Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy số

Nguyễn Thành Chung, để làm sáng tỏ hơn các vấn đề liênquan đến dãy số trong chương trình phổ thông, cung cấp một số công cụ nhằmmục đích định hướng người học tìm lời giải, đồng thời sáng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MỤC LỤC

1.1 Dãy số 1

1.1.1 Định nghĩa 1

1.1.2 Một số dãy số đặc biệt 2

1.2 Giới hạn dãy số 4

1.2.1 Khái niệm giới hạn dãy số 4

1.2.2 Tính chất cơ bản của dãy số hội tụ 5

1.3 Một số định lý về sự hội tụ của dãy số 7

1.3.1 Định lý Weierstrass 7

1.3.2 Định lý Cauchy và hàm số co 8

1.3.3 Định lý Stolz 9

1.3.4 Định lý Toeplitz 11

2 Một số phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy số 13 2.1 Bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số 13

2.1.1 Dãy số cho bởi phương pháp liệt kê 13

2.1.2 Dãy số cho bởi công thức truy hồi tuyến tính 15

2.1.3 Dãy số cho bởi công thức truy hồi phi tuyến 20

2.2 Bài toán về tính chất của dãy số 25

2.2.1 Tính chất số học 25

2.2.2 Tính chất tuần hoàn, điều hòa 28

2.2.3 Tính chất đơn điệu 31

2.2.4 Tính chất bị chặn và ước lượng về dãy số 33

2.3 Bài toán về giới hạn của dãy số 37

2.3.1 Phương pháp dùng công thức tổng quát của dãy số 37

2.3.2 Phương pháp dùng nguyên lý kẹp 40

2.3.3 Phương pháp dùng Định lý Weierstrass 43

2.3.4 Phương pháp dùng định lý Cauchy và hàm số co 45

2.3.5 Phương pháp dùng các định lý Stolz, Toeplitz 48

2.3.6 Phương pháp dùng dãy con 49

2.4 Một số phương pháp sáng tạo các bài toán về dãy số 54

2.4.1 Phương pháp tương tự hóa 54

2.4.2 Phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa 56

2.4.3 Phương pháp suy diễn ngược lại từ những kết quả đã biết 58 2.4.4 Phương pháp chuyển đổi mục đích bài toán 60

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Dãy là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, vừa có ý nghĩa khoahọc vừa có ý nghĩa thực tiễn Một dãy là một danh sách liệt kê các đối tượnghay sự kiện (gọi chung là phần tử) được sắp xếp có thứ tự Khi trừu xuất khỏithực tiễn, nếu ta xem mỗi phần tử là một số (thực hoặc phức), khi đó ta nóirằng ta có một dãy số Xuất phát từ ý nghĩa và sự hình thành của dãy số, việcnghiên cứu dãy số và các vấn đề liên quan đến nó đóng vai trò rất quan trọngtrong toán học Giải quyết vấn đề về dãy số là tiền đề để nghiên cứu các bàitoán liên quan đến dãy nói chung, từ đó cung cấp công cụ để giải quyết các bàitoán trong nhiều ngành toán học khác nhau như đại số, lý thuyết số, lý thuyếtphương trình, lý thuyết xấp xỉ,

Khái niệm dãy số được trang bị từ lớp 11 trong chương trình toán, bậc trunghọc phổ thông Tuy nhiên, khái niệm dãy số và giới hạn dãy số trong chươngtrình phổ thông chủ yếu mang tính chất mô tả, thường công nhận kết quả đểhọc sinh có thể vận dụng giải bài tập, những vấn đề chi tiết hơn được trình bàytrong chương trình giải tích toán học và được giảng dạy ở bậc đại học Các vấn

đề liên quan đến dãy số lại là những vấn đề khởi đầu, với những kĩ thuật tinh

tế, đòi hỏi người học phải dành nhiều thời gian nghiên cứu mới có thể hiểu vàvận dụng được Do đó, các bài toán về dãy số với những cấp độ khác nhau nóichung thường gây ra nhiều khó khăn cho học sinh và giáo viên trong quá trình

đi tìm lời giải Cũng chính vì thế, chủ đề dãy số luôn được khai thác qua các kỳthi, đặc biệt là các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, trong nước và quốc tế

ý của thầy giáo TS Nguyễn Thành Chung, để làm sáng tỏ hơn các vấn đề liênquan đến dãy số trong chương trình phổ thông, cung cấp một số công cụ nhằmmục đích định hướng người học tìm lời giải, đồng thời sáng tạo các bài toán mới

về dãy số, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài: “Phương pháp giải và sáng tạo các bàitoán về dãy số” để làm luận văn thạc sĩ của mình

