Nghiên cứu về một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG BÙI QUANG CƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ NGHIÊN CỨU VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG P

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

BÙI QUANG CƯỜNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

NGHIÊN CỨU VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM

GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 8460113

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

BÙI QUANG CƯỜNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

NGHIÊN CỨU VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM

GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 8460113

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phạm vi nghiên cứu 1

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Phương trình như thế nào là phương trình phi tuyến 3

1.2 Giới thiệu các phương pháp giải phương trình phi tuyến 4

1.2.1 Các phương pháp giải nghiệm đúng 4

1.2.2 Các phương pháp giải nghiệm gần đúng 4

1.3 Các bất đẳng thức thông dụng trong chương trình phổ thông 4

1.4 Sai số và các tính chất của sai số 6

1.5 Đánh giá sai số nghiệm của phương trình phi tuyến 7

1.6 Nghiệm và khoảng phân li nghiệm 8

1.7 Hàm số đồ thị lồi, lõm 13

CHƯƠNG II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM 14

CỦA PHƯƠNG PHI TUYẾN 14

2.1 Một số phương pháp tìm nghiệm đúng của các phương trình phi tuyến trong trường phổ thông 14

2.1.1 Phương pháp biến đổi tương đương 14

2.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình 15

2.1.3 Phương pháp hàm số 18

2.1.4 Phương pháp đánh giá hai vế 19

2.1.5 Phương pháp lượng giác giác hóa 22

2.2 Một số phương pháp giải gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến một ẩn 24

2.2.1 Phương pháp chia đôi 24

2.2.2 Phương pháp lặp đơn 29

2.3 Phương pháp Newton (tiếp tuyến) 39

2.4 Phương pháp dây cung 46

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình phi tuyến là một dạng toán hay và rất khó đối với giáo

viên cũng như học sinh trong trường phổ thông, nó là sự tích hợp lồng ghép các hàm số như: Hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm logarit, hàm mũ, hàm vô tỉ,… việc biến đổi sơ cấp để đưa về các phương trình thương gặp không hề đơn giản, nghiệm của chúng nhiều khi là nghiệm vô tỉ, nghiệm gần đúng hay phải biểu diễn theo các số siêu việt như  , e.Việc giải các phương trình phi tuyến có thể tìm được nghiệm đúng chính xác nhưng hầu như là rất khó và thông thường rất hiếm có thể tìm được nghiệm chính xác, do đó hướng tập trung cho việc giải một phương trình phi tuyến thường được đưa về tìm nghiệm gần đúng với một

sai số cho trước nào đó Được sự gợi ý của thầy giáo TS Lê Hải Trung tôi chọn

đề tài: “Nghiên cứu về một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến” cho luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Hệ thống lại các kiến thức về Phương trình đa thức, Phương trình vô tỉ, Phương trình lượng giác, Phương trình mũ, Phương trình logarit

- Hệ thống lại kiến thức về công thức nghiệm gần đúng, các định lý về hàm số liên tục, định lý Lagrange…

- Nghiên cứu về phương pháp giải (nghiệm đúng và gần đúng) phương trình phi tuyến

3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu về phương trình phi tuyến một biến thực

4 Phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu về phương trình phi tuyến một biến thực, nghiên cứu về các

phương pháp giải phương trình phi tuyến một biến thực

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

-Trình bày một số phương pháp giải các dạng phương trình đa thức, phương

trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình mũ, phương trình logarit và một số phương trình hỗn hợp

- Đề xuất và đưa ra các phương pháp giải các dạng phương trình phi tuyến

6 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm kiếm, tổng hợp các tài liệu liên quan đến phương trình phi tuyến

- Vận dụng các kiến thức liên quan đến phương trình phi tuyến và các phương pháp giải hệ đã học

- Trong luận văn có sử dụng các kiến thức thuộc các lĩnh vực như: Giải tích, Đại số, phần mềm toán Mathematica…

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài cung cấp những thông tin cần thiết để có thể áp dụng vào giải các bài toán về phương trình phi tuyến Đề tài có thể được sử dụng để làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, giáo viên dạy Toán trong chương trình THPT và các đối tượng quan tâm đến phương trình phi tuyến

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Phương trình như thế nào là phương trình phi tuyến

