Sự suy hao năng lượng biên độ do va chạm của hai sóng gaussian trong hệ schrödinger tuyến tính có nhiễu

212.2 Sự suy hao biên độ do va chạm của sóng 1 ∆Ac1 vs vận tốc nhóm vd trong va chạm nhanh giữa hai sóng Gaussian được mô tả bởi hệ phương trình sóng khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy h

BỘ Y TẾ

ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

BÁO CÁO TỔNG HỢP

KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

SỰ SUY HAO NĂNG LƯỢNG BIÊN ĐỘ DO VA CHẠM

TUYẾN TÍNH CÓ NHIỄU

Cơ quan chủ trì nhiệm vụ: Khoa Khoa Học Cơ Bản

Chủ trì nhiệm vụ: Huỳnh Thanh Toàn

ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

BÁO CÁO TỔNG HỢPKẾT QUẢ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

SỰ SUY HAO NĂNG LƯỢNG BIÊN ĐỘ DO VA CHẠM

TUYẾN TÍNH CÓ NHIỄU

(Đã chỉnh sửa theo kết luận của Hội đồng nghiệm thu ngày )

Cơ quan chủ quản

(ký tên và đóng dấu)

Chủ trì nhiệm vụ

(ký tên)

Huỳnh Thanh Toàn

Cơ quan chủ trì nhiệm vụ

(ký tên và đóng dấu)

Danh sách hình vẽ

1.1 Hình dạng sóng tại z = 0 (a), z = zi = 2 (b) và z = zf = 4 (c) trong

một va chạm nhanh giữa hai sóng Gaussian trong ống dẫn sóng tuyến

tính có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba Vận tốc nhóm của

hai sóng d1 = 15 Các hình tam giác xanh dương và hình tròn xanh lá

cây minh họa cho sóng 1 và 2 tại z = 0 và minh họa cho sóng 1 và 2 theo

dự đoán lý thuyết tại z = zi (b) và z = zf (c) Các đường cong liền nét

màu đỏ và đường cong đứt nét màu tím trong (b) và (c) tương ứng với

sóng 1 và 2 thu được từ giải số. 141.2 Sự suy hao biên độ do va chạm của sóng 1 ∆A(c)1 vs vận tốc nhóm d1

trong va chạm nhanh giữa hai sóng Gaussian trong ống dẫn sóng tuyến

tính có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba Hình tròn màu đỏ

tương ứng với kết quả thu được từ giải số với phương trình (1.18) Đường

cong liền nét màu xanh dương tương ứng với kết quả thu được từ dự

đoán lý thuyết bởi phương trình (1.28). 15

2.1 Hình dạng sóng tại t = 0 (a), t = ti = 2 (b) và t = tf = 4 (c) trong một

va chạm nhanh giữa hai sóng Gaussian được mô tả bởi hệ phương trình

sóng khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc

ba Vận tốc nhóm của hai sóng vd= 15 Các hình tam giác xanh dương

và hình tròn xanh lá cây minh họa cho sóng 1 và 2 tại t = 0 và minh

họa cho sóng 1 và 2 theo dự đoán lý thuyết tại t = ti (b) và t = tf (c).

Các đường cong liền nét màu đỏ và đường cong đứt nét màu tím trong

(b) và (c) tương ứng với sóng 1 và 2 thu được từ giải số. 212.2 Sự suy hao biên độ do va chạm của sóng 1 ∆A(c)1 vs vận tốc nhóm vd

trong va chạm nhanh giữa hai sóng Gaussian được mô tả bởi hệ phương

trình sóng khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao

bậc ba Hình tròn màu đỏ tương ứng với kết quả thu được từ giải số với

phương trình (2.9) Đường cong liền nét màu xanh dương tương ứng với

kết quả thu được từ dự đoán lý thuyết bởi phương trình (2.19). 22

Tóm tắt

Chúng tôi nghiên cứu sự thay đổi biên độ trong va chạm nhanh của

hai sóng tuyến tính được mô tả bởi hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến

tính có nhiễu phi tuyến Chúng tôi đưa ra biểu thức sự thay đổi biên độ

do va chạm nhanh của hai sóng được mô tả bởi hai trường hệ sau: (1) hệ

phương trình Schr¨odinger tuyến tính có nhiễu tuyến tính và nhiễu bậc ba;