3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu các khái niệm và tính chất cơ bản về dãy số, giới hạn dãy số,dãy số hội tụ, dãy số phân kỳ

- Các phương pháp giải và sáng tạo bài toán về dãy số trong chương trìnhphổ thông

4 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán về dãy số trong chương trình phổthông Tuy nhiên, để làm sáng tỏ thêm các vấn đề liên quan, chúng tôi cho thamkhảo các tài liệu liên quan về dãy số được trình bày trong giáo trình giải tíchtoán học, được giảng dạy trong chương trình đại học Những kiến thức này đượcchọn lọc để giáo viên và học sinh phổ thông có thể hiểu và vận dụng

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu được sử dụng ở đây dựa trên việc phân tích vàtổng hợp các tài liệu hiện có về dãy số trong chương trình phổ thông và chươngtrình đại học hiện hành

- Ngoài ra, để sáng tạo được các bài toán mới dựa trên các bài toán đã chochúng tôi cần sử dụng các kiến thức liên quan để so sánh, đánh giá, tổng quát

hóa, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa,

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Đề tài cung cấp những kiến thức từ cơ bản đến chuyên sâu về dãy số, cáckhái niệm và tính chất được trình bày có chọn lọc, giúp người đọc có cách nhìnđầy đủ bao quát về dãy số và các vấn đề liên quan

- Đề tài cung cấp một số phương pháp giải các bài toán về dãy số trongchương trình phổ thông, đồng thời hướng dẫn người đọc việc sáng tạo một sốbài toán mới về dãy số dựa trên các bài toán đã cho

7 Tổng quan và cấu trúc luận văn

Luận văn có cấu trúc như sau:

Mở đầu

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy số.Kết luận và kiến nghị

Tài liệu tham khảo

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về dãy số, baogồm khái niệm dãy số, giới hạn dãy số và các tính chất cơ bản cũng như một sốtiêu chuẩn hội tụ của dãy số cần cho chương 2 Các tài liệu tham khảo được sửdụng trong chương này bao gồm [4, 7, 10, 11]

1.1 Dãy số

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Mỗi hàm số u : N∗ → R, n 7→ u(n) = u n được gọi là mộtdãy số thực vô hạn (hay dãy số), ký hiệu (u n ) Khi đó, u n := u(n) được gọi là sốhạng tổng quát của dãy số

Nhận xét 1.1.1 Bằng cách tương tự, chúng ta có thể định nghĩa cho trườnghợp dãy số phức Tuy nhiên trong phạm vi của luận văn này, chúng tôi chỉ đềcập đến dãy số thực và gọi là dãy số

Có nhiều phương pháp để cho một dãy số, chẳng hạn phương pháp liệt kê,phương pháp nêu tính chất đặc trưng các số hạng của dãy, phương pháp chocông thức tổng quát của dãy,

Định nghĩa 1.1.2 Dãy số (u n ) được gọi là dãy số tăng (giảm) nếu u n ≤ u n+1

(u n ≥ u n+1) với mọi n ∈ N∗ Nếu trong khẳng định trên dấu ≤ (≥) được thaybằng dấu < (>) ta nói dãy số (u n ) tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt) Một

dãy số(u n ) được gọi là đơn điệu (nghiêm ngặt) nếu nó tăng hoặc giảm (nghiêmngặt).

Ví dụ 1.1.1 Xét dãy số (u n ) cho bởi u n =

√ n

r

n + 1

n <1, ∀n ∈N∗nên dãy số (u n ) giảm nghiêm ngặt

Định nghĩa 1.1.3 Dãy số (u n ) được gọi là bị chặn trên (dưới) nếu tồn tại

M ∈R sao cho với mọi n ∈N∗ ta có u n ≤ M (u n ≥ M) Dãy số (u n ) được gọi là

bị chặn (hay giới nội) nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới

Ví dụ 1.1.2 Dãy số(u n ) cho bởiu n = n3+ 2 bị chặn dưới nhưng không bị chặntrên, trong khi đó dãy số (u n ) cho bởi u n = ( −1)nn2 không bị chặn trên và cũngkhông bị chặn dưới

Định nghĩa 1.1.4 Cho dãy số (u n ) và một dãy tăng các chỉ số i 1 < i 2 < .Khi đó dãy số xác định bởi (u i k )k≥1 được gọi là một dãy con của dãy số (u n )