Trong chương trình phổ thông, phương trình phi tuyến chưa được định nghĩa một cách cụ thể, vậy làm thế nào trả lời được câu hỏi: Phương trình như thế nào

là phương trình phi tuyến ? Trước tiên ta tìm hiểu khái niệm về phương trình tuyến tính

Định nghĩa 1.1 Một mối quan hệ (biểu thức) như sau được gọi là phương trình

Tất cả các dạng phương trình không phải là tuyến tính ta gọi chúng là

phương trình phi tuyến

1.2 Giới thiệu các phương pháp giải phương trình phi tuyến Trong chương trình THPT chủ yếu chúng ta tập trung nghiên của về phương

pháp giải các phương trình phi tuyến một ẩn số Khi tiếp cận với phương trình

phi tuyến ta có các phương giải thường gặp:

1.2.1 Các phương pháp giải nghiệm đúng

Đối với phương trình giải được nghiệm đúng thì ta thường dùng các phương

pháp biến đổi sơ cấp như: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, biến đổi thành

phương trình tích, dùng phương pháp hàm số, dùng các bất đẳng thức đưa về

dạng đơn giản và ta giải được nghiệm đúng của phương trình

1.2.2 Các phương pháp giải nghiệm gần đúng

Có những phương trình phi tuyến phức tạp mà nghiệm là số vô tỉ, số siêu việt thì

ta không thể áp dụng được các phương pháp thông thường như trên, ta có thể

giải nghiệm gần đúng bằng các phương pháp sau đây:

+ Phương pháp chia đôi

+ Phương pháp lặp đơn

+ Phương pháp Newton (tiếp tuyến)

+ Phương pháp dây cung

1.3 Các bất đẳng thức thông dụng trong chương trình phổ thông

Bất đẳng thức Cauchy (xem [1]) được biểu diễn dưới các dạng sau đây:

Cho x1, x2, x3 , , xn là các số thực không âm, khi đó ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2   x n

Bất đẳng thức Bunhiacopxki và các dạng biểu diễn của bất đẳng thức

Bunhiacopxki đƣợc biểu diễn bằng các biểu thức sau đây:

Cho hai dãy số tùy ý a ; a ; a ; ; a1 2 3 n và b ; b ; b ; ; b1 2 3 n Khi đó ta có: Dạng 1:

- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 khi:

1.4 Sai số và các tính chất của sai số

a a a

  được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a

Định nghĩa 1.3 Nếu    a a a d thì a d   a a d Ta nói a là số gần

đúng của a với độ chính xác d, và quy ước viết gọn là a   a d

Định nghĩa 1.4 Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt

 a càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn

 Ta thường viết a dưới dạng phần trăm

Trong thực hành ta thường cần làm tròn số, việc làm đó được gọi là phép

tính quy tròn Việc quy tròn số được thực hiện theo quy tắc sau đây:

 Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó

và các chữ số bên phải nó bởi số 0



đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng qui tròn

Nhận xét 1.1 Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng nào đó thì sai số

tuyệt đối của số qui tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn

một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó

Nhận xét 1.2 Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc

Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc

1.5 Đánh giá sai số nghiệm của phương trình phi tuyến

Khi tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến ta thường thiết lập một dãy các số: x x0, , ,1 x n, sao cho khi n thì x n , trong đó

là nghiệm đúng của phương trình:

f x f

nghĩa là khi x n khá gần thì f x n khá gần f có thể xem f x n 0,

hay x n thực sự có thể xem là xấp xỉ với nghiệm

Trong thực tế khi tính toán xấp xỉ người ta thường cho trước số 0 đủ nhỏ để x n thì chọn x nlàm nghiệm xấp xỉ và dừng lại quá trình tính

1.6 Nghiệm và khoảng phân li nghiệm

Xét phương trình phi tuyến 1.10

trong đó hàm y f x là hàm số một ẩn x cho trước, nghiệm thực của phương

trình (1.10) là số thực sao cho f 0

Ý nghĩa hình học của nghiệm.

