ChươngII: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC TỔNG QUÁT I. Phương pháp 1: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Dạng 1: Biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản dạng 1 hoặc dạng 2 Ví dụ 1. Giải phương trình: cos3xcos 3 x + sin3xsin 3 x = 4 2 ( 1 ) ( 1 ) ⇔ cos3x(3cosx + cos3x) + sin3x(3sinx – sin3x) = 2 ⇔ 3(cos3xcosx + sin3xsinx) + cos 2 3x – sin 2 3x = 2 ⇔ 3cos2x + 4cos 3 2x – 3cos2x = 2 ⇔ cos 3 2x = 22 1 ⇔ cos2x = 2 1 ⇔ π π 2 4 2 kx +±= ⇔ π π kx +±= 8 ( k Z ∈ ) Ví dụ 2. Giải phương trình: 3sin4x - 3 cos12x = 1 + 4sin 3 4x ( 2) ( 2 ) ⇔ 3sin4x – 4sin 3 4x - 3 cos12x = 1 ⇔ sin12x - 3 cos12x = 1 ⇔ 2 1 sin12x - 2 3 cos12x = 2 1 ⇔ cos 3 π sin12x - sin 3 π cos12x = 2 1 ⇔ sin       − 3 12 π x = sin 6 π ⇔       +=− +=− π ππ π ππ 2 6 5 3 12 2 63 12 kx kx ( k ∈ Z ) Ví dụ3. Giải phương trình: x xx sin8 cos 2 sin 1 =+ ( 3 ) Điều kiện:    ≠ ≠ 0cos 0sin x x ⇔ sin2x ≠ 0 ( a ) ( 3 ) ⇒ cosx + 3 sinx = 8sinxsinxcosx ⇔ cosx + 3 sinx = 4sinxsin2x ⇔ cosx + 3 sinx = 2(cosx – cos3x) ⇔ cosx - 3 sinx = 2cos3x ⇔ 2 1 cosx - 2 3 sinx = cos3x ⇔       +−−= ++= π π π π 2 3 3 2 3 3 kxx kxx ⇔       +−= += 212 6 ππ π π kx kx ( k ∈ Z ), thỏa điều kiện ( a ) Lưu ý: Với bài toán giải phương trình lượng giác có điều kiện, ta có thẻ kiểm tra điều kiện bằng một trong ba cách sau: + Thay các giá trị x vừa tìm được vào điều kiện để kiểm tra thỏa hay không. + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ bỏ ngọn cung tiềm được khi nó trùng với ngọn cung điều kiện. + So với các điều kiện trong quá trình giải. Ví dụ4. Giải phương trình: xx x xx sincos3 sin21 3cos3sin += + + ( 4 ) Điều kiện: sin2x 2 1 −≠ Ta có: sin3x + cos3x = 3sinx – 4sin 3 x + 4cos 3 x – 3 cosx = 3(sinx – cosx) – 4(sin 3 x – cos 3 x) =3(sinx – cosx) – 4(sinx – cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx – cosx)(-1 - 2sin2x) Do vậy: ( 3 ) ⇒ cosx – sinx = 3cosx + sinx ⇔ sinx = - cosx ⇔ tanx = -1 ⇔ x = π π k +− 4 ( k ∈ Z ) , thỏa điều kiện. Ví dụ 5. Giải phương trình: 1 13cos 8cot3sin = x xx ( 5 ) Điều kiện:    ≠ ≠ 013cos 08sin x ( 5 ) ⇒ sin3xcos8x = sin8xcos13x ⇔ sin11x – sin5x = sin21x – sin5x ⇔ sin21x = sin11x ⇔    +−= += π π 21121 21121 kxx kxx ⇔       += = 1632 5 ππ π kx kx ( k ∈ Z ) Kiểm tra điều kiện của nghiệm: + Với x = k 5 π , ta có: Sin8x = sin 5 8 π k 0 ≠ ⇔ k không chia hết cho 5 ⇔ k = 5m ( m ∈ Z ) Cos13x = cos 5 13 π k ≠ 0 khi k ≠ 5m ( m ∈ Z ) + Với x = 1632 ππ k + , ta có: Sin8x = sin       + 24 ππ k 0 ≠ Zk ∈∀ Cos13x = cos       + 16 13 32 13 ππ k 0 ≠ Zk ∈∀ Vậy nghiệm của ( 5 ) là:       += ≠= 1632 )5( 5 ππ π kx mkkx ( k ∈ Z ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: sin5x – cos3x = 3 (sin3x – cos5x) Bài2: 2 sin4x – sin3x = cos3x Bài3: cos 3 xsinx + sin 3 xcosx = 4 3 Bài4: xxx 2cos 2 1 cossin 44 =+ Bài5: sin 3 x(1 + cotx) + cos 3 x(1 + tanx) = 2 2 Bài6: )3sin2(cos33 2 5 sin 2 2cos xxxx +=       ++       + ππ Bài7: 2tanx + cotx = x2sin 2 12 +− Bài8: tan2x – tan3x – tan5x = tan2xtan3xtan5x Bài9: 1 9cos sin5cot = x xx Bài10: 1 3sin 5tan7cos = x xx Dạng2: Biến đổi đưa về phương trình bậc 2 đối với hàm lượng giác. Ví dụ1. Giải phương trình: 5cosx = cos2x + 3 ( 1 ) ( 1 ) ⇔ 5cosx = 2cos 2 x – 1 + 3 ⇔ 2cos 2 x – 5cosx + 2 = 0 ⇔     = = 2 1 cos )(2cos x loaix ⇔ π π 2 3 kx +±= ( k ∈ Z