Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng

Đối với các em sinh viên khoa Toán nói riêng và học toán nói chung thì hệ phương trình tuyến tính là phần rất quan trọng trong môn Đại số tuyến tính.. Để giúp các em hiểu kĩ hơn về phươn

M C L C

M Đ U 1

Ch ngă1.ăKi n th c chu n b 3

1.1 Ma trận 3

1.2 Định th c 4

1.3 Hệ phương trình tuyến tính 11

Ch ngă2.ăM t s ng d ng c a h ph ngătrìnhătuy nătính 27

2.1 Hệ phương trình tuyến tính trong chương trình phổ thông 27

2.2 Mô hình cân bằng thị trường 44

2.2.1 Thị trường một loại hàng hóa 44

2.2.2 Thị trường hai loại hàng hóa 45

2.2.3 Thị trường nhiều loại hàng hóa 46

2.3 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô 48

2.3.1 Mô hình cân bằng đối với nền kinh tế đóng chưa tính thuế thu nhập 48

2.3.2 Mô hình cân bằng đối với nền kinh tế đóng tính thuế thu nhập 50

2.4 Mô hình IS – LM 51

2.5 Mô hình đầu vào – đầu ra Leontief 53

K T LU N 59

Danh mục tài liệu tham khảo 60

1

1 LỦădoăch năđề tƠi

Hệ phương trình tuyến tính là một dạng toán quen thuộc đối với học sinh THPT như hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ ba phương trình bậc nhất ba

ẩn Cách giải hệ phương trình này các em đã biết, tuy nhiên khi giải hệ có ch a

tham số và hệ mở rộng nhiều ẩn, nhiều phương trình hơn thì các em còn nhiều lúng túng Đối với các em sinh viên khoa Toán nói riêng và học toán nói chung thì hệ phương trình tuyến tính là phần rất quan trọng trong môn Đại số tuyến tính Để giúp các em hiểu kĩ hơn về phương pháp giải dạng toán này và bản thân cũng có mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các ng dụng c a hệ phương trình

tuyến tính trong một số lĩnh vực như kinh tế và giải quyết một số bài toán trong chương trình trung học phổ thông, đồng thời cũng được sự gợi ý c a giáo viên hướng dẫn – TS Lê Hải Trung nên tôi lựa chọn đề tài: “Hệ phương trình tuyến

tính và ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ c a mình

2 M cătiêuănghiênăc u

- Hệ thống lại các kiến th c về Hệ phương trình tuyến tính

- Nghiên c u về hệ phương trình tuyến tính

- Nghiên c u sử dụng các lý luận, các công cụ toán học

- Nghiên c u các tài liệu liên quan đến hệ phương trình tuyến tính

2

6 ụănghƿaăkhoaăh căvƠăthực ti n c aăđề tƠi

Đề tài cung cấp những thông tin cần thiết để có thể áp dụng vào giải các bài toán về hệ phương trình tuyến tính Đề tài có thể được sử dụng để làm tài liệu

tham khảo cho sinh viên ngành toán quan tâm đến hệ phương trình tuyến tính

7 C uătrúcălu năvĕn

Ngoài phần mở đầu, lời cam đoan, lời cảm ơn, phần kết luận, tài liệu tham

khảo, nội dung chính c a luận văn gồm hai chương:

Chương I Kiến thức chuẩn bị

Trình bày những kiến th c cơ bản về ma trận, định th c, hệ phương trình

tuyến và các phương pháp giải

Chương II Một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính

Trình bày về ng dụng c a hệ phương trình tuyến tính trong chương trình toán THPT và trong lĩnh vực kinh tế

3

KI N TH C CHU N B

Các kiến thức trong chương này được tham khảo chủ yếu ở tài liệu  2

nhằm mục đích trang bị các kiến thức cơ sở để phục vụ cho chương sau

Đ nhă nghƿaă 1.2 Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử được chứa

trong nó đều bằng không

Ta chú ý đến phần tử aij , bỏ đi hàng i và cột j ta thu được ma trận chỉ còn

n - 1 hàng n - 1 cột, t c là ma trận vuông cấp n – 1 Ta kí hiệu nó là Mij và gọi

nó là ma trận con ng phần tử aij Chẳng hạn, với:

