LËp mét ph¬ng tr×nh b¹c hai víi hÖ sè nguyªn cã hai nghiÖm lµ:.. a..[r]
Trang 1Chuyên đề: Phơng trình bậc hai Phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
1 Cách giải:
ax2 + c = 0 x2 = c
a
x = ± c
a
nếu ac < 0 Nếu ac > 0 => pt VN
ax2 + bx = 0
x(ax + b) = 0
0
x b x a
ax2 = 0
x = 0
b Dạng đầy đủ: +) Tính a + c và so sánh với b.
* Nếu a + c = b ta có: a - b + c = 0 => x1 = -1; x2 = - c/a
* Nếu a + c = - b ta có: a + b + c = 0 => x1 = 1; x2 = c/a
* Nếu a + c ≠ b => xét b chia cho 2 Nếu b = 2m (m± € R) => tính ‘ Nếu b 2m => tính ±
Chú ý: Nếu a.c < 0 thì PTB2 luôn có hai nghiệm và đó là hai nghiệm trái dấu.
2 Hệ thức Vi-et Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm thì ta có:
S = x1 + x2 = - b/a; P = x1x2 = c/a Ngợc lại: nếu có hai số u, v thoả mãn: S = u + v; P = u.v thì u, v là hai nghiệm của phơng trình: X2 + SX + P = 0 (Tồn tại hai số u, v khi S2 – 4 P ≥ 0)
3 Bài tập.
Bài 1 Giải các phơng trình sau: (Không dùng máy tính; dùng công thức nghiệm)
a x2 + 3x - 4 = 0; b 12 1
0
x x (Thi vào 10/ 2000 – 2001).
c x2 + 7x - 17 = 0; (Thi vào 10/ 2001 – 2002)
d y2 – 8y - 1998 = 0; e x2 + 64 = 0 (Thi vào 10/ 1998 – 1999)
f 6x2 + x + 5 = 0; g y2 – 8y - 16 = 0; (06 – 07)
i 4x2 – x – 6 = 0 (07-08) k 1 2 3 11
0
3x 5x 15 (08 – 09)
Bài 2 Giải các phơng trình sau:
a 9(3t + 2)2 – 4(7 – 2t) = 0 (98 – 99); b (2x - 3)(3x - 2) = 0 (01 – 02)
c (x + 3)(2x – 5) = 6; d 2(x +3)2 + 5(x+3) + 3 = 0
Bài 3 Giải các phơng trình sau:
a 3x2 – 2x 3 - 3 = 0 b x2 – x(1 + 2) + 2 = 0
c x2 + x( 2 + 3) + 6 = 0 d x2 – 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0
e 3x2 – 19x – 22 = 0 f 5x2 – 17x + 12 = 0
Bài 4 Giải các phơng trình sau:
a 9x4 + 6x2 + 1 = 0 b 2x4 – 7x2 – 4 = 0
c x4 – 13x2 + 36 = 0 d x6 + 8x3 + 15 = 0
Bài 4 Giải các hệ phơng trình sau.
a
2
5 0
x y
b
2
x y
c
2
d
2 0
x y
x y
Bài 5 Lập một phơng trình bạc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:
a 1
5 và
3 7
Bài 6 Cho phơng trình x 2 + x 3 - 5 = 0 và gọi hai nghiệm của phơng trình là x 1 và x 2
Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a
x x
c x1 + x2 d x1 + x2
Trang 2e x1 - x2 f x1 - x2
Bài 7 Cho phơng trình x 2 + 5x - 1 = 0 (1) và gọi hai nghiệm của phơng trình là x 1 và x 2
Không giải phơng trình (1), hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng:
a - x1 và - x2 b x1 và x2 c 1/x1 và 1/x2
c 2x1 và 2x2 d x1x2 và x1 + x2 e x1x2 và x1 + x2
Bài 8 Cho phơng trình bậc hai: x2 - 2(m + 1) + m – 4 = 0 (1)
a Giải phơng trình (1) với m = 1
b CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
c Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m
Bài 9 Cho phơng trình : x2 – 2(m – 3)x – 2(m – 1) = 0 (1)
a CMR phơng trình luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi giá trị của m
b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x1 + x2
Bài 10 Cho phơng trình: x2 + 2x + k = 0 Tìm giá trị của k sao cho phơng trình:
a Vô nghiệm
b Có nghiệm duy nhất
c Có hai nghiệm phân biệt
d Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt, tìm k sao hai nghiệm thoả mãn:
d1 3x1 + 2x2 = 1; d2 x1 - x2 = 12; d3 x1 + x2 = 1
Bài 11 Không giải phơng trình, xác định dấu các nghiệm nếu có:
a 4x2 + 2x – 1 = 0 b 7x2 – 13 x + 2 = 0
c ( 2 + 3)x2 – (1 + 5)x + 1 - 5 = 0 d x2 – x + 1 = 0
Bài 12 Xác định số k để phơng trình:
a x2 – 3x + k = 0 có 2 nghiệm cùng dấu b x2 – 2kx + 2k – 3 = 0 có 2 nghiệm cùng dấu
c 3x2 – (k + 1)x + k = 0 có 2 nghiệm đối
2 – (k + 1)x + k = 0 có 2 nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Bài 13 Giải các phơng trình sau:
a (x2 + 2x)2 – 5(x2 + 2x) + 6 = 0 b x2 - x - 2 = 0
c x 5 = x - 7 d x2 + x2 3x 5 = 3x + 7
Bài 14 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 32 4
1
x x
(Thi vào 10 / 2000 – 2001)
Bài 15 Cho hai phơng trình: ax2 + bx + c = 0 và cx2 + bx + a = 0 (với a.c < 0)
Gọi ; là hai nghiệm dơng của hai phơng trình CMR: + ≥ 2
Bài 16 Cho Parabol (P): y = ax2 và đờng thẳng (d): y = mx - 3
a Biết (P) đi qua điểm A(2;8) Tìm a ?
b Với giá trị của a ở trên, tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
c Với giá trị của a ở trên, tìm m để (P) và (d) tiếp xúc nhau Xác định toạ độ tiếp điểm
Bài 17 Tìm hai số là nghịch đảo của nhau có tổng bằng 2,05.
Bài 18 Giải hệ phơng trình sau:
14
x y
xy
6
x y xy
4
x y