(2) hệ phương trình sóng khuếch tán tuyến tính có nhiễu tuyến tính v

nhiễu bậc hai Các tính toán lý thuyết được chúng tôi kiểm chứng bằng

các mô phỏng số trên hệ phương trình đạo hàm riêng tương ứng với điều

kiện ban đầu là hai sóng dạng Gaussian

Từ khóa: soliton, sóng Gaussian, động lực biên độ va chạm, phương trình

Schr¨odinger tuyến tính, phương trình Schr¨odinger phi tuyến

Phần mở đầu

Sóng phi tuyến rất phổ biến trong tự nhiên và khoa học kỹ thuật Chúng

xuất hiện nhiều trong các mô hình sóng nước, Tsunami, động lực học chất

lỏng và khí, và quang học phi tuyến [1, 2, 3, 4] Trong mô hình sóng khuếch

tán phi tuyến, sự cân bằng của quá trình khuếch tán (dispersion) và quá

trình phi tuyến (nonlinearity) làm cho soliton có thể truyền tải ở khoảng

cách xa mà không bị biến dạng và không bị mất năng lượng Nhờ tính chất

bảo toàn hình dạng trong quá trình va chạm, soliton được dùng để biểu

diễn các bit thông tin [5, 6] Trong công nghệ truyền tin bằng sợi quang,

dưới tác động của các nhiễu phi tuyến gây ra do vật liệu như nhiễu suy

hao bậc ba (cubic loss) hoặc tán xạ Raman, soliton có thể thay đổi biên

độ và tần số trong quá trình va chạm [7, 8] Các kết quả tính toán về sự

thay đổi biên độ do vam chạm của soliton đã được ứng dụng trong nghiên

cứu truyền tải ổn định soliton trong hệ quang dẫn đa kênh [9, 10]

Sự truyền tải của sóng tuyến tính cũng được nghiên cứu rộng rãi trong

các mô hình như mô hình Schr¨odinger tuyến tính (linear Schr¨odinger), mô

hình sóng khếch tán tuyến tính (linear diffusion-advection models), Các

nghiên cứu về sóng tuyến tính có nhiều ứng dụng quan trọng trong kỹ

thuật quang học, ví dụ như trong kỹ thuật truyền Laser [6, 11, 12] Tuy

nhiên, một cách tổng quát thì sóng tuyến tính không có tính chất bảo toàn

hình dạng trong truyền tải như soliton Vì vậy, các nghiên cứu về sự thay

đổi biên độ sóng do va chạm là những bài toán mở quan trọng cần giải

quyết

Đề tài của chúng tôi tiến hành nghiên cứu bài toán mở trên Chúng tôi

nghiên cứu tác động của nhiễu suy hao tuyến tính (linear loss) và nhiễu suy

hao bậc ba (cubic loss) lên sự va chạm nhanh của hai sóng Gaussian được

mô tả bởi hệ phương trình Schr¨odinger tuyến tính và hệ phương trình sóng

khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và nhiễu suy hao phi

tuyến Các kết quả tính toán lý thyết sẽ được kiểm chứng bởi mô phỏng

giải số cho các hệ phương trình đạo hàm riêng tương ứng với điều kiện đầu

là hai sóng dạng Gaussian

Chương 1

Va chạm của sóng trong mô hình

ống dẫn sóng tuyến tính

Chúng tôi nghiên cứu sự va chạm nhanh của sóng trong ống dẫn sóng

tuyến tính có nhiễu suy hao bậc ba Động lực va chạm của sóng được mô

tả bởi hệ phương trình sau [12]:

i∂zψ1 − sgn( ˜β2)∂t2ψ1 = −i1ψ1 − i3|ψ1|2ψ1 − 2i3|ψ2|2ψ1,i∂zψ2 + id1∂tψ2 − sgn( ˜β2)∂t2ψ2 = −i1ψ2 − i3|ψ2|2ψ2

trong đó ψ1 và ψ2 là các sóng 1 và 2, z khoảng cách truyền sóng, t là thờigian, d1 là hệ số vận tốc nhóm, β˜2 là hệ số tán sắc bậc hai, 1 là hệ sốnhiễu tuyến tính thỏa mãn 0 < 1  1 và 3 là hệ số nhiễu bậc ba thỏamãn 0 < 3  1

