HH10 c1 phan loai bai tap vecto va cac phep toan

CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VÉCTƠ *Phương pháp: + Sử dụng qui tắc ba điểm Chasles; hình bình hành; trung điểm.. + Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP và ngược lại;

HÌNH HỌC 10

CHƯƠNG I - VÉC TƠ

I VÉC TƠ:

1 Định nghĩa:

Véctơ là một đoạn thẳng có:

+ Một đầu được xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn

+ Hướng từ gốc đến ngọn gọi là hướng của véctơ

+ Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ (Mô đun)

Véctơ có gốc A, ngọn B được kí hiệu là AB ; độ dài của AB kí hiệu là AB

Một véc tơ còn có kí hiệu bởi một chữ cái in thường phía trên có mũi tên như: ;a b; c;

2 Véctơ không: Véctơ không: 0 là véctơ có:

+ Điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau

+ Độ dài bằng 0

+ Hướng bất kì

3 Hai véctơ cùng phương:

Hai véctơ AB CD; gọi là cùng phương: kí hiệu // //

A,B,C,D th¼ng hµng

AB CD

AB CD 

⇔



4 Hai véctơ cùng hướng:

Hai véctơ AB CD ; gọi là cùng hướng: kí hiệu / /

hai tia AB,CD cïng h-íng





5 Hai véctơ ngược hướng:

Hai véctơ AB CD ; gọi là ngượcchướng: kí hiệu / /

hai tia AB,CD ng−îc h−íng



6 Hai véctơ bằng nhau: Hai véctơ AB CD ; bằng nhau: kí hiệu AB CD AB CD

=



↑↑



7 Hai véctơ đối nhau: Hai véctơ AB CD ; đối nhau: kí hiệu AB CD AB CD

=



= − ⇔ 

↑↓



8 Góc của hai véctơ:

Góc của hai véctơ AB CD ; là góc tạo bởi hai tia Ox; Oy lần lượt cùng hướng với hai tia AB; CD + Khi AB ; CD không cùng hướng thì 0o ≤ xOy ˆ ≤ 180o

+ Khi AB ; CD cùng hướng thì xOy ˆ = 0o

II CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ:

1 Phép cộng véctơ:

Định nghĩa: Tổng của hai véctơ a b ; là một véctơ được xác định như sau:

+ Từ một điểm O tùy ý trên mặt phẳng dựng véctơ OA = a

+ Từ điểm A dựng véctơ AB = b

+ Khi đó véctơ OB gọi là véctơ tổng hợp của hai véctơ a b ; : OB = + a b

Hệ thức Chasles (Qui tắc ba điểm):

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn luôn có: AB + BC = AC

(Hệ thức Chasles có thể mở rộng cho n điểm liên tiếp)

Phép cộng hai véctơ đồng qui (Qui tắc hình bình hành): AB + AD = AC (với ABCD là hình bình hành)

Qui tắc trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB ta luôn có: 1 ( )

2

Tính chất:

- Giao hoán: OB = + a b

- Kết hợp: ( ) a + + = + + b c a ( ) b c

- Cộng với không: a + = 0 a

- Cộng với véctơ đối: a + − = ( a ) 0

2 Phép trừ véctơ: a − = + − b a ( b )

Với a − = ⇔ = + b c a b c

Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kì ta có: AB = OB − OA

3 Phép nhân một véctơ với một số thực:

a Định nghĩa: k a là một véctơ:

- Với a ≠ 0; k ≠ 0thì véctơ k a sẽ cùng phương với a và sẽ:

+ Cùng hướng với a nếu k>0

+ Ngược hướng với a nếu k<0

+ Có độ dài k a = k a

- 0 a = k 0 = 0

b Tính chất:

+) 1.a = a ;( 1) − a = − a +)m n a ( ) = ( mn a ) +) ( m + n a ) = ma + na

+) m a ( + = b ) ma + mb +) a ; b cùng phương ⇔ = a kb ( a ≠ 0)

4 Tỉ số của hai véctơ cùng phương:





 > ↑↑



⇔ =  < ↑↓





=





0 nÕu a b

a b

k a

b

k

PHÂN LOẠI BÀI TẬP VỀ VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP

TOÁN

DẠNG 1 CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VÉCTƠ

*Phương pháp:

+ Sử dụng qui tắc ba điểm (Chasles); hình bình hành; trung điểm

+ Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP và ngược lại; biến đổi hai vế cùng thành một đẳng thức; biến đổi đẳng thức đã cho thành một đẳng thức luôn đúng