Ví dụ 1.1.3 Dãy số (u n ) cho bởi u n = ( −1) n n2 có các dãy con u2k = 4k2 và

u2k+1= −4k2− 4k − 1

1.1.2 Một số dãy số đặc biệt

Định nghĩa 1.1.5 (Cấp số cộng) Cho d ∈ R, dãy số (u n ) thỏa mãn điều kiện

u n+1 = u n + d với mọi n ∈ N∗ được gọi là một cấp số cộng với công sai d Nếu

d = 0 ta nói dãy số (u n ) là dãy hằng (dãy số không đổi)

Ví dụ 1.1.4 Dãy số(u n ) với u n = 3n − 1 là một cấp số cộng với công sai d = 3

vì u n+1 − u n = 3(n + 1) − 1 − (3n − 1) = 3 với mọi n ∈N∗

Định lý 1.1.1 Cho (u n ) là một cấp số cộng với công sai d Khi đó

(i) u n+1 = u n + d = u 1 + nd

u + u

Định nghĩa 1.1.6 (Cấp số nhân) Cho q ∈ R, dãy số (u n ) thỏa mãn điều kiện

un+1= qu n với mọi n ∈N∗ được gọi là một cấp số nhân với công bội q Nếu q = 1

ta nói dãy số (u n ) là dãy hằng (dãy số không đổi)

Ví dụ 1.1.5 Dãy số (u n ) với u n = 22n+1 là một cấp số nhân với công bội q = 4

Định nghĩa 1.1.8 (Dãy số tuần hoàn, phản tuần hoàn) (i) Dãy số(u n )đượcgọi là tuần hoàn (phản tuần hoàn) cộng tính nếu tồn tại N ∈ N∗ sao cho

u n+N = u n (u n+N = −u n) với mọi n ∈N∗, số N gọi là chu kỳ của dãy số.(ii) Dãy số (u n ) được gọi là tuần hoàn (phản tuần hoàn) nhân tính nếu tồn tại

S ∈N∗, S > 1 sao cho unS = u n (unS = −u n) với mọin ∈N∗, số S gọi là chu

kỳ của dãy số

Ví dụ 1.1.7 (i) Dãy số u n = sinnπ

3 là dãy tuần hoàn cộng tính chu kỳ 6 vàphản tuần hoàn cộng tính chu kỳ 3 vì un+6= sin(n + 6)π

2[sin(2π log2(

√ 2n)) − sin(2π log 2 n)]

là phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ √2 vì u √

2n = −u n với mọi n ≥ 1

1.2 Giới hạn dãy số

1.2.1 Khái niệm giới hạn dãy số

Định nghĩa 1.2.1 Ta nói dãy số(u n )có giới hạn làl ∈R, ký hiệulimn→∞u n = l

< 1 4N < ǫ.Định nghĩa 1.2.2 Dãy số(u n )được gọi là có giới hạn+ ∞, ký hiệu làlimn→∞u n = + ∞, nếu

Dãy số (u n ) được gọi là có giới hạn −∞, ký hiệu là limn→∞u n = −∞, nếu

Định lý 1.2.1 Giới hạn (nếu có) của một dãy số là duy nhất

Chứng minh Giả sử dãy số (u n ) hội tụ và có hai giới hạn l1, l2 ∈ R với l1 6= l 2.Đặt ǫ = 1

4 |l 1 − l 2 | > 0 Vì limn→∞u n = l1 nên tồn tại N1 ∈ N∗ sao cho với mọi

n ≥ N 1 ta có |un − l 1 | < ǫ Tương tự, tồn tại N 2 ∈N∗ sao cho với mọi n ≥ N 2 ta

có |un − l 2 | < ǫ Khi đó với mọi n ≥ N 0 := max {N 1 , N 2 } ∈N∗ ta có

|l 1 − l 2 | ≤ |l 1 − u n | + |u n − l 2 | < 2ǫ = 12|l 1 − l 2 |.

Điều này không thể xảy ra Vậy l 1 = l 2

Định lý 1.2.2 (Các phép toán giới hạn) Giả sử các dãy số (u n ), (v n ) hội tụ và

limn→∞u n = u ∈R, limn→∞v n = v ∈R Khi đó

(i) Dãy số (u n ± v n ) hội tụ và limn→∞(u n ± v n ) = u ± v

(ii) Dãy số (u n v n ) hội tụ và limn→∞(u n v n ) = u.v

(iii) Nếu v 6= 0 thì dãy số



u n

v n

hội tụ và limn→∞ un

v n

= u

v

1.2.2 Tính chất cơ bản của dãy số hội tụ

Định lý 1.2.3 (Tính bị chặn) Mọi dãy số hội tụ đều bị chặn

Chứng minh Giả sử (u n ) là một dãy số hội tụ và limu→∞u n = l ∈R Lấy ǫ = 1,theo định nghĩa của giới hạn, tồn tại N ∈N∗ sao cho |un − l| < ǫ với mọi n ≥ N.Đặt M := max {|u 1 |, |u 2 |, , |u N |, |l| + 1} ta có |un | ≤ M với mọin ∈N∗ Điều nàychứng tỏ dãy số (u n ) bị chặn.