Đây là công th c khai triển định th c det(A) theo cột

Ch ng minh Ký hiệu M ijlà ma trận được suy ra từ A bằng cách bỏ đi hàng

Ta ch ng minh công th c (1.3) bằng phương pháp quy nạp toán học

Rõ ràng (1.3) đúng với định th c cấp một và cấp hai Bây giờ giả sử (1.3) đúng với định th c cấp n  1, n  2. Theo (1.1) ta có:

Bây giờ ta ch ng minh công th c (1.2)

Rõ ràng (1.2) đúng với ma trận cấp một Bây giờ giả sử (1.2) còn đúng đến

Hệ quả 1.1 Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của định thức thì nó

vẫn còn đúng khi trong phát biểu ta thay hàng bằng cột

TÝnh chÊt 1.2 Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu

Bổ đề 1.2 Đổi chổ hai hàng liên tiếp thì định thức đổi dấu

Ch ng minh Rõ ràng bổ đề đúng với định th c cấp hai Bây giờ giả sử bổ

i i i

nghĩa là bổ đề 1.2 được ch ng minh

Bây giờ muốn đổi chỗ hai hàng bất kì s và r( r   s 1)trước hết ta đưa hàng r

đến hàng s bằng r – s lần rồi đổi chỗ hai hàng liên tiếp Khi đó hàng s cũ chiếm

vị trí hàng s  1, ta đưa đến vị trí hàng r cũ bằng r   s 1lần đổi chỗ hai hàng liên

tiếp Vây muốn đổi chỗ hai hàng bất kì svà r( r   s 1)ta phải thực hiện2( r   s ) 1

Chú ý rằng các phần tử ai1 , ai2 , , ainđều nằm ở hàng i c a định th c, nên công

th c (1.4) có thể gọi là khai triển của định thức theo hàng i

Dựa vào công th c (1.4) và tính chất 2 ta suy ra:

Chú ý rằng các phần tử a 1j, a 2j, , anj đều nằm ở cột j c a định th c, nên công

th c (1.5) có thể gọi là khai triển của định thức theo cột j

TÝnh chÊt 1.6 Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số

k thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k

Tính chất 1.6 được suy ra từ các công th c (1.4) và (1.5)

Hệ quả 1.2 Từ tính chất 1.6 ta suy ra nhận xét sau: Khi các phần tử của một

hàng (hay một cột) có một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức

TÝnh chÊt 1.7 Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỉ lệ thì bằng không

Ch ng minh Thật vậy, đưa hệ số tỉ lệ ra ngoài dấu định th c thì được một định th c có hai hàng (hay hai cột) giống nhau nên nó bằng không

TÝnh chÊt 1.11( Về các định thức có dạng tam giác) Các định thức của ma trận

tam giác bằng tích các phần tử chéo:

33

0

a

a

 

1 2

t m

m

b b

1 2

t n

m

xx

Đ nh nghƿaă1.7.ă Hệ (1.6) tức là (1.8) được gọi là hệ Cramer nếu det( ) A  0

Định lý 1.1 (Định lí Cramer) Hệ Cramer có nghiệm duy nhất tính bằng công

thức 1

x A b tức là:

det( ) det( )

j j

A x

14

11 21 1 1

12 22 2 2 1

1 2

1 det( )

n n

A ta có:

A A x y   A     y

Nghĩa là có x Vậy hệ chỉ có một nghiệm y

Víăd ă1.17 Giải hệ phương trình:

15

Ta tính được:

det(A)   44 0;det(A )   40;det(A )  72;det(A ) 152 

Từ đây ta suy ra các nghiệm c a hệ đã cho:

1.4 Gi i h ph ngătrìnhătuy nătínhăbằng bi năđổiăs ăc p

Xét hệ phương trình tuyến tính ở dạng phương trình (1.10) và ở dạng ma trận

Với giả thiết a 0

ij  , việc giải hệ trên theo quy tắc từ dưới lên rất đơn giản

Từ phương trình cuối ta nhận được ngay x

n, phương trình liền trên cho x 1

n  , ,

phương trình đầu ta nhận được .