*Bài tập minh hoạ:

Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D chứng minh rằng:

a.AB + CD = AD + CB b AB − CD = AC − BD

c AB + DC + BD + CA = 0 d AB + CD + BC + DA = 0

Bài 2 Cho tam giác A, B, C G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm tuỳ ý trong mặt

phẳng CM:

a GB + GB + GC = 0 b MB + MB + MC = 3 MG

Bài 3 Cho hình bình hành ABCD tâm I AO = a BO ; = b

a Chứng minh rằng: AB + AD = 2 AI

b Tính AC BD AB BC CD DA ; ; ; ; ; theo a b ;

Bài 4 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng: AD+BE+CF=AE+BF+CD

Bài 5 Cho tam giác ABC I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CM: a IA b IB + +c IC =0

Bài 6 Cho hai tam giác ABC và A'B'C' Gọi G là trọng tâm của G và G' Chứng minh rằng:

AA +BB +CC = GG

Bài 7 Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD Chứng minh rằng:

4

AD+BD+AC+BC= MN

Bài 8 Gọi O; H; G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam giác ABC

Chứng minh rằng:a) HA + HB + HC = 2 HO b) HG = 2 GO

Bài 9 Cho tam giác đều ABC tâm O M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, F lần lượt là

hình chiếu của nó trên BC, CA, AB Chứng minh rằng: 3

2

MD + ME + MF = MO

Bài 10 Cho tam giác ABC Vẽ ra phía ngoài của tam giác các hình bình hành ABIF, BCPQ,

CARS Chứng mình: RF + IQ + PS = 0

Bài 11 Cho 4 điểm A, B, C, D; I, F lần lượt là trung điểm của BC, CD CM:

2 AB + AI + FA + DA = 3 DB

Bài 12 Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G CM:

a 2 AC 1 AB

AB AC 3

CH = − +

b M là trung điểm của BC CM: 1 AC 5 AB

SÁCH THAM KHẢO MỚI NHẤT CHO NĂM HỌC 2019-2020

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605

Đặt mua tại:

https://goo.gl/forms/nsg1smHiVcjZy1cH2 Xem thêm nhiều sách tại:

http://xuctu.com/

Hổ trợ giải đáp: sach.toan.online@gmail.com

fb/quoctuansp

DẠNG 2 XÁC ĐỊNH ĐIỂM THOẢ MÃN MỘT ĐẲNG THỨC VÉCTƠ

*Phương pháp chung:

+ Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng: OM = a trong đó O và a đã biết

+ Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một véctơ bằng véctơ a Khi đó ngọn của véctơ này chính là điểm M

*Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho hai điểm A, B Xác định điểm M biết: 2 MA − 3 MB = 0

Bài 2 Cho hai điểm A, B và một véc tơ v Xác định điểm M biết: MA + MB = v

Bài 3 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho

NC=2NA

a Xác định điểm K sao cho: 3 AB + 2 AC − 12 AK = 0

b Xác định điểm D sao cho: 3 AB + 4 AC − 12 KD = 0

Bài 4 Cho tam giác ABC

a Xác định điểm I sao cho: IA + 2 IB = 0

b Xác định điểm K sao cho: KA + 2 KB = CB

c Xác định điểm M sao cho: MA + MB + 2 MC = 0

Bài 5 Cho các điểm A, B, C, D, E Xác định các điểm O, I, K sao cho:

2 3 0

b IA IB IC ID

Bài 6 Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M sao cho: MA + MB + 2 MC = 0

Bài 7 Cho tam giác ABC Xác định các điểm M, N sao cho:

a MA + 2 MB = 0 b.NA + 2 NB = CB

Bài 8 Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thoả mãn: 3AM = AB + AC + AD

Bài 9 Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm O thoả mãn: OA + OB + OC + OD = 0

Bài 10 Cho tam giác ABC cố định Chứng minh a = MA + 4 MB − 5 MC không phụ thuộc vị trí của điểm M

Bài 11 Cho tứ giác ABCD Chứng minh chỉ có một điểm M thoả mãn hệ thức:

2 MA + 3 MB − 5 MC + MD = 0

SÁCH THAM KHẢO MỚI NHẤT CHO NĂM HỌC 2019-2020

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605

Đặt mua tại:

https://goo.gl/forms/nsg1smHiVcjZy1cH2 Xem thêm nhiều sách tại:

http://xuctu.com/

Hổ trợ giải đáp: sach.toan.online@gmail.com

fb/quoctuansp

DẠNG 3 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

*Phương pháp chung:

Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: AB=k AC ( k∈R ) Để chứng minh được điều này ta có thể áp dụng một trong hai phương pháp:

+ Cách 1: áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ

+ Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian

*Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho: BD=DE=EC

a Chứng minh: AB+AC=AD+AE

b Tính véctơ: AS= AB+AD+AC+AE theo AI

c Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng

Bài 2 Cho tam giác ABC Đặt AB=u ; AC=v

a Gọi P là điểm đối xứng với B qua C Tính AP theo u ; v?

b Qọi Q và R là hai điểm định bởi: AB

3

1 AR

; AC 2

1

AQ= = Tính RP ; RQ theo u ; v

c Suy ra P, Q, R thẳng hàng

Bài 3 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J sao cho: 2 IA+3 IC=0, 2 JA+5 JB+3 JC=0

a CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm của AB và BC

b CMR: J là trung điểm của BI

Bài 4 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy các điểm I, J thoả mãn: IA=2 IB; 3 JA+2 JC=0

Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 5 Cho tam giác ABC Lấy các điểm M, N, P thoả mãn:

0;

MA + MB = 3 AN − 2 AC = 0; PB = 2 PC

Chứng minh M, N, P thẳng hàng

Bài 6 Cho hình bình hành ABCD Lấy các điểm I, J thoả mãn:3 JA+2 JC−2 JD=0 ; JA−2 JB+2 JC=0

Chứng minh I, J, O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD

Bài 7 Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực

tâm của tam giác ABC CMR: O, G, H thẳng hàng

Bài 8 Cho tam giác ABC Lấy các điểm M, N, P sao cho: MB − 3 MC = 0, AN=3 NC, PA+PB=0

Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng

DẠNG 4 CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU

*Phương pháp chung:

Để chứng minh M và M' trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng:

Cách 1: Chứng minh MM '=0

Cách 2: Chứng minh OM=OM ' với O là điểm tuỳ ý

*Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho tam giác ABC Lấy các điểm A 1∈BC ; B 1∈AC ; C 1∈AB sao cho: AA 1+BB 1+CC 1 Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm

Bài 2 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Chứng

minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm

DẠNG 5 QUỸ TÍCH ĐIỂM

*Phương pháp chung:

Đối với các bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:

- Nếu MA = MB với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB

- Nếu MC = k AB với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng AB k

- Nếu MA=k BC thì

+ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC nếu k∈R

+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng BC nếu k∈R+ + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng BC nếu k∈R−

*Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:

2

3 MC

MB

MA+ + = +

b MA+3 MB−2 MC= 2 MA−MB−MC

Bài 2 Cho tam giác ABC M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng

a CMR: véctơ v=3 MA−5 MB+2 MC không đổi

b Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: 3 MA+2 MB−2 MC = MB−MC

TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ

PHẦN 1 TRỤC TOẠ ĐỘ Bài 1 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −2 và 5

a/ Tìm tọa độ của AB→

b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2MA→ + 5MB→ = 0

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA + 3NB = −1

Bài 2 Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c

a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MA→ + MB→ − MC→ = 0

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA→ − 3NB→ = NC→

Bài 3 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −3 và 1

a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA − 2 MB = 1

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB

Bài 4 Trên trục x'Ox cho 4 điểm A (−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)

a/ CMR :

AC1 +

AD1 =

AB2 b/ Gọi I là trung điểm AB CMR: IC.ID=IA2

c/ Gọi J là trung điểm CD CMR: AC.AD=AB.AJ

PHẦN 2 HỆ TOẠ ĐỘ ĐỀ CÁC VUÔNG GÓC

I TOẠ ĐỘ VÉC TƠ - TOẠ ĐỘ ĐIỂM:

Bài 1 Biểu diễn véc tơ u=x i+y j biết a) u ( 2 ;−5 ) b) u (−4 ; 0 )

Bài 2 Xác định toạ độ của véc tơ u biết: a) u=−5 i−2 j b) u=3 i c)u=−7 j

Bài 3 Xác định toạ độ và độ dài của véc tơ c biết

a) c=a+ b; a ( 2 ;−1 ); b ( 3 ; 4 ) b) c= a− b; a (−2 ; 3 ); b ( 3 ;−6 )

