Trên ñây chỉ là các bước giải và khung ñiểm bắt buộc cho từng bước theo giới hạn chương trình ñến tuần 32 của lớp 9; yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận và biến ñổi hợp lí mới ñư[r]
Trang 1Phòng gd&đt đề thi học sinh giỏi năm học 2009 - 2010
Huyện tiền hải Môn : Toán 9
********** ( Thời gian làm bài 120 phút )
Bài 1 (3điểm ) Thực hiện phép tính :
1)
9
5
+ 45 ư 20 2) (7ư4 3).(4ư2 3)
3) 3 6 3+10 ư 3 6 3ư10
Bài 2 ( 4 điểm ) Cho phương trình : x2
ư 2( m + 1) x + m2 + 3 = 0 1) Giải phương trình với m = 1
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m-n x1 = x2 + 2 3) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m-n
1
1
x
+
2
1
x
< 1
Bài 3 (3 điểm ) Cho hệ phương trình : x my 2
mx 2y 1
(Với m là tham số) 1) Giải hệ phương trình với m = 2
2) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất ( x, y) mà x > 0 và y < 0
Bài 4 (2 điểm ) : Cho 3 số dương x, y, z thoả m-n xy+ yz + zx 1=
Chứng minh rằng : x2 y2 z2 1
x y+ + y z+ + z x+ ≥ 2
Bài 5 (7 điểm ) : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Tiếp tuyến kẻ từ điểm M thuộc nửa đường tròn cắt Ax và By lần lượt
ở E và F
1) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp
2) Biết AM cắt OE tại P; BM cắt OF tại Q Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao? 3) Kẻ MH ⊥ AB ( H thuộc AB) BE cắt MH và MA lần lượt ở K và I
Chứng minh MK = HK
4) Đường thẳng AK cắt BM tại N Chứng minh : IK NK 1
IB + NA = 2
Bài 6 (1 điểm ) : Cho tứ giác lồi có diện tích là 1 Lấy 4 điểm ở miền trong của tứ
giác cùng với 4 đỉnh được 8 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 8 điểm đ- cho có diện tích không vượt quá
10
1
- Hết -
Họ và tên thí sinh:. Số báo danh:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 HSG (2009-2010)
1 1
9
5
+ 45 - 20 =
3
1
5 + 3 5 - 2 5 = 4
1 2 (7 4 3).(4 2 3) − − = (2 − 3) ( 3 1) 2 − 2= 3 3 - 5 1
1 3 3 6 3+10 - 3 6 3 − 10) = 3 ( 3+1)3 - 3 ( 3−1)3 = 2 1
2 1 Với m = 1 ta có phương trình : x
2
– 4 x + 4 = 0⇔(x - 2)2 = 0 ⇔x
+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆/ > 0 ⇔2(m - 1) >
2 2
áp dụng Viét, tính m =
2
+ Từ
1
1
x
+
2
1
x
< 1 ⇒
2 1
2 1
x x
x
x +
< 1 ⇒ 2(m 1)2
+ + < 1
⇔ m2 + 3 > 2m +2 ⇔ (m - 1)2 > 0 ⇔ ∀m≠ 1
1
2 3
+ Kết hợp với ∆ / > 0 khi m > 1 Vậy ∀m > 1 thì phương trình
có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn
1
1
x +
2
1
3 1 Khi m =2 ta có : x 2y 22x 2y 1+ =
2x 2y 1
=
x 1 1 y 2
=
=
+ Giải và biện luận hệ có nghiệm duy nhất :x m 42
+
= + và
2
2m 1
y
−
=
1
4 m
2
3 2
Vậy các giá trị nguyên của m là : m = - 3 ; -2 ; - 1 ; 0 0.5
4
ðặt VT = P, ta có :
P + x y z
2
= ( x2
x y + + x y
4
+
) + ( y2
y z + + y z
4
+
) + ( z2
z x + + z x
4
+
)
Áp dụng bất ñẳng thức Côsi ta có :
2
x
4
+
≥
2
x 2
4 = x
2
y
4
+
≥
2
y 2
4 = y
2
z
z x + + z x
4
+
≥
2
z 2
4 = z
2
Trang 3Suy ra :P +x y z
2
x y z
2
Mà x +y +z ≥ xy + yz + xz ⇒
P ≥ xy yz xz
2
⇒ P ≥
2
1 (ðPCM) Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
3
5 1
+Tứ giác MPOQ là hình chữ nhật 0.5
5 2 + Chỉ ra tứ giác có 3 góc vuông
+ Ta có MH // FB ⇒
( vì EM = EA , FB = FM)
1
5 3
+ Ta lại có MH // EA ⇒
MK HK
⇒ =
1
+ Từ công thức tính diện tích tam giác S 1ah
2
= ⇒ Nếu hai tam giác có ñường cao bằng nhau thì tỷ số hai cạnh ñáy tương ứng
bằng tỷ số diện tích của hai tam giác
Từ ñó suy ra : IKM AIK IKM AIK KAM
IK
+
Chứng minh tương tự như trên : MKB
ABM
S NK
NA =S ; AKB
ABM
S HK
1
5 4
+ Cộng vế với vế ta có :
IK NK HK
1
+ +
1
IB NA 2
⇒ + =
1
6
Nối các ñiểm lại với nhau tạo thành các
tam giác ñôi một chỉ chung nhau nhiều
nhất một cạnh, phủ kín tứ giác
Tổng các góc trong của các tam giác là :
3600 + 4 3600= 5 3600 = 10 1800
Suy ra ta sẽ có 10 tam giác
Tổng diện tích 10 tam giác này bằng 1,
1
O
Q N
P I K
F
B H
M
E
A
Trang 4nên tồn tại tam giác có diện tích không vượt quá
10
1
1 Trên ñây chỉ là các bước giải và khung ñiểm bắt buộc cho từng bước theo giới hạn chương trình ñến tuần 32 của lớp 9; yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận
và biến ñổi hợp lí mới ñược công nhận cho ñiểm
2 Bài 5 phải có hình vẽ ñúng và phù hợp với lời giải của bài toán
3 Những cách giải khác ñúng vẫn cho ñiểm tối ña theo biểu ñiểm
4 Chấm từng phần ðiểm toàn bài là tổng các ñiểm thành phần không làm tròn