Nghiệm thực của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị (C) của

Định lí 1.2 (Xem [1]).Cho hàm số f liên tục trên đoạna; b Nếu f(a) f(b) 0

thì tồn tại ít nhất một số c  a; b sao cho f(c) 0 Khi đó số c là nghiệm của

phương trình Hình vẽ:

Chú ý : Ta có thể phát biểu định lí theo cách khác như sau:

Cho hàm số f liên tục trên đoạn a; b Nếu f(a) f(b) 0 thì phương trình

Định nghĩa 1.6 Khoảng a b; nào đó gọi là khoảng phân li nghiệm của phương trình f x 0 1 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó

và đơn điệu đồng thời f a f b 0 thì a b; là khoảng phân li nghiệm của phương trình

3 Dựa vào số giao điểm của hai đồ thị hàm số y g x và y h x ta suy

ra số nghiệm và khoảng phân li nghiệm

Chú ý: Nếu không vẽ được đồ thị ta thực hiện cách khác

Giả sử ta phải tìm nghiệm phương trình f x 0 1 trên (a; b) ta tính giá trị f a ; f b và các giá trị f x i của hàm số tại các điểm x i a b i; , 1,n

thì x x i; i 1 là một khoảng phân li nghiệm

Nhận xét 1.3

1 Một đa thức bậc n có không quá n nghiệm vì vậy phương trình đa thức có không quá n khoảng cách li

2 Nếu hàm y f x có thể tính đạo hàm và xét dấu đơn giản thì ta lập bảng biến thiên để dò các khoảng cách li nghiệm

Vì vậy ta chỉ xét trên 1;

f đồng biến trên 1; , mặt khác f 1 f 2 0

Vậy phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực và khoảng phân li nghiệm là 1;2

Ví dụ 1.4 Cho phương trình:

3 2 5 0

Chứng minh phương trình có nghiệm thực và tìm khoảng phân li nghiệm

Lời giải

Hàm số: f x x3 2x 5 xác định và liên tục trên tập số thực

2 2 ' 3 2; ' 0 3 f x x f x x Bảng biến thiên: x  2

3 2

3 

y + 0 – 0 +

y 

2 3 f



Vì 2 45 4 6 0

9 3

f nên đồ thị hàm số chỉ cắt Ox tại một điểm duy

nhất Suy ra phương trình đã cho chỉ có một nghiệm thực duy nhất Đồng thời: f 3 f 2 16 0 nên khoảng (-3; -2) chứa nghiệm của phương trình Vậy    3; 2 là khoảng phân li nghiệm

Từ đồ thị ta suy ra được giao điểm của hai đồ thị thuộc khoảng (0;1)

hàm y 3x đồng biến , y 3 2x nghịch biến nên phương trình (*) có nghiệm

duy nhất thuộc khoảng (0;1)

Vậy khoảng phân li nghiệm của phương trình (2) là 0;1

Ví dụ 1.6 Tìm các khoảng phân li nghiệm của phương trình :

Bảng dấu:

Kết luận:

các khoảng phân li nghiệm là (-1; 0) và (1; 2)

1.7 Hàm số đồ thị lồi, lõm

Định nghĩa 1.7 Cho hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng a b; + Đồ thị của hàm số là lõm trên a b; nếu f ' x tăng trên khoảng a b;

Tại mọi điểm trên đồ thị tiếp tuyến d luôn nằm dưới đồ thị ( xem hình vẽ).

+ Đồ thị của hàm số là lồi trên a b; nếu f ' x giảm trên khoảng a b;

Tại mọi điểm trên đồ thị tiếp tuyến d luôn nằm trên đồ thị (xem hình vẽ).

+ Nếu f '' x 0, x a b; thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng a b;

+ Nếu f '' x 0, x a b; thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng a b;

CHƯƠNG II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM

CỦA PHƯƠNG PHI TUYẾN 2.1 Một số phương pháp tìm nghiệm đúng của các phương trình phi tuyến

trong trường phổ thông

2.1.1 Phương pháp biến đổi tương đương

Dùng các phép biến đổi tương đương đưa phương trình phức tạp thành dạng

2.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình

1 05

1 17 2

  x   t

2 2

2.10 f t  f  2  t 2 Với t 2 thì

2.1.4 Phương pháp đánh giá hai vế

Ví dụ 2.11 Giải phương trình

cosx 1 cos 3 x 1 1 2.11

2 2 2Vậy phương trình (2.11) vô nghiệm

t t

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số:1 2;1 2;1 2; 13 ; 13

3t 3t 3t t t , khi đó phương trình 2.12 trở thành

2.1.5 Phương pháp lượng giác giác hóa

4 cost - 3 cos = 1t cost

x x x

Đặt tant log x t; ; , phương trình đã cho trở thành

2 2 2

2019

1 3

Phương trình g x 0 trở thành :