Nhận xét 1.2.1 Điều ngược lại của Định lý 1.2.3 nói chung không đúng Tuynhiên, người ta chứng minh được rằng mọi dãy số bị chặn đều có một dãy conhội tụ

Định lý 1.2.4 Mọi dãy con của một dãy số hội tụ đều hội tụ Ngược lại, giả

sử một trong các điều kiện sau xảy ra:

(i) limn→∞u2n = limn→∞u2n+1 = l ∈R

(ii) limn→∞u3n = limn→∞u3n+1 = limn→∞u3n+2= l ∈R

Khi đó dãy số (u n ) hội tụ và limn→∞u n = l

Định lý 1.2.5 (Tính bảo toàn thứ tự) Giả sử các dãy số (u n ) và (v n ) hội tụlần lượt đến u và v Khi đó

(i) Nếu tồn tại N0∈N∗ sao cho u n ≥ v n với mọi n ≥ N 0 thì u ≥ v

(ii) Nếu u > v thì tồn tại N0∈N∗ sao cho với mọi n ≥ N 0 ta đều có u n > v n.Chứng minh (i) Giả sử phản chứng u < v Lấy số dương ǫ < v− u

2 Theo địnhnghĩa giới hạn, tồn tại số tự nhiên N 1 > N 0 sao cho |un − u| < ǫ và |vn − v| < ǫ

với mọi n ≥ N 1 Vì u + ǫ < v − ǫ nên từ đó suy ra u n < v n với n ≥ N 1 Điều nàymâu thuẫn với giả thiết

(ii) Lấy số dương ǫ < u− v

2 , ta suy ra u − ǫ > v + ǫ Theo định nghĩa giớihạn, tồn tại N 0 ∈N∗ sao cho |un − u| < ǫ và |vn − v| < ǫ với mọi n ≥ N 0 Suy ra

u n > u − ǫ vàv + ǫ > v n Vì u − ǫ > v + ǫ nên u n > v n với mọi n ≥ N 0

Định lý 1.2.6 (Nguyên lý kẹp) Cho các dãy số (u n ), (v n ) và (w n ) thỏa mãn

u n ≤ w n ≤ v n với mọi n > N0 ∈N∗ Khi đó, nếu limn→∞u n = limn→∞v n = l ∈ R

1.3 Một số định lý về sự hội tụ của dãy số

1.3.1 Định lý Weierstrass

Định nghĩa 1.3.1 (Cận trên, cận dưới) Giả sử ∅ 6= E ⊂R Số b ∈R được gọi

là một cận trên (cận dưới) của E nếu x ≤ b (b ≤ x) với mọi x ∈ E

Số l ∈ R được gọi là cận trên đúng của E, ký hiệu sup E, nếu l là một cậntrên của E và nếu b là một cận trên bất kỳ của E thì l ≤ b Ta cũng có địnhnghĩa tương tự cho cận dưới đúng và ký hiệu inf E

Ví dụ 1.3.1 Xét tập hợp E = (0; 1] ⊂ R Ta có sup E = 1 và inf E = 0 Ngoài

ra, mọi số thựcr ≤ 0đều là cận dưới của E và mọi số thực r ≥ 1 đều là cận trêncủaE

Định lý 1.3.1 Mọi tập hợp E ⊂ R khác rỗng, bị chặn trên (dưới) đều có cậntrên (dưới) đúng Nếu E ⊂ R có phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) là l thì l là cậntrên (dưới) đúng của E

Định lý 1.3.2 Giả sử ∅ 6= E ⊂ R và l ∈ R Khi đó ta có các khẳng định sauđây:

(i) l = sup E nếu và chỉ nếu x ≤ l, ∀x ∈ E và với mọi ǫ > 0, tồn tại x ∈ E saocho x > l − ǫ

(ii) l = inf E nếu và chỉ nếu x ≥ l, ∀x ∈ E và với mọi ǫ > 0, tồn tại x ∈ E saocho x < l + ǫ

