35-bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-co-huong-dan

Tính độ dài các đường trung tuyến của∆ABC c.. Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC d.. Tính độ dài đường cao nối từ các

Trang 1

35 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM

GIÁC - Toán lớp 10

Bài 1: Cho ∆ABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13

a Tính số đo các góc của∆ABC

b Tính độ dài các đường trung tuyến của∆ABC

c Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

d Tính độ dài đường cao nối từ các đỉnh của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

a Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

·

0

2 cos

12 13 15 2.13.15.cos

25

39

ACB

·

0

2 cos

13 12 15 2.12.15.cos

5

9

ABC

Ta có tổng 3 góc của một tam giác là 3600

· 180 50 7' 56 15' 73 38'0 0 0

BAC

Trang 2

b Ta có: 2 2 2 2 2 122 133 152 401

a

401

2

AM

Tương tự ta tính được:

569

161

b

c

m





+



c Để tính được diện tích một cách chính xác nhất ta sẽ áp dụng công thức Hê – rông

- Nửa chu vi tam giác ABC: 12 13 15 20

AB AC BC

- Diện tích tam giác ABC: S= p p AB p AC p BC( − ) ( − ) ( − ) =20 14

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC:

ABC

- Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC:

20 14

20

ABC ABC

S

p

d Ta có: 1 1 1

2 2.20 14 8 14

2 2.20 14 40 14

2 2.20 14 10 14

ABC a

ABC

b

ABC

c

S

h

BC

S

h

AC

S

h

AB











Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188

Trang 3

Bài 2: Cho ∆ABCcó AB = 6, AC = 8, ¶A=1200

a Tính diện tích ∆ABC

b Tính cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC

.sin 6.8.sin120 12 3

ABC

b Ta có:

µ

2 cos

6 8 2.6.8.cos120 148

2 37

BC

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

ABC

Bài 3: Cho ∆ABCcó AB = 8, AC = 10, BC = 13

a ∆ABC có góc tù hay không?

b Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

c Tính diện tích ∆ABC

a Dễ dàng kiểm tra được góc µA >900 Vậy tam giác ABC có 1 góc tù b+c Diện tích tam giác ABC tính theo công thức Hê – rông:

ABC

S = p p AB p AC p BC− − − với p là chu vi tam giác ABC

8 10 13 31

AC AB BC

8.10.13 13 40

ABC

AB AC BC

S

Bài 4: Cho ∆ABCcó µA=60 ,0 Bµ =45 ,0 AC=2 Tính độ dài cạnh AB, BC bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và diện tích tam giác ABC

HS tự giải

Bài 5: Cho ∆ABC AC = 7, AB = 5 và cos 3

5

A= tính BC, S, h a, R

HS: Tự giải

Bài 6: Cho ∆ABC có m b =4,m c =2và a = 3 tính độ dài cạnh AB, AC

HS: Tự giải

Bài 7: Cho ∆ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S =3 3 Tính cạnh BC

HS: Tự giải

Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC biết AB = 2, AC = 3,

Trang 4

BC = 4

HS: Tự giải

Bài 9: Tính µA của ∆ABC có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức

b b −a =c a −c

HS: Tự giải

Bài 10: Cho ∆ABC CMR

a tan 22 22 22

tan

+ −

= + −

4 sin

C

−

c S = 2R2 sin sin sinA B C

2

S = uuur uuurAB AC − uuuruuurAB AC

e a b= cosC c+ cosB

f sin A 2 p p a p b p c( ) ( ) ( )

bc

HS Tự giải

Bài 11: Gọi G là trọng tâm ∆ABC và M là điểm tùy ý CMR

a MA2 +MB2 +MC2 =GA2 +GB2 +GC2 + 3GM2

b 4(m a2 +m b2 +m c2) (= 3 a2 + +b2 c2)

HS Tự giải

Bài 12: Cho ∆ABC có b + c =2a CMR

a sinB+sinC=2sinA

b 2 1 1

h =h +h

HS Tự giải

Bài 13: Cho ∆ABC biết A(4 3, 1 ,− ) B( )0,3 ,C(8 3,3)

a Tính các cạnh và các góc còn lại của ∆ABC

b Tính chu vi và diện tích ∆ABC

HS Tự giải

Bài 14: Cho ∆ABC biết a=40, 6;Bµ =36 20',0 Cµ =730 Tính µA, cạnh b, c của tam giác đó

HS Tự giải

Bài 15: Cho ∆ABC biết a= 42, 4m; b= 36, 6m; Cµ =33 10 '0 Tính µ µA B, và cạnh c

HS Tự giải

Bài 16: Để lắp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phái tránh 1

ngọn núi , do đó người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km Biết góc tạo bời Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188

Trang 5

2 đoạn dây AC và CB là 75 0 Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thêm bao nhiêu m dây?