Bài 4 Cho ba điểm A(-1;1); B(1;3)

a) Xác định toạ độ của các véc tơ: AB ; BA b) Tìm toạ độ điểm M sao cho BM ( 3 ; 0 )

c) Tìm toạ độ điểm N sao cho NA ( 1 ; 1 )

II BIỂU DIỄN VÉC TƠ:

Bài 1 Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ b a ; biết:

a) a ( 2 ;−1 ); b (−3 ; 4 ); c (−4 ; 7 ) b) a ( 1 ; 1 ); b ( 2 ;−3 ); c (−1 ; 3 )

Bài 2 Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3) Hãy biểu diễn véc tơ AD theo các véc tơ

AB ; AC

Bài 3 Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ b a ; biết:

a) a (−4 ; 3 ); b (−2 ;−1 ); c ( 0 ; 5 ) b) a ( 4 ; 2 ); b ( 5 ; 3 ); c ( 2 ; 0 )

Bài 4 Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4) Hãy biểu diễn véc tơ AD theo các véc tơ

AB ; AC

III XÁC ĐỊNH ĐIỂM THOẢ MÃN MỘT ĐẲNG THỨC VÉC TƠ, ĐỘ DÀI:

Bài 1 Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)

a Xác định toạ độ điểm E sao cho AE=2 BC

b Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5

c Tìm tập hợp điểm M biết: 2 ( MA+MB )−3 MC = MB−MC

Bài 2 Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1) Xác định toạ độ:

a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA1 c) Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác

d) Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

Bài 3 Cho M(1+2t; 1+3t) Hãy tìm điểm M sao cho 2

M

2

M y

x + nhỏ nhất

Bài 4 Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7;

2

3 )

a CM: ∆ABC vuông b Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

c Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn: 2 MA+2 MB−3 MC = MA−MC

Bài 5 Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2) Tìm toạ độ của:

a Trọng tâm G của tam giác b Véc tơ trung tuyến ứng với cạnh BC

c Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành d Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

e Điểm M biết: CM=2 AB−3 AC f Điểm N biết: AN+2 BN−4 CN=0

Bài 6 Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3) Tìm toạ độ của:

a Trọng tâm G b Tâm đường tròn ngoại tiếp c Điểm M biết 2 AM−3 CM=AB Bài 7 Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình

bình hành

Bài 8 Cho điểm A(3;1)

a Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong góc phần tư thứ nhất

b Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông OABC

Bài 9 Cho M(1-2t; 1-3t) Hãy tìm điểm M sao cho 2

M

2

M y

x + nhỏ nhất

IV VÉC TƠ CÙNG PHƯƠNG - BA ĐIỂM THẲNG HÀNG:

Bài 1 Cho A(0;4); B(3;2)

a Chứng minh A , B , C biết C(-6-3t;8+2t) b A, B, D không thẳng hàng biết D(3;0) Tính chu

vi ∆ABD

Bài 2 Cho A(2;1); B(6;-1) Tìm toạ độ:

a Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng

b Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng

c Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA=2 5

Bài 3(ĐHNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)

a Tính diện tích tam giác ABC B Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất

Bài 4 Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:

a) A(1;1) và B(2;-4) b) A(1;2) và B(3;4)

Bài 5 Cho M(4;1) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ

độ A và B sao cho:

a Diện tích ∆OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất c 2 2

OB

1 OA

1

+ nhỏ nhất

Bài 6 Cho A(-1;-4); B(3;4) Tìm toạ độ:

a Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng

b Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng

c Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA=3 5

Bài 7: Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4)

a Tính diện tích tam giác ABC

B Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất

Bài 8 Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:

a) A(1;2) và B(3;4) b) A(1;1) và B(2;-5)

Bài 9 Tìm điểm P trên trục tung sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:

a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-3)

Bài 10 Tìm điểm P trên đường thẳng (d): x+y=0 sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ

nhất, biết:a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-2)

Bài 11 Cho M(1;4) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ

độ A và B sao cho:

a Diện tích ∆OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất c 2 2

OB

1 OA

1

+ nhỏ nhất

Bài 12 Cho M(1;2) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ

độ A và B sao cho:

a Diện tích ∆OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất c 2 2

OB

1 OA

1

+ nhỏ nhất

SÁCH THAM KHẢO MỚI NHẤT CHO NĂM HỌC 2019-2020