Định lý 1.3.3 (Weierstrass) Nếu một dãy số tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới)thì hội tụ

Chứng minh Giả sử(u n )là một dãy số tăng và bị chặn trên Khi đó, theo Định

lý 1.3.1 tồn tại cận trên đúng của tập hợp E = {u n } là l = sup E Với mọi ǫ > 0,theo Định lý 1.3.2, tồn tại N ∈N∗ sao cho l − ǫ < u N Vì (u n )là dãy số tăng nên

l − ǫ < u N ≤ u n ≤ l với mọi n ≥ N Từ đó suy ra l − ǫ < u n < l + ǫhay |un − l| < ǫ

với mọi n ≥ N Điều này chứng tỏ (u n ) hội tụ và có giới hạn là l Trường hợpdãy(u n ) giảm và bị chặn dưới chứng minh tương tự

n, n ≥ 1 là một dãy Cauchy trong khi dãy số

u n = ( −1) n, n ≥ 1 không là dãy Cauchy

Định lý 1.3.4 (Cauchy) Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là một dãy Cauchy.Chứng minh Giả sử (u n ) là một dãy hội tụ và limn→∞u n = l Khi đó với mọi

ǫ > 0, tồn tại N ∈N∗ sao cho với mọi n > N ta có |un − l| < ǫ

2 Do đó, với mọi

n ≥ N, p ≥ 1, ta có

|u n+p − u n | = |(u n+p − l) + (l − u n ) | ≤ |u n+p − l| + |u n − l| < ǫ2+ ǫ

2 = ǫ,

suy ra (u n ) là dãy Cauchy

Ngược lại, giả sử (u n ) là một dãy Cauchy Khi đó, với mọi n ≥ N ∈ N∗ và

p ≥ 1, ta có |un+p − u n | < 1 Cố định n = N, có thể chứng minh được dãy số (u n )

bị chặn Do đó, theo Nhận xét 1.2.1 có một dãy con (u n k ) của (u n )hội tụ và giả

sử lim n k →∞ u n k = l

Với mọi ǫ > 0, tồn tại N 1 ∈ N∗ sao cho với mọi n k > N 1 ta có |un k − l| < ǫ

2

Vì (u n ) là dãy Cauchy nên tồn tại N 2 ∈ N∗ sao cho với mọi n ≥ N 2, p ≥ 1 ta có

|u n+p − u n | < 2ǫ Đặt N 0 = max {N 1 , N 2 } + 1 Khi đó với mọi n ≥ N 0 ta có

|u n − l| = |(u n − u n k ) + (u n k − l)| < ǫ

2 +

ǫ

2 = ǫ.

Điều này chứng tỏ limn→∞u n = l

Định nghĩa 1.3.3 Cho a, b ∈ R, hàm số f : [a, b] → [a, b] gọi là co trên đoạn

[a, b] nếu tồn tại hằng số C ∈ [0, 1) thỏa mãn |f(x1 ) − f(x 2 ) | ≤ C|x 1 − x 2 | với mọi

x 1 , x 2 ∈R

Định lý 1.3.5 Giả sử f : [a, b] → [a, b] là một hàm số co và dãy số (u n ) xác định

un+1− u n

v n+1 − v n − l

< ǫ.

Vìv n+1 − v n ≥ 0 nên ta suy ra

(l − ǫ)(v n+1 − v n ) < u n+1 − u n < (v n+1 − v n )(l + ǫ).

Giả sử vk+1> 0 với k > N Khi đó

(l − ǫ)(v i+1 − v i ) < u i+1 − u i < (l + ǫ)(v i+1 − v i ), ∀ i = N, N + 1, , k,

suy ra dãy số (v n ) hội tụ và limn→∞v n = 0.

Nhận xét 1.3.1 Nếu cn,k ≥ 0 với mọi 1 ≤ k ≤ n, n ≥ 1 thì điều kiện (iii) đượcsuy ra từ điều kiện (ii) Hơn nữa, nếu cn,k > 0 với mọi 1 ≤ k ≤ n, n ≥ 1 và

limn→∞u n = + ∞ thì limn→∞v n = + ∞

Hệ quả 1.3.2 Giả sử (u n ), (v n ) là các dãy số hội tụ và limn→∞u n = u,

limn→∞v n = v Khi đó

lim

n→∞

1 n

1 n

nv , n ≥ 1, 1 ≤ k ≤ n Khi đó, các điều kiện (i) và(iii) của Định lý Toeplitz thỏa mãn Hơn nữa, theo Hệ quả 1.3.1 ta có