38cos t 6cost 1 0

Xét phương trình phi tuyến 1.10 , trong đó y f x là hàm số một ẩn x cho

trước, nghiệm thực của phương trình (1.10) là số thực sao cho f 0 Với giả thuyết nghiệm thực  đã phân li trong khoảng a b;  Ta thu nhỏ dần

khoảng phân li nghiệm bằng cách chia đôi liên tiếp các khoảng phân li nghiệm

Như vậy sau khi chia đôi khoảng a b;  ta thu được khoảng phân li nghiệm thu nhỏ là a;c hay c;b , kí hiệu là a b1 1; , nó nằm trong a b;  và chỉ dài bằng

Bước n: Lặp lại việc làm trên đến lần thứ n ta được khoảng phân li nghiệm thu

nhỏ thứ n, kí hiệu a b n n; , nó nằm trong a b;  và độ dài:

Dãy  a n tăng và bị chặn trên bởi b, dãy  b n giảm và bị chặn dưới bởi a nên cả

2 dãy đều có giới hạn

Khi n  thì a n,bn nên ta nói phương pháp chia đôi hội tụ

Vậy có thể lấy a n làm giá trị gần đúng của , lúc đó sai số là:

Do đó với n đủ lớn, a hay n b điều đủ gần n 

Ý nghĩa hình học: Xét trường hợp f a 0 và f b 0

Nhận xét: Ưu điểm của phương pháp chia đôi là đơn giản, không cầu kì, dễ

thực hiện Nhưng tốc độ hội tụ chậm nghĩa là nếu khoảng phân li nghiệm quá

rộng thì ta phải thực hiện rất nhiều bước mới đạt được nghiệm cần thiết

Ví dụ 2.14 Cho phương trình

f x = 3 + 2x - 3 = 0, 2.14  x   tìm nghiệm gần đúng x7 và đánh giá sai số của chúng

Vì f  1 2 0  nên khoảng tiếp theo là 1 ;1

3 0,7795 04

5 8

5 0,237 08

9 0,019 016

19 0,107 032

37 0,043 064

73 0,011 0128

x x b

     

Ví dụ 2.15 Cho phương trình

5 -3cos3x = 0 2.15x3   Tìm nghiệm gần đúng của phương trình với sai số 0,1

số x n theo quy tắc :

x n x n1, n = 1, 2 (2.17) vớix cho trước 0 a, b (2.18)

Quá trình tính này có tính lặp đi lặp lại nên phương trình ở đây gọi là phương pháp lặp, hàm  gọi là hàm lặp

b Sự hội tụ

Nếu dãy x n  khi n  thì ta nói phương pháp lặp (2.17) hội tụ Khi

phương pháp lặp hội tụ thì xncàng gần  nếu n càng lớn Cho nên ta có thể xem xnvới n xác định là giá trị gần đúng của  Nếu phương pháp lặp không hội tụ thì xn có thể rất xa  Vì vậy chỉ có phương pháp lặp hội tụ mới có giá trị Để kiểm tra xem một phương pháp lặp có hội tụ hay không ta có định lí sau:

Định lí 2.2.1.Giả sử phương pháp lặp (2.17) - (2.18) thỏa mãn các điều kiện

sau:

1) a, b là khoảng phân li nghiệm  của phương trình (2.16)

2) Mọi xn tính theo (2.17) đều nằm tronga, b,

3) Hàm  x có đạo hàm thỏa mãn

 x    q 1 x  a b; , (2.29) trong đó q là một hằng số

Thế thì phương pháp lặp (2.17) hội tụ: x n  khi n  

(2.20)

 

  Đem đẳng thức này trừ (2.17) vế với vế ta được:

Theo giả thiết (2.19) ta có  c  q 1 Do đó từ (2.23) suy ra:

 

x n   c  x n1 q x n1

Vậy ta có: x n qx n1