phòng giáo dục đào tạo thanh thủy đề thi học sinh năng khiếu lớp 8 thcs năm học 2009 – 2010 môn toán thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề đề thi có 01 trang c©u 1 2 ®ióm cho bióu thøc m

- Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách; khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp lôgic.. - Thí sinh làm bài cách kh[r]

PHềNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY

ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010

MễN: TOÁN

Thời gian: 150 phỳt khụng kể thời gian giao đề

Đề thi cú: 01 trang

Câu 1:(2 điểm): Cho biểu thức M =

1 1 2

a) Rút gọn biểu thức M

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M khi x > 1 ?

Câu 2:(2 điểm):

a) Phân tích đa thức thành nhân tử : x3  6x2  11x 6

b) Chứng minh rằng : N = x y x    2y x   3y x   4yy4 (với x,yZ)

là số chính phơng

Câu3:(2 điểm): Giải các phơng trình sau :

a) x 2007  x 2011 4 

b)

Câu 4:(3 điểm) :

Cho hình bình hành ABCD có AB = 6cm , AD = 4cm Các tia phân giác

của các góc của hình bình hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH

a) Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ? b) Tính độ dài các đờng chéo của tứ giác EFGH c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì thì tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất ?

Câu 5:(1 điểm): Cho a,b,c là độ dài các đoạn thẳng thỏa mãn :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

Chứng minh rằng a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác

…Hết

Họ và tờn thớ sinh:……… , SBD:………

Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm./.

Đề chớnh thức

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 THCS

NĂM HỌC 2009 – 2010

MÔN: TOÁN

(Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 04 trang)

I Một số chú ý khi chấm bài.

- Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách; khi chấm thi

giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp lôgic

- Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.

II Đáp án và biểu điểm.

C©u 1:(2 ®iÓm): Cho biÓu thøc M =

1 1 2

a) Rót gän biÓu thøc M

b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M khi x > 1 ?

+ Ta có M =

2 2

0.25 =

2

( 1) ( 1)

    

= ( 1) (2 1)

( 1) 1

= 2

1

x

x  ( víi x0 &x1)

0.25

+ Ta có M = 2

1

x

1

1

x x

   

+ VËy M  4  min M = 4  x = 2 0.25

C©u 2:(2 ®iÓm):

a) Phân tích đa thức thành nhân tử : x3  6x2  11x 6

b) Chứng minh rằng : N = x y x    2y x   3y x   4yy4 (với x,yZ)

là số chính phơng

a) Ta cú : x3  6x2  11x  6 x3 x2  5x2  5x 6x 6 0.25 = x x2  1 5x x  1 6x 1  x 1 x2  5x 6 0.25 = x1 x22x3x6 x1x22x3x6

= x 1 x 2 x 3 0.25 b) Ta cú N = x y x    4y    x 2y x   3yy4

= x2  5xy 4y2 x2  5xy 6y2y4 0.25 = x2  5xy 4y2 x2  5xy 4y2  2y2y4 0.25 = x2  5xy 4y22 2y x2 2  5xy 4y2y4 0.25 = x2  5xy 5y22 Vậy N là số chính phơng (với x,yZ) 0.25

Câu3:(2 điểm): Giải các phơng trình sau :

a) x 2007  x 2011 4 

b)

a) + Nếu x 2007 ta đợc :

2007  x 2011  x  4 2x 4014  x 2007 (loại) 0.25 + Nếu 2007  x 2011 ta đợc : x 2007 2011   x  4 0x 0

PT cú nghiệm tùy ý trong khoảng đang xét 0.25 + Nếu x 2011 ta đợc :

x 2007  x 2011 4   2x 2022  x 2011(loại) 0.25 Vậy nghiệm của PT là : 2007  x 2011 0.25

 x x 3  1 x x 3  1 10 0.25

  2x 10  x 5 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy S = { - 5 } 0.25

Câu 4:(3 điểm) : Cho hình bình hành ABCD có AB = 6cm , AD = 4cm Các tia phân

giác của các góc của hình bình hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH

a)Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?

b)Tính độ dài các đờng chéo của tứ giác EFGH

c)Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì thì tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất ?

1

1

O

H

F

G E

M

N

I

a) + Ta cú  1  1   

1 2

A D  A D (GT) 0.25 = 1 0 0

.180 90

2  ( vì A D   180 0 ) 0.25 Suy ra AED 90 0  HEF  90 0 0.25 + Chứng minh tơng tự ta đợc : EHG 90 ; 0 HGF  90 0

Tứ giác EFGH cú 3 gúc vuông là hình chữ nhật 0.25 b) + Vì AE là phân giác của  (GT), AEDM (Cma)

nên ADM cân tại A, tơng tự BCN cân tại C

 AM = AD = BC = CN  BM = DN

0.25

+ Mà BM DN Suy ra tứ giác BMDN là hình bình hành 0.25 + Lại cú E,G là trung điểm của MD,NB (vì ADM, BCN cân )

+ Do EFGH là hình chữ nhật (Cma)

nên HF = EG = MB = AB - AM = AB - AD = 6 - 4 = 2cm 0.25 c) + Kẻ FI EG Gọi O là giao điểm của EG và HF

2 2 2.1 2

2

+ Do đú max S EFGH   2 FI FO EGFH  ADAB

 Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật

Vậy hình bình hành ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác EFGH cú

diện tích lớn nhất bằng 2cm2 , khi đú EFGH là hình vuông

0.5

Câu 5:(1 điểm): Cho a,b,c là độ dài các đoạn thẳng thỏa mãn :

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

Chứng minh rằng a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác

Đỏp ỏn Điểm

+ Ta cú (1) 

 c a b  2 c2 a b c  2 a2 b c a  2 b2  8abc0

( vì a,b,c >0)

 c a b  2 c2a b c  2 a2 4bcb c a  2 b2 4ca 0

 c a b  2 c2a b c  2 a2b c a  2 b2 0

 c a b c a b c       a b c a b c a       b c a b c a b         0

 a b c b c a c a b            0

Suy ra 2 thừa số cùng âm , hoặc cả 3 cùng dơng

0.5

- TH1 : Cú 2 thừa số cùng âm

Giả sử 0

0

a b c

b c a

  





  

  2b  0 b 0, tơng tự  a c,  0 (vô lí) 0.25

- TH2 : Cả 3 số cùng dơng

a b c

b c a

c a b

 





   

  



thỏa mãn BĐT tam giác

Vậy a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác

(ĐPCM)

0.25

Hết./