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

Trong chương này, chúng tôi trình bày phương pháp giải một số dạng toán

về dãy số, bao gồm bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số, bài toán

về tính chất và sự hội tụ của dãy số Ngoài ra, chúng tôi cũng đề cập phươngpháp sáng tạo các bài toán mới về dãy số dựa trên bài toán gốc Các tài liệutham khảo trong chương này bao gồm [1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13]

2.1 Bài toán xác định công thức tổng quát của dãy

số

Xác định công thức tổng quát của dãy số là bài toán khá phổ biến trongchương trình phổ thông Biết công thức tổng quát của dãy số, chúng ta có thểbiết tính chất, đánh giá ước lượng dãy số hoặc tìm giới hạn của nó Trong mụcnày, chúng tôi trình bày một số dạng toán xác định công thức tổng quát củadãy số, bao gồm dãy số được cho bởi phương pháp liệt kê, dãy số cho bởi côngthức truy hồi tuyến tính hoặc phi tuyến

2.1.1 Dãy số cho bởi phương pháp liệt kê

Bài toán: Cho dãy số (u n ) với các số hạng là u1 = a 1 , u2 = a 2 , , uk = a k, trong đó a i, i = 1, 2, , k là các hằng số đã biết Xác định công thức tổng quátcủau n

Phương pháp giải: Việc tìm ra quy luật biểu diễn của dãy số là không đơngiản Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp chúng ta có thể tiến hành như sau: Đặt

∆u k = uk+1− u k, ∆2u k = ∆uk+1− ∆u k, ∆3u k = ∆2uk+1− ∆2u k,

Ta lập bảng các giá trị∆u k , ∆2u k , ∆3u k ∆su k, Nếu∆su k có giá trị khôngđổi thì u n có dạng đa thức bậc s của n và ta đi tìm đa thức đó

Ví dụ 2.1.1 Cho dãy số (u n ) với các số hạng là u1 = 1, u 2 = −1, u 3 = −1, u 4 =

2.1.2 Dãy số cho bởi công thức truy hồi tuyến tính

Trong phần này, chúng tôi xét bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy

số cho bởi công thức truy hồi tuyến tính Để đơn giản chúng tôi chỉ xét cho côngthức truy hồi cấp 1 và cấp 2, những công thức truy hồi cấp cao hơn được giảiquyết bằng phương pháp tương tự

Bài toán: Xác định công thức tổng quát của dãy số (u n ) cho bởi

a u ˜ n+2 + b˜ u n+1 + c˜ u n = 0, n ≥ 1. (2.2)

vàu∗n là số hạng tổng quát của dãy số nào đó cho bởi (2.1)

Bước 1 (tìm u ˜ n): Giải phương trình đặc trưng cấp 2 dạng aλ2+ bλ + c = 0.+ Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực đơn phân biệt λ 1 6= λ 2 thì

Bước 2 (tìm u∗n): Việc tìm u∗n nói chung sẽ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên,trong một số trường hợp có thể làm được Trong phạm vi luận văn này, chúngtôi chỉ xét các trường hợp sau:

+ f(n) = P m (n)rn, r ∈ R và P m (n) là đa thức bậc m và λ = r là nghiệm bội

k (k = 0, 1, 2) của phương trình đặc trưng thì u ∗

n = nkQ m (n)rn, Q m (n) là một đathức bậc m

được cho bởi công thức truy hồi tuyến tính cấp 1 dạng

(ii) Nếu f(n) không có dạng ở trên, bài toán xác định công thức tổng quátcủa dãy số sẽ phức tạp hơn Trong một số trường hợp đặc biệt, chúng ta có thể

sử dụng các phép đổi biến số để đưa về dạng đơn giản hơn

Sau đây chúng ta sẽ xét một số ví dụ cụ thể về bài toán xác định công thức

số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi tuyến tính cấp 1 vàcấp2

Ví dụ 2.1.3 Xác định công thức tổng quát của dãy số (u n ) cho bởi

Lời giải Với mọi n ≥ 1ta có un+1−u n = −1

3 Đây là công thức truy hồi tuyến

1

Phương trình đặc trưng λ − 1 = 0 có nghiệm λ = 1 nên u ˜ n = A.1 n = A trongkhi u∗n = nM vì λ = r = 1 là một nghiệm của đa thức đặc trưng Thay vào ta có

3 trong khi Ví dụ 2.1.4 cho ta một cấp số nhân với

với mọi n ≥ 1 hay u∗n = −(2n + 3)2 n

Ví dụ 2.1.6 Xác định công thức tổng quát của dãy số cho bởi

2,n + 6.2 n suy ra u n = A.2 n + n2+ 3n.2 n Vì u 1 = 17 nên A = 5 và do

đó công thức tổng quát của dãy số là u n = 5.2n+ n2+ 3n.2n

Ví dụ 2.1.7 (Đề thi HSG Nghệ An, năm học 2015-2016) Xác định công thứctổng quát của dãy số cho bởi

n−1

, n ≥ 1.

