên, nên chưa cần một loại số mới để biểu diễn

Ví dụ b (sách giáo khoa, Toán 4, trang 108): Có 3 cái bánh, chia đều cho 4 em Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần của cái bánh?

Chia đều bánh cho 4 em Tương tự như ví dụ a, ta cũng thực hiện phép chia: lấy tổng số bánh chia cho tổng số ngư i

Nhận xét: Tổng số bánh là 3, tổng số ngư i là 4; 3 chia 4 dều là hai số tự nhiên,

3 < 4

Với kiến thức học sinh đã học thì số bị chia phải nhỏ hơn số chia, khi thực hiện

phép chia hai số tự nhiên, phải tìm được thương là một số tự nhiên

Đối với ví dụ b, các em phải gặp tình huống có vấn đề là số bị chia không chia hết cho số chia (phép chia có dư)

Vậy, làm thế nào để chia 3 cho 4 (3 cái bánh chia đều cho 4 ngư i) ?

Hay nói cách khác, làm thế nào để tìm được thương đúng của phép chia 3 cho 4? Sách giáo khoa Toán 4 đã mô tả rất cụ thể các thao tác để giải bài toán trên:

- Chia mỗi cái bánh thành 4 phần bằng nhau, rồi chia cho mỗi em một phần tức

là 1

4cái bánh (một phần mấy của một số các em đã được học lớp 3)

- Sau 3 lần chia bánh như thế (ứng với 3 cái bánh) mỗi em được 3 phần và nói: mỗi em được 43 cái bánh

Lúc này thương của phép chia 3 cho 4 ta biểu diễn như sau: 3 : 4 = 34

3

4 không phải là số tự nhiên, nó là số biểu diễn thương đúng của phép chia hai

số tự nhiên 3 cho 4 khi không có số tự nhiên nào biểu diễn chính xác thương của

chúng, 3

4 là một loại số mới, được gọi là phân số

Từ ví dụ này, học sinh hiểu thêm rằng: ngoài số tự nhiên còn có một loại số mới Loại số này m rộng them tập hợp số mà học sinh từng được biết Sau khi đưa ra hai ví dụ là hai bài toán (liên quan đến phép chia hết và phép chia có dư của các số tự nhiên và các cách giải quyết đối với từng bài toán), sách giáo khoa Toán 4 đưa ra nhận

xét: Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là so chia Như vậy, khi đã làm xuất hiện dạng số mới – phân số (từ mâu thuẫn khi tìm thương đúng của phép chia hai số tự nhiên có dư), thì nhận xét cũng khẳng định rằng: không chỉ thương của phép chia hai số tự nhiên có dư mới gọi là phân số mà phân số còn được biểu diễn được cả thương của phép chia hết (giữa hai số tự nhiên), với điều kiện số chia phải là số tự nhiên khác 0

ví dụ a: có thể biểu diễn kết quả của phép chia 8 (quả cam) cho 4 (em) như

sau: 8 : 4 = 8

4 ,

8

4 là phân số biểu diễn thương đúng của phép chia hết (trong tập hợp số tự

nhiên) Trong trư ng hợp này, số bị chia lớn hơn số chia (hay tử số lớn hơn mẫu số)

Để học sinh thấy được tập hợp phân số được m rộng từ tập hợp số tự nhiên, thông qua ví dụ cụ thể: 9 = 91 , 4 = 4

1 , …

bài tập 3 (Toán 4, trang 106) có đưa ra một nhận xét: Mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử số là số tự nhiên và mẫu số bằng 1

Như vậy, mọi số tự nhiên đều là phân số Tập hợp phân số bao gồm số tự nhiên

và những số không phải là số tự nhiên

Cấu tạo của phân số trong trư ng hợp xuất hiện từ phép chia hai số tự nhiên là:

Tử số là số bị chia, mẫu số là số chia Có 3 trư ng hợp:

* Trư ng hợp số bị chia bé hơn số chia:

Theo ví dụ b đã nêu trên ta có: 3 : 4 = 34 ; 3 < 4

* Trư ng hợp số bị chia và số chia bằng nhau:

Ví dụ: 4 : 4 = 44 , 9 : 9 = 9

9, … thì thương của chúng cũng có thể biểu diễn bằng một phân số với tử số bằng mẫu số

* Trư ng hợp số bị chia lớn hơn số chia:

Sách giáo khoa Toán 4 đã đưa ra phân tích ví dụ cụ thể như sau: Chia 5 quả

cam cho 4 ngư i Tìm phần cam của mỗi ngư i?