Trước tiên, chúng tôi nghiên cứu động lực biên độ của sóng được mô tả

bởi phương trình sau:

i∂zψ2 + id1∂tψj − sgn( ˜β2)∂t2ψj = −i1ψj − i3|ψj|2ψj (1.2)Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu sự va chạm của hai sóng có hình

dạng ban đầu là sóng Gaussian Như vậy hình dạng ban đầu của sóng được

cho bởi phương trình sau:

trong đó Aj(0) là biên độ ban đầu, xj0 là vị trí ban đầu, Wj0 là độ rộngban đầu, và αj(0) là pha ban đầu của sóng thứ j Để đơn giản, chúng tôixét trường hợp sgn( ˜β2) = 1 Khi đó nghiệm của phương trình (1.2) v(1.3) khi không có nhiễu là:

j0) + 4z2

# (1.4)

Từ phương trình (1.2), chúng ta thu được:

j0(t, z) = Aj(z) ˜ψj0(t, z),

trong đó Aj(z) là tham số biên độ và ψ˜j0(t, z) = ˜Ψj0(t, z) exp[iχj0(t, z)] lnghiệm của phương trình (1.2) khi không có nhiễu và với Aj(0) = 1 Thếbiểu thức ψj0(t, z) = Aj(z) ˜ψj0(t, z) vào phương trình (1.5), ta được:

ddt



I2j(z)A2j(z) = −23I4j(z)A4j(z), (1.6)trong đó

j0 + 4z2)1/2 (1.7)

Giải phương trình vi phân (1.7), chúng ta thu được phương trình mô tả

động lực biên độ của sóng đơn trên đoạn [0, z] như sau:

sóng Gaussian Chúng tôi giả hai sóng tách nhau tại z = 0 và tại z = zf(kết thúc va chạm) Thêm nữa, chúng tôi giả sử W10 = W20 = W0 chođơn giản và gọi zc là khoảng cách truyền sóng mà hai sóng va chạm v

∆zc = W0/d1 là khoảng diễn ra sự va chạm Chúng tôi có một điều kiệncho va chạm nhanh như sau [12]:

Vận dụng kỹ thuật tính nhiễu được phát triển bởi [7], chúng tôi tìm

nghiệm của phương trình (1.1) dưới dạng:

j(t, z) = ψj0(t, z) + φj(t, z), (1.10)trong đó φj(t, z) mô tả ảnh hưởng của nhiễu và ψj0(t, z) thỏa

i∂zψ10 − sgn( ˜β2)∂t2ψ10 = −i1ψ10− i3|ψ10|2ψ10, (1.11)v

i∂zψ20+ id1∂tψ20− sgn( ˜β2)∂t2ψ20 = −i1ψ20

Thế phương trình (1.10) vào phương trình (1.1) và sử dụng các phương

trình (1.11) và (1.12), chúng ta có thể thu được phương trình theo φj Ởđây, chúng tôi tập trung các tính toán vào φ1 bởi vì các tính toán cho φ2

là tương tự Bằng cách tập trung vào các ảnh hưởng chính của va chạm,

chúng ta có thể thu được phương trình sau cho φ1:

i∂zφ1 − sgn( ˜β2)∂t2ψ1 = −2i3|ψ20|2ψ10, (1.13)Thế biểu thức ψj0(t, z) = Ψj0(t, z) exp[iχj0(t, z)] và biểu thức φj(t, z) =

Φj(t, z) exp[iχj0(t, z)] vào phương trình (1.13), ta có:

i∂zΦ1 − (∂zχ10) Φ1 −sgn( ˜β2)∂t2Φ1 + 2i (∂tχ10) ∂tΦ1+i ∂t2χ10
Φ1 − (∂tχ10)2Φ1

i

= −2i3Ψ220Ψ10 (1.14)Bằng cách tập trung vào các tác động chính và bỏ qua các tác động bậc

cao ở phương trình (1.14), chúng ta thu được phương trình cho Φ1 nhưsau:

∂zΦ1 = −23Ψ220Ψ10 (1.15)Trong va chạm nhanh, quá trình va chạm chỉ diễn ra trong khoảng

[zc − ∆zc, zc + ∆zc] Lấy tích phân hai vế của phương trình (1.15) trênđoạn [zc− ∆zc, zc+ ∆zc] và sử dụng các xấp xỉ Ψj0(t, z) = Aj(z) ˜Ψj0(t, z),

Sử dụng kỹ thuật tính toán xấp xỉ tích phân theo các thành phần biến

đổi nhanh và ký hiệuAj(zc−) := limz→z−

c Aj(z), phương trình (1.16) có thểđược viết lại dưới dạng [12]:

tích phân của tích trong phương trình (1.17) từ −∞ đến ∞ Thực hiệnphép đổi biến y = t − x20− d1z, chúng ta thu được:

và ∆φj(t, zc) là tác động của nhiễu lên va chạm Chúng tôi xét

Tiếp theo, chúng ta có thể biểu diễn R−∞∞ |ψ1(t, zc+)|2dttheo ∆A(c)1 như sau

Từ phương trình (1.18) và (1.26), chúng ta tìm được biểu thức mô tả

sự thay đổi biên độ do va chạm của sóng 1 như sau:

∆A(c)1 = −2π

1/23W20A1(zc−)A22(zc−)

Phương trình (1.28) có cùng dạng với phương trình mô tả sự thay đổi biên

độ do va chạm của hai soliton trong hệ quang dẫn phi tuyến dưới tác động

của nhiễu suy hao bậc ba [7]:

Trong phần này, chúng tôi tiến hành kiểm chứng kết quả tính toán lý

thuyết cho biểu thức (1.27) mô tả sự suy hao biên độ do va chạm của

sóng Gaussian bằng các mô phỏng số với phương trình (1.1) Phương trình

(1.1) được giải số bằng phương pháp tách bước Fourier (split-step Fourier

method) với điều kiện biên tuần hoàn [6, 13, 14] Không mất tính tổng

quát, chúng tôi trình bày các kết quả mô phỏng số với 3 = 0.01 v

1 = 0.01 Các tham số cho điều kiện đầu của sóng Gaussian được chọnnhư sau: A1(0) = A2(0) = 1, W10 = W10 = W0 = 4, α1(0) = α2(0) = 0.Chúng tôi nhấn mạnh rằng các kết quả mô phỏng số với các tham số khác

là tương tự Chúng tôi tính toán sự suy hao biên độ của sóng 1 từ giải số

của phương trình (1.29) bởi

trong đó A1(z1) và A1(z2) được tính từ giải số Trong phương trình (1.31)

và (1.32), z1 và z2 là khoảng cách truyền dẫn mà tại đó sự va chạm tươngứng là bắt đầu và kết thúc Chúng tôi xác định xấp xỉ các giá trị z1 và z2bởi z1 = zc− a/|d1| và z2 = zc+ a/|d1|, trong đó a > 0 là hằng số có cùngbậc với Wj0

Trước tiên, chúng tôi tiến hành minh họa bằng giải số sự va chạm của

hai sóng trong ống dẫn sóng tuyến tính Các tham số vị trí ban đầu cho

hai sóng được chọn như sau: x10 = 0 và x20 = −25 Hình (1.1) minh họahình dạng ban đầu của các sóng và hình dạng sóng thu được bằng giải

số với d1 = 15 tại khoảng cách trung gian trong va chạm zi = 2 > zc vtại khoảng cách kết thúc va chạm zf = 4 Cùng minh họa đồng thời trên