Ví dụ 2.1.8 Xác định công thức tổng quát của dãy số cho bởi







u 1 = 1, u 2 = 3, 2u n+2 − 5u n+1 + 2u n = −n2− 2n + 3, n ≥ 1.

Lời giải Phương trình đặc trưng 2λ2 − 5λ + 2 = 0 có hai nghiệm λ = 2 và

λ = 1

2 Do đó u ˜ n = A.2 n + B. 1

2 n Ta có f(n) = −n2− 2n + 3 và phương trình đặctrưng có hai nghiệm phân biệt khác λ = r = 1 nên u ∗

n = M n2+ N n + P Từ hệthức truy hồi của dãy số(u n ) ta có

n = M.2 n Suy ra M.2n+2− 2M.2n+1+ M.2 n = 3.2 n với mọi

n ≥ 1 hay u∗n = 3.2 n Như vậy u n = ˜ u n + u ∗

n = A + Bn + 3.2 n Từ u 1 = 1, u 2 = 0 ta

có A = 2, B = −7, suy ra u n = 2 − 7n + 3.2 n

Ví dụ 2.1.10 Xác định công thức của các dãy số (u n ) và (v n ) cho bởi

2.1.3 Dãy số cho bởi công thức truy hồi phi tuyến

Bài toán: Xác định số hạng tổng quát của dãy cho bởi công thức truy hồidạng phi tuyến Các dạng toán được đề cập ở đây bao gồm công thức truy hồidạng đa thức, phân thức và căn thức

Phương pháp giải: Rõ ràng, bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy chobởi công thức truy hồi dạng phi tuyến sẽ khó hơn dạng tuyến tính Hơn nữa,nhiều lớp bài toán dạng này sẽ không tìm được lời giải Tuy nhiên, trong một sốtrường hợp chúng ta có thể dự đoán được công thức tổng quát để chứng minhbằng quy nạp hoặc chuyển đổi bài toán về dạng tuyến tính bằng các phép đổi

Ví dụ 2.1.11 Xác định công thức tổng quát của dãy số cho bởi

3 , Từ đó có thể dự đoán và chứng minh được công thức tổng quát củadãy số là u n = cos2n−1π

2 ,

u n+1 = 4u3n− 3u n , n ≥ 1.

Lời giải Ta có u 1 =

√ 3

Ví dụ 2.1.14 Xác định công thức tổng quát của dãy số cho bởi

3)2n+ 1

√ , n ≥ 1.

Ví dụ 2.1.16 Xác định công thức tổng quát của dãy số cho bởi

Như vậy,u n+2vàu n là hai nghiệm của phương trìnhx2−10u n+1 x+u2n+1+8 = 0

Do đó u n+2 + u n = 10u n+1, n ≥ 1, với u 1 = 1 và u 2 = 9 Áp dụng kết quả về dãy

số cho bởi công thức truy hồi tuyến tính cấp 2 ta được

u n = 3 +

√ 6

6 (5− 2√6)n+ 3−√6

6 (5 + 2

√ 6)n, n ≥ 1.

Bài 2.1.8 Xác định công thức tổng quát của dãy số cho bởi

2.2 Bài toán về tính chất của dãy số

Trong phần này, chúng tôi sẽ xét các bài toán về tính chất của dãy số, baogồm các tính chất số học, tính chất tuần hoàn, điều hòa, tính chất đơn điệu, bịchặn và một số ước lượng về dãy số

u n

, n ≥ 1.