1 x

b) Ta cũng có thể giải hệ (1.8) bằng phương pháp sau đây: Ta viết ma trận A và

cạnh nó là vecto b, ta được ma trận hình chữ nhật  A ,b Áp dụng các biến đổi sơ

cấp về hàng vào ma trận  A ,b để đưa dần ma trận A về dạng tam giác Ta nhận

thấy, phép biến đổi sơ cấp nhân một hàng với một số khác không ng với phép nhân một phương trình c a hệ với một số khác không, nó không làm thay đổi

16

nghiệm c a hệ Phép đổi chỗ hai hàng ng với phép đổi vị trí c a hai phương trình không làm thay đổi nghiệm c a hệ Cuối cùng, phép cộng bội k c a một hàng vào một hàng khác ng với phép cộng bội k c a một phương trình vào một phương trình khác cũng không làm thay đổi nghiệm c a hệ

Vậy hệ tam giác cuối cùng thu được tương ng với hệ đã cho Giải hệ này ta thu được nghiệm c a hệ đã cho

Víăd ă1.18 Xét hệ phương trình:

7

2 4 3 -5 -6,5

3 1

4 -8 -1

2 4 3 -5 -6,5 -2,9

4 -8 -5,8

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ tam giác trên

Giải hệ tam giác trên này từ dưới lên ta thu được: x 3  2, x 2   1, x 1  1. Đó cũng

là nghiệm c a hệ đã cho Phương pháp mà ta vừa trình bày ở trên còn có tên gọi

là phương pháp Gauss

1 5.ăPh ngăphápăGaussăậ Jordan

Sau khi đưa ma trận về ma trận tam giác trên ta tiếp tục áp dụng các phép

biến đổi sơ cấp để đưa ma trận tam giác trên về ma trận đơn vị

Trở lại ví dụ 1.18 ở trên, ta có:

2 4 3 -5 -6,5 -2,9

4 -8 -5,8

1 2 1,5

1 1,3

1

2 1,6

2

kết quả ta được hệ chéo:

18

1 2 3

1 1 2.

x x x

vì khi thay x1 0,x2 0, ,xn 0vào vế trái c a (1.12) thì các phương trình

đó thỏa mãn Nghiệm không c a hệ thuần nhất gọi là nghiệm tầm thường c a nó

Víăd ă1.20.ăăHệ phương trình:

Nên chỉ có nghiệm tầm thường x1 0,x2 0

Một câu hỏi đặt ra là : Khi nào hệ (1.12) có nghiệm không tầm thường Ta có:

Định lý 1.2 Hệ thuần nhất (1.12) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi

det( ) 0.A 

20

Ch ng minh Nếu det( )A 0thì hệ (1.12) có nghiệm duy nhất, nên chỉ có

nghiệm tầm thường

Nếu det( )A 0thì bằng biến đổi sơ cấp về hàng và bằng cách đánh số lại các

ẩn t c là đổi chỗ các cột ta có thể đưa ma trận A về dạng tam giác trên

có nghiệm không tầm thường

Víăd ă1.21 Giải hệ:

gọi p là số nguyên dương không lớn hơn min m n ,

Đ nh nghƿaă1.8 Ma trận vuông cấp p được suy từ A bằng cách bỏ đi m – p hàng

và n – p cột được gọi là ma trận vuông con cấp p của A

Định th c c a ma trận con đó gọi là định th c con cấp p c a A

Víăd ă1.22 Xét ma trận cỡ 3 4 sau:

22

Đ nhănghƿaă1.9 Hạng của ma trận A cấp cao nhất của các định thức con khác

không của A

Ta kí hiệu hạng c a ma trận A là ( ).A

Víăd ă1.23 Xét ma trận cỡ A ở ví dụ 1.22 Các định th c con cấp ba đều bằng

không, nhưng có định th c con cấp hai khác không Vậy ( )A 2

Vì với mọi ma trận vuông B ta códet(Bt)det( )B nên ta có:

Đ nhălỦă1.3 (Định lí Kronecker – Capelli) Hệ (1.6), tức là hệ Axb, có

nghiệm khi và chỉ khi

bb

23

trong đó r min m n, Từ đó suy ra địnhlí 1.3 được ch ng minh

Víăd ă1.24 Xét hệ phương trình:

1 Hãy xác định a và b để hệ có nghiệm duy nhất

2 Xác định a và b để hệ có vô số nghiệm, hệ vô nghiệm

a  Theo định lí (Kronecker – Capelli),

muốn cho hệ có nghiệm cần và đ là ( ) A ( ) A  2. Ta hãy tính ( ) A khi

21

2

a  bằng biến đổi sơ cấp Ta có:

Qua bảng cuối cùng này ta thấy rằng số hàng khác không c a A là 2, phù hợp

với kết quả ( ) A  2 khi 21.