hình (1.1) là các sóng thu được từ dự đoán lý thuyết được tính bởi phương

trình (1.10) Như quan sát trong hình (1.1), sự trùng khớp là rất tốt giữa

các kết quả thu được từ lý thuyết và giải số tại z = zi và tại z = zf.Tiếp theo, chúng tôi minh họa sự phụ thuộc của ∆A(c)1 vào d1 bởi hình(1.2) Các tham số vị trí cho sóng ban đầu được chọn như sau: x10 = 0 v

x20 = ±20 Các giá trị cho d1 được chọn trong khoảng −60 ≤ d1 ≤ −2 v

2 ≤ d1 ≤ 60 Như quan sát trong hình (1.2), sự trùng khớp giữa các kếtquả thu được từ lý thuyết và giải số là rất tốt Cụ thể, sai số tương đối

trong xấp xỉ ∆A(c)1 nhỏ hơn 10% với d1 > 10 và nhỏ hơn 2% với d1 > 20.Tại |d1| ≈ 4, sai số tương đối là 25%

Hình 1.1: Hình dạng sóng tại z = 0 (a), z = zi = 2 (b) và z = zf = 4 (c) trong một va chạm nhanh giữa hai sóng Gaussian trong ống dẫn sóng tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba Vận tốc nhóm của hai sóng d1 = 15 Các hình tam giác xanh dương và hình tròn xanh lá cây minh họa cho sóng 1 và 2 tại z = 0 và minh họa cho sóng 1 và 2 theo dự đoán lý thuyết tại z = zi (b) và z = zf (c) Các đường cong liền nét màu đỏ và đường cong đứt nét màu tím trong (b) và (c) tương ứng với sóng 1

và 2 thu được từ giải số.

Hình 1.2: Sự suy hao biên độ do va chạm của sóng 1 ∆A(c)1 vs vận tốc nhóm d1 trong va chạm nhanh giữa hai sóng Gaussian trong ống dẫn sóng tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba Hình tròn màu đỏ tương ứng với kết quả thu được từ giải số với phương trình (1.18) Đường cong liền nét màu xanh dương tương ứng với kết quả thu được từ dự đoán lý thuyết bởi phương trình (1.28).

Chương 2

Va chạm của sóng trong mô hình

sóng khuếch tán tuyến tính

Chúng tôi nghiên cứu sự va chạm nhanh của sóng trong mô hình sóng

khuếch tán tuyến tính có nhiễu phi tuyến Động lực va chạm của sóng

được mô tả bởi hệ phương trình sau:

∂tu1 = ∂x2u1 − 1u1 − 2u21 − 2u1u2,

∂tu2 = ∂x2u2 − vd∂xu2 − 1u2 − 2u22 − 2u1u2, (2.1)trong đó u1 và u2 là nồng độ của chất 1 và 2, t là thời gian, x là tọa độkhông gian, vd là hệ số vận tốc nhóm, 1 là hệ số nhiễu tuyến tính thỏamãn 0 < 1  1 và 2 là hệ số nhiễu bậc hai thỏa mãn 0 < 2  1

Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu sự va chạm của hai sóng có hình

dạng ban đầu là sóng Gaussian Như vậy hình dạng ban đầu của sóng được

cho bởi phương trình sau:

như sau:

Aj(t) = Aj(0)e

− 1 t

1 + 2Wj0J˜j(0, t)Aj(0), (2.3)trong đó

Tiếp theo, chúng tôi tính toán mức suy hao biên độ do va chạm của hai

sóng Gaussian Chúng tôi giả hai sóng tách nhau tại t = 0 và tại t = tf(kết thúc va chạm) Thêm nữa, chúng tôi giả sử W10 = W20 = W0 cho đơngiản và gọi tc là thời điểm hai sóng va chạm và ∆tc = W0/vd là khoảngthời gian diễn ra va chạm Chúng ta có một điều kiện cho va chạm nhanh

W0vd  1 [12]

Tương tự như phần 1, chúng tôi tìm nghiệm của phương trình (2.1) dưới

dạng:

uj(x, t) = uj0(x, t) + φj(x, t), (2.4)trong đó φj(t, z) mô tả ảnh hưởng của nhiễu và uj0(t, z) thỏa