Phân tích ví dụ: Chia mỗi quả cam thành 4 phân bằng nhau Lần lượt đưa cho mỗi ngư i một phần (14của từng quả cam) Sau 5 lần chia như thế, mỗi ngư i được 5 lần hay 54quả cam

Như vậy: 5 và 4 là hai số tự nhiên, 5 > 4, kết quả của phép chia số tự nhiên 5 cho số tự nhiên 4 được viết dưới dạng phân số: 5 : 4 = 54

Học sinh có thể thêm khái niệm mới về phân số, đó là:

- Phân số bé hơn 1: Giáo viên giảng: 34 quả cam tức là thiếu 14quả nữa mới đủ một quả nên 34quả cam sẽ ít hơn 1 quả Nghĩa là phân số 34 nhỏ hơn đơn vị là 1 Mà 34

có tử số bé hơn mẫu số nên ta có thể kết luận: Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì

phân số đó nhỏ hơn 1

- Phân số bằng 1: Phân số có tử số bằng mẫu số thì phân số đó bằng 1

- Phân số lớn hơn 1: Giáo viên giảng: 54 quả cam gồm 1 quả cam và 14quả cam,

thì 5

4quả cam sẽ nhiều hơn 1 quả cam Nghĩa là phân số 54lớn hơn đơn vị là 1 Mà phân số 54có tử số lớn hơn mẫu số nên ta có thể kết luận: Phân số có tử số lớn hơn mẫu

số thì phân số đó lớn hơn 1

 Phân số a bcó mẫu số b chỉ số đối tượng của cả tập hợp, tử số a chỉ số đối tượng quan tâm trong tập hợp đó

Xuất phát từ cơ s lí thuyết tập hợp, phân số được đưa vào chương trình tiểu học với cách miêu tả qua ví dụ sau:

Ví dụ a: Chia hình tròn thành 6 phân bằng nhau, tô màu 5 phần Ta nói đã tô màu 5 phần 6 hình tròn

Ta viết: 56 đọc là năm phần sáu Ta gọi 56 là phân số

Phân tích ví dụ a trong sách giáo khoa Toán 4 (trang 106) chúng ta thấy: phân

số 56biểu diễn mối quan hệ giữa 5 phần hình tròn đã tô màu với tất cả 6 phần hình tròn Hình tròn chia làm 6 phần bằng nhau, 6 phần này là một tập hợp hoàn chỉnh vì chúng tạo thành một hình tròn Khi tô màu 5 phần còn một phần của hình tròn chưa được tô màu thì 5 phần tô màu này chỉ là một phần của tập hợp hoàn chỉnh (6 phần)

Nếu biểu diễn mối quan hệ giữa phần chưa tô màu của hình tròn với cả 6 phần của hình tròn, ta cũng có một phân số khác, đó là phân số 16 Trong đó, tử số là 1 cho

ta biết một phần chưa được tô màu, còn mẫu số là 6 cho biết hình tròn được chia thành

6 phần bằng nhau

Tập hợp hoàn chỉnh gồm một nhóm các đối tượng Nhóm đối tượng này có thể

giống nhau hoặc không giống nhau

a Trư ng hợp cả tập hợp gồm các đối tượng giống nhau như ví dụ a hoặc như

ví dụ sau đây:

Cái toàn thể bao gồm các đối tượng giống nhau riêng lẻ có sẵn:

Bốn trong 5 hình tròn được tô màu Ta nói bốn phần năm số hình tròn được tô màu Phân số chỉ số hình tròn đã được tô màu trong cả năm hình tròn được viết là 45

b Trư ng hợp gồm các đối tượng không giống nhau

Ví dụ: Khi biểu diễn mối quan hệ giữa số hình tam giác với tất cả các hình có trong tập hợp, cũng có thể viết được thành một phân số Ví dụ:

Ba trong năm hình là hình tam giác Ta nói: ba phần năm số hình là hình tam giác và viết: 35

Để hình thành khái niệm ban đầu về phân số, bước đầu liên quan đến hoạt động chia “cái toàn thể” thành b phần bằng nhau và tác động vào (lấy đi, tô màu, ăn, bán…)

a phần bằng nhau Ta có thể biểu diễn số phần lấy đi là ab Đây là loại số mới, kí hiệu

a trên b gọi là phân số, b là mẫu số, a là tử số Hai số tự nhiên a và b được liên kết chặt chẽ với nhau trong kí hiệu mới diễn tả phân số, nếu tách riêng, chúng không còn ý nghĩa gì nữa

Cấu tạo của phân số trong trư ng hợp xuất hiện từ mối quan hệ giữa cái toàn thể và cái bộ phận: mỗi phân số đều có tử số và mẫu số Tử số là số tự nhiên viết trên dấu gạch ngang Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới dấu gạch ngang Trong đó: mẫu số chỉ đối tượng của cả tập hợp; tử số chỉ số đối tượng được quan tâm trong tập hợp đó

 Phân số a b được coi như một cặp số tự nhiên, dùng để so sánh hai đại lượng (cùng loại, khác loại), gấp hoặc kém bao nhiêu lần

a Phân số ba được coi như một cặp số tự nhiên dùng để so sánh hai đại lượng khác loại