Ta thấy:   m R r A b : ( \ )  r A ( )  4.Suy ra hệ có nghiệm với mọi m

Víăd ă1.26 Giải hệ:

27

M T S NG D NG

2.1 H ăph ngătrìnhătuy nătínhătrongăch ngătrìnhătoánăphổăthông

Víăd 2.1 Tổng các chữ số c a 1 số có hai chữ số là 9 Nếu thêm vào số đó 63

đơn vị thì số thu được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo th tự ngược lại Hãy tìm số đó?

28

Vậy số phải tìm là 18

Víăd 2.2 Đoạn đường AB dài 180 km Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi

từ B xe máy gặp ô tô tại C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km Tính vận tốc c a ô tô và xe máy ?

L iăgi i.ăăTa có:

Gọi vận tốc c a ô tô là x (km/h), x > 0

Gọi vận tốc c a xe máylà y(km/h), y > 0

Thời gian xe máy đi để gặp ô tô là 80

Quảng đường ô tô đi lag 120 km nên thời gian ô tô đi là 120y (giờ)

Vì ô tô đi trước xe máy 54 phút = 9

10 (giờ) nên ta có phương trình:

1160u 80v

v10

40





  xy 50 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn).40

Vậy vận tốc c a ô tô là 50 km/h Vận tốc c a xe máy là 40 km/h

Víă d 2.3 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu

người th nhất làm 3 giờ, người th hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

L iăgi i.ăăTa có:

25%= 1

4

Gọi thời gian một mình người th nhất hoàn thành công việc là x(x > 0; giờ)

Gọi thời gian một mình người th hai hoàn thành công việc là y(y > 0; giờ)

Trong một giờ người th nhất làm được 1x công việc

Trong một giờ người th hai làm được 1

y công việc

Hai người cùng làm thì xong trong 16 giờ Vậy trong 1 giờ cả hai người cùng làm được 1

16 công việc

31

Víăd 2.4 Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xong việc

Nếu người th nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ người th hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi người làm một mình thì trong thời gian bao lâu làm xong công việc ?

Trong một ngày người th nhất làm được 1 x công việc

Trong một ngày người th hai làm được 1y công việc

Cả hai người làm xong trong 2 ngày nên trong 1 ngày cả hai người làm được

  xy 6 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn).3

Vậy người th nhất làm một mình xong công việc trong 6 ngày Người th hai làm một mình xong công việc trong 3 ngày

Víăd ă2.5 Giải hệ phương trình sau:

Víăd ă2.6 Giải các hệ phương trình sau:

m 13m 1

Với m = -1 Ta có: Dx    hệ vô nghiệm 4 0

Với m = 1 Ta có: Dx Dy  khi đó hệ (2.9) trở thành hệ:0   x y 3x y 3  nên hệ

.1

6 4

6( 2);

363( 2)

x

y

Dx

Dy

38

Víăd ă2.12 Cho ba đường thẳng:

1 2 3

Gọi M(x; y)là giao điểm c a (d1)và (d2)

tọa độ điểm M(x; y) là nghiệm c a hệ: 32xx3yy 1 4xy12.

Các trường hợp khác ch ng minh tương tự

+ Nếu a    Đẳng th c cần ch ng minh hiển nhiên đúng b c 0

Víăd ă2.14 Tìm m để hệ sau có nghiệm:

111

40

1

1.

1 1 y

m

+ Nếu m  ta có: 1,

1111

xmym

+ Nếu D    Hệ (2.10) luôn có nghiệm duy nhất 0 m 4

Vậy giá trị nhỏ nhất c a P là 0, đạt được tại các giá trị ( ; )x y là nghiệm c a

hệ (2.10)

+ Nếu D    Khi đó: 0 m 4

D   m  Hệ (2.11) luôn có nghiệm duy nhất

Vậy giá trị nhỏ nhất c a P là 0, đạt được tại các giá trị ( ; )x y là nghiệm c a

hệ (2.11)

m m

43

5 4 5 2

m x

m y

Vậy giá trị nhỏ nhất c a P là 5 khi m  3.

Víăd ă2.18 Cho hệ phương trình:

 

 

2 2

b Từ (2.16) suy ra x  m  1thay vào (2.15) ta được:

2.2 Môăhìnhăcơnăbằngăth ătr ngă

2.2.1 Th ătr ngăm tălo i hƠngăhóa

Khi phân tích hoạt động c a thị trường hàng hóa, các nhà kinh tế luôn sử dụng hàm cung và hàm cầu để biểu diễn sự phụ thuộc c a lượng cung và lượng cầu vào giá c a hàng hóa(với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi) Dạng tuyến tính c a hàm cung và hàm cầu như sau:

a b



a Tìm giá cân bằng thị trường

b Tìm lượng cung và lượng cầu cân bằng

2.2.2 Th ătr ngăhai lo i hƠngăhóa

Mô hình cân bằng đối với hàng hóa th nhất:

Víăd ă2.20 Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng là hàng hóa 1 và hàng hóa 2, với

hàm cung và hàm cầu như sau:

Hàng hóa th nhất: Qs1  2 3 ;p Q1 d1 10 2p1p2

Hàng hóa th hai: Qs2   1 2 ;p Q2 d2   15 p1 p2

p  ; Hàng hóa 2: 2

46.7

2.2 3.ăTh ătr ngănhiều lo i hƠngăhóa

Trong trường hợp tổng quát, mô hình cân bằng thị trường với n mặt hàng có phát biểu toán học như sau :

Víăd 2.21 Xét một thị trường gồm 3 lọai hàng hóa Hàm cung, cầu và giá c a

chúng thỏa mãn các điều kiện sau:

a Hãy tìm giá cân bằng c a từng loại hàng hóa

b Xác định lượng cung và cầu cân bằng c a mỗi lọai hàng hóa đã cho

L iăgi i

a Hệ phương trình xác định giá cân bằng là:

p p p

p  2

20

; 51

43 68

p  Ta gọi bộ (55 20 43; ; )

34 51 68

là điểm cân bằng thị trường

b Ta tính được lượng cung, lượng cầu c a từng loại hàng hóa :

Q Q 123/17 ; Q s2  Q d2  75/17 ; Q s3  Q d3  60/17

Víăd ă2.22 Xác định giá và lượng cân bằng c a thị trường 5 loại hàng hóa với

hàm cung và hàm cầu như sau:

48

2.3 ăMôăhìnhăcơnăbằngăkinhăt ăvƿămô

2.3 1.ăMôăhìnhăcơnăbằngăđ iăv iănềnăkinhăt ăđóngăch aătínhăthu ăthuănh p

Gọi Y là tổng thu nhập quốc dân và E là tổng chi tiêu kế hoạch c a nền kinh

tế, trạng thái cân bằng được biễu diễn dưới dạng phương trình: Y = E

Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch c a toàn bộ nền kinh tế gồm các thành phần sau:

C: Tiêu dùng( Consumpuion) c a các hộ gia đình;

G: Chi tiêu c a chính ph ( Government);

I: Chỉ tiêu cho đầu tư c a các nhà sản xuất( Investment)

Phương trình cân bằng trong trường hợp nền kinh tế đóng là:

Y = C + G + I

Ta giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: I = I0 và chính sách tài khóa

c a chính ph cố định: G = G0, còn tiêu dùng c a các hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng hàm bậc nhất( gọi là hàm tiêu dùng):

C aY b    a b

Hệ số a biểu diễn lượng tiêu dùng gia tăng khi người ta có thêm 1$ thu nhập, được gọi là xu hướng tiêu dùng cận biên, còn b là m c tiêu dùng tối thiểu, t c là

m c tiêu dùng khi không có thu nhập

Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô trong trường hợp này quy về hệ phương trình