HS Tự giải

BÀi 17: 2 vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C

ở bên kia bờ sông Biết CAB· =87 ,0 CBA· =620 Hãy tính khoảng cách AC

và BC

HS Tự giải

Bài 18 Cho tam giác ABC có BC = a, µA=α và hai đường trung tuyến

BM, CN vuông góc với nhau Tính S∆ABC

Hướng dẫn giải:

Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc

với nhau thì

2

a

Mặt khác a2 =b2 + −c2 2 cosbc A

5 2 cos

cos cos

2

1

2

ABC

Bài 19 Cho tam giác ABC Gọi l l l A, ,B C lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C Chứng minh rằng

a 2 cos

2

A

l

b c

=

+

b cos2 cos2 cos 2 1 1 1

l + l + l = + +a b c

c 1 1 1 1 1 1

l + +l l > + +a b c

a Trước hết chứng minh công sin 2sin cos

α =

bằng sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có µA=2α thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên

1

sin

2

ABC

A

S∆ = bl

A

B

C

M N

A

B

C D

Trang 6

Mà 2 cos

2

b c

∆ = ∆ + ∆ ⇒ =

+

b cos2 1 1 1

A

b c

+

 

=  ÷= +

 

Tương tự cos2 1 1 ,cos 2 1 1

l = a+ c l = a+ b

cos cos cos 1 1 1

c Ta có cos2 cos2 cos2 1 1 1

l + l + l < + +l l l

Bài 20 Cho tam giác ABC Gọi m m m a, b, c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua A, B, C,

2

Chứng minh rằng

( ) ( ) ( )

3

4

Gọi D là điểm đối xứng của A qua

trọng tâm G Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành

3

S∆ =S∆ =S∆ =S∆ = S∆

Mà ∆GBD có ba cạnh 2 ,2 ,2

3m a 3m b 3m c

( ) ( ) ( )

2

3

 

( ) ( ) ( )

3 3

4

Bài 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có AB = a, BC =

b, CD = c, DA = d Chứng minh rằng SWABCD = (p a p b p c p d− )( − )( − )( − ) Với

2

a b c d

Do ABCD nội tiếp nên

A

B

C P

D G

B

C

A

D

a

b

c d

x

Trang 7

· ·

sinABC=sinADC

cosABC= −cosADC

( )

1

sin 2

ABCD ABC ADC

( ) 2

1

1 cos

Trong tam giác ABCcó 2 2 2

AC =a + −b ab B

Trong tam giác ADC có AC2 = +c2 d2 − 2cdcosD

cos

2( )

B

ab cd

+

1 cos 2

ABCD

1

ab cd

+

( )2 ( ) ( ) 2

1

4

= + − + − +  1 ( ) (2 ) (2 ) (2 )2

a b c d+ + − a b c d+ − + a b c d− + + − + + +a b c d

( )( )( )( )

ABCD

2

a b c d

Bài 22 Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng

2

Ta có ( )2

0

AB BC CA+ + =

uuur uuur uuur

AB BC CA AB BC BC CA AB CA

⇔ + + + uuur uuur+ uuur uuur+ uuur uuur

2

+ +

Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c là

a x= + +x b= x+ c x= − chứng minh rằng tam giác có một góc bằng 0

120

Điều kiện a, b, c là 3 cạnh của tam giác

2

1 0

x

 − >



 − + + > + +



Với x>1 thì a > b và a > c nên a là cạnh lớn nhất

2

Trang 8

Bài 24 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có

a cotA cotB cotC a2 b2 c2 R

abc

+ +

b sin ( )( )

2

bc

=

a Sử dụng định lí sin và cosin

b Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp

Ta có 1 sin = sin cos 1( )

ABC

Từ hình vẽ:

( ) tan ( ) tan (2)

ABC

S

p

∆

Từ (1) và (2) ( )2

( ) tan sin cos

ABC

p

∆ = − ( )( )( )

( )sin

2

bc p a p

( )( )

sin

2

bc

Bài 25 Tam giác ABC có tính chất gì khi 1( ) ( )

4

ABC

S∆ = a b c a c b+ − + −

Theo Hê rong

ABC

a b c a b c a b c a b c

S∆  + +  + −  − + − + + 

=  ÷ ÷ ÷ ÷

( ) (2 ) (2 ) ( ) ( ) ( )

(a b c a c b) ( ) (a b c) ( a b c) b2 c2 a2

⇒ + − + − = + + − + + ⇔ + = Tam giác ABC vuông tại A

Bài 26 Cho tam giác ABC Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn

ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Chứng minh rằng: 1

2

r

R ≤

,

4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 4p p a p b p c 4 p a p b p c