Chứng minh rằng u n là số nguyên với mọi n ≥ 1

Lời giải Từ công thức truy hồi của dãy (u n ) và thay n bởi n − 1 ta được

u n un+2− u 2

n+1 = u n+1 un−1− u 2

n = 2 Suy ra u n (u n+2 + u n ) = u n+1 (un−1 + u n+1 ),hay un+2 + u n

Ví dụ 2.2.2 Cho dãy số (u n ) xác định bởi

Chứng minh rằng (u n ) là một dãy số nguyên

Lời giải Từ công thức truy hồi của dãy(u n )ta cóu2n+1−4u n+1 u n +4u2n = 3u2n−2

hayu2n+1−4u n+1 u n +u2n+2 = 0 Thaynbởin +1ta đượcu2n+2−4u n+2 un+1+u2n+1+

2 = 0 Do đó,un+2vàu nlà hai nghiệm của phương trình x2−4u n+1 x+u2n+1+2 = 0.Suy ra un+2+ u n = 4u n+1 với mọi n ≥ 1 và u1 = 1, u2 = 3 Như vậy, (u n ) là mộtdãy gồm các số nguyên

Ví dụ 2.2.3 Cho dãy số (u n ) được xác định bởi

Chứng minh rằng u2012− 2010 chia hết cho 2011

Lời giải Xét dãy số (v n ) cho bởi

Khi đó, (v n ) là một dãy số nguyên Hơn nữa, u n ≡ v n (mod 2011) với mọi

n ≥ 1 Số hạng tổng quát của dãy số (v n ) là v n = 1

90[49.(−42) n + 41.48 n ], n ≥ 1.Theo định lý Fermat,

Ví dụ 2.2.4 Cho dãy số nguyên (u n ) được xác định bởi

Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p ta luôn có u p chia hết cho p

Lời giải Dãy số đã cho xác định bởi công thức truy hồi tuyến tính cấp 3

với mọi số nguyên tố p hay u p chia hết cho p

Ví dụ 2.2.5 Xét dãy số (u n ) cho bởi

Lời giải Dãy số (u n ) được xác định bởi công thức truy hồi tuyến tính cấp

2 Phương trình đặc trưng λ2 − 6λ + 1 = 0 có hai nghiệm λ = 3 ±√8 Do đó

u n = A(3 + √

8)n+ B(3 −√8)n Vì u1= 3 và u2 = 17 nên A = B = 12 Do đó

u n = 12



(3 + √

8)n− (3 −√8)n2

Ví dụ 2.2.6 Cho dãy số (u n ) xác định bởi

n = 1, 2, Kết hợp hệ thức truy hồi của dãy số (u n ) ta có

u2n+1− u n (45u n+1 − 7u n ) − 7n+1= 0

hay

u2n+1− 45u n u n+1 + 7u2n− 7n+1 = 0, n ≥ 1.

Đẳng thức này chứng tỏ phương trình bậc hai x2− 45u n x + 7u2n − 7 n+1 = 0

theo biến x có nghiệm nguyên un+1 Do đó biệt thức ∆ của phương trình phải

là số chính phương, suy ra ∆ = (45u n )2− 4(7u2n − 7n+1) = 1997u2n+ 4.7n+1 là một

số chính phương với mọi n ≥ 1

2.2.2 Tính chất tuần hoàn, điều hòa

Bài toán: Chứng minh dãy số thỏa mãn tính chất tuần hoàn, phản tuần hoàncộng tính hoặc nhân tính, tính chất điều hòa

Phương pháp giải: Xác định công thức tổng quát của dãy số bằng các phươngpháp đã trình bày trong Mục 2.1 và sử dụng định nghĩa, tính chất liên quan

Ví dụ 2.2.7 Cho dãy số (u n ) xác định bởi

Chứng minh rằng (u n ) là một dãy số tuần hoàn

Lời giải Ta có u n+2 − 2 cos2019π u n+1 + u n = 0 Đây là công thức truy hồi

 π 

trưngλ2−2 cos π

2019λ+1 = 0có hai nghiệm phức liên hợpλ = cos π

2019 ±i sin π

2019.Suy ra u n = A cos nπ

Vậy (u n ) là một dãy số tuần hoàn cộng tính với chu kỳ 4038

Ví dụ 2.2.8 Cho dãy số (u n ) xác định bởi

2 nên tồn tại số thực θ ∈ 0;π

3

sao cho sin θ = u 1.Khi đó

u2 = −1

2u1+

√ 3 2

u2k+1, với n = 2m(2k + 1), m ∈N∗ , k ∈N.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp giải số dạng toán

về dãy số, bao gồm toán xác định cơng thức tổng qt dãy. .. dãy số, tốn

về tính chất hội tụ dãy số Ngồi ra, đề cập phươngpháp sáng tạo toán dãy số dựa toán gốc Các tài liệutham khảo chương bao gồm [1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13]

2.1 Bài. .. trình bày số dạng tốn xác định cơng thức tổng quát củadãy số, bao gồm dãy số cho phương pháp liệt kê, dãy số cho cơngthức truy hồi tuyến tính phi tuyến

2.1.1 Dãy số cho phương pháp liệt