∂tu10 = ∂x2u10 − 1u10− 2u210,

∂tu20 = ∂x2u20 − vd∂xu20 − 1u20− 2u220 (2.5)Thế phương trình (2.4) vào phương trình (2.1) và sử dụng phương trình

(2.5), chúng ta có thể thu được phương trình theoφj Ở đây, chúng tôi tậptrung các tính toán vào φ1 bởi vì các tính toán cho φ2 là tương tự Bằngcách tập trung vào các ảnh hưởng chính của va chạm, chúng ta có thể thu

được phương trình sau cho φ1:

Trong va chạm nhanh, quá trình va chạm chỉ diễn ra trong khoảng

[tc− ∆tc, tc+ ∆tc] Lấy tích phân hai vế của phương trình (2.6) trên đoạn

Sử dụng kỹ thuật tính toán xấp xỉ tích phân theo các thành phần biến đổi

nhanh và ký hiệu Aj(t−c ) := limt→t−

c Aj(t), phương trình (2.7) có thể đượcviết lại dưới dạng [12]:

và ∆φj(x, tc) là tác động của nhiễu lên va chạm Chúng tôi xét

trong đó C2 = R−∞∞ u˜10(x, tc)dx Từ phương trình (2.10), chúng ta thuđược:

Từ phương trình (2.9) và (2.17), chúng ta tìm được biểu thức mô tả sự

thay đổi biên độ do va chạm của sóng 1 như sau:

∆A(c)1 = −8π

1/22W20A1(t−c )A2(t−c )

Phương trình (2.19) có cùng dạng với phương trình phương trình (1.28)

mô tả sự thay đổi biên độ do va chạm của hai sóng Gaussian trong ống

dẫn sóng tuyến tính

2.2 Các mô phỏng số

Trong phần này, chúng tôi tiến hành kiểm chứng kết quả tính toán lý

thuyết cho biểu thức (2.18) mô tả sự suy hao biên độ do va chạm của

sóng Gaussian bằng các mô phỏng số với phương trình (2.1) Phương trình

(2.1) được giải số bằng phương pháp tách bước Fourier (split-step Fourier

method) với điều kiện biên tuần hoàn [15] Không mất tính tổng quát,

chúng tôi trình bày các kết quả mô phỏng số với 2 = 0.01 và 1 = 0.01.Các tham số cho điều kiện đầu của sóng Gaussian được chọn như sau:

A1(0) = A2(0) = 1, W10 = W10 = W0 = 4 Chúng tôi nhấn mạnh rằngcác kết quả mô phỏng số với các tham số khác là tương tự

Trước tiên, chúng tôi tiến hành minh họa bằng giải số sự va chạm của

hai sóng được mô tả bởi hệ phương trình sóng khuếch tán tuyến tính

Các tham số vị trí ban đầu cho hai sóng được chọn như sau: x10 = 0 v

x20 = −25 Hình (1.1) minh họa hình dạng ban đầu của các sóng và hìnhdạng sóng thu được bằng giải số vớivd = 15 tại thời điểm trung gian trong

va chạm ti = 2 > tc và tại thời điểm kết thúc va chạm tf = 4 Cùng minhhọa đồng thời trên hình (2.1) là các sóng thu được từ dự đoán lý thuyết

được tính bởi phương trình (2.4) Như quan sát trong hình (2.1), sự trùng

khớp là rất tốt giữa các kết quả thu được từ lý thuyết và giải số tại t = ti

và tại t = tf

Tiếp theo, chúng tôi minh họa sự phụ thuộc của ∆A(c)1 vào vd bởi hình(2.2) Các tham số vị trí cho sóng ban đầu được chọn như sau: x10 = 0 v

x20 = ±20 Các giá trị cho vd được chọn trong khoảng −60 ≤ vd ≤ −2 v

2 ≤ vd ≤ 60 Như quan sát trong hình (2.2), sự trùng khớp giữa các kếtquả thu được từ lý thuyết và giải số là rất tốt Cụ thể, sai số tương đối

trong xấp xỉ ∆A(c)1 nhỏ hơn 9% với vd > 10 và nhỏ hơn 3% với vd > 20.Tại |vd| ≈ 4, sai số tương đối là 20%