B

A

C O

Trang 9

Mà ( )( ) 2

p a p b− − ≤ − − =

2

p a p c− − ≤ − − =

2

p b p c− − ≤ − − =

( p a p b p c) ( ) ( ) abc8

2

r R

⇒ ≤

Bài 27 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

a 2 2 ( )

cos cos 1

cot cot sin sin 2

+

b 2( 3 3 3 )

3S≥ 2R sin A+ sin B+ sin C

c p< p a− + p b− + p c− ≤ 3p

d 2 1 ( 4 4 4)

16

S ≤ a + +b c

a BĐT

1 sin sin 2 sin sin

b 2( 3 3 3 )

3S≥ 2R sin A+ sin B+ sin C

2

3

2

R

c Từ ( )2 2 2 2

x y z+ + =x +y + +z xy+ yz+ zx

( )2 2 2 2

Nên x, y,z dương thì 2 2 2

x y z+ + > x +y +z áp dung vào CM + p a− + p b− + p c− > p a p b p c− + − + − = p

p a− + p b− + p c− ≤ p a p b p c− + − + − = p

d 2

( )( )( )

S = p p a p b p c− − −

a b c+ + a b c+ − a b c− + − + +a b c

Trang 10

( 2 2 2 2 2) 4 4 4

Bài 28 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

1

4

ABC

Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB

Xét các trường hợp

+ B là góc nhọn hay vuông,

+ B là góc tù

Bài 29 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng 2 2 2

a + + <b c ab+ bc+ ca

2

a b− < ⇔c a b− <c ⇔a + − <b c ab

Bài 30 Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p không đổi chỉ ra tam

giác có tổng lập phương các cạnh bé nhất

( )2 2 2 2

a b c+ + ≤ a + +b c

(a b c a) ( 3 b3 c3)

( ) ( )

4

a b c

+ +

Bài 31 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng 12 12 12 12

4

a +b +c ≤ r

2 2 2

( )

− − Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188

C

A

C’

B

C

A

C’

B

C’

C

Trang 11

Tương tự 2 2 2 2 2 2

,

b ≤b c a c ≤c a b

a +b +c ≤a b c +b c a +c a b

(a b c a b c) (1 ) (b c a b c a) (1 ) (c a b c a b) (1 )

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )

4 p b p c 4 p c p a 4 p a p b

( ) ( ) ( ) ( )

1

Bài 32 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

b c a a c b a b c+ + ≥

b 1 1 1 1

h +h +h =r

c 2 2 2

1

h +h +h >r

2

b c a c a b

b c a c a b+ − + − ≤ + − + + − =c

2

c a b a b c

c a b a b c+ − + − ≤ + − + + − =a

2

b c a b a c

b c a b a c+ − + − ≤ + − + + − =b

( ) ( )( ) ( ) ( ) 1

abc

a b c a c b b c a abc

a b c a c b b c a

+ − + − + −

b c a + a c b + a b c ≥ b c a a c b a b c =

b p 12(a b c) p 2a 2b 2c

h +h +h = r

c

Trang 12

2 2 2 2 2 2 2

2

p

Tương tự b2 2b c

c ≥ − , c2 2c a

a ≥ − Công lại ta có a2 b2 c2 a b c 2p

⇔ + + ≥ + + =

Bài 33 Cho tam giác ABC có sin 2B+ sin 2C= 2sin 2 A Chứng minh rằng 0

60

sin B+ sin C= 2sin A⇔b + =c 2a

0

1 2

A

+ + −

Bài 34 Cho tam giác ABC có a43+b43 =c43 Chứng minh rằng có một góc tù

3

a b c c a b  a b a b a b 

+ = ⇔ = + ÷ = + +  + ÷

4 4 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3

2

4 4 2 2 2 2

2 2

⇒ > + Mà

0

2

ab

+ −

Bài 35 Tam giác ABC có 2 2 2 2

36

2

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

36S 36 p a p b p c 36 p b p c p c p a p a p b

Ta có 2 (p b p c− )( − ≤ ) (2p b− + 2p c− =) a

( )( ) ( )( ) ( )( )

8

p b p c p c p a p a p b abc

Trang 13

( ) ( )

9

abc

a b c

+ +

Mà a2 + + ≥b2 c2 ab bc ca+ +

(a b c ab bc ca) ( ) 9abc

( )2 ( )2 ( )2

0

Vậy tam giác ABC có a2 + + =b2 c2 36r2 thì tam giác ABC đều

Xem tiếp tài liệu tại: https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-10

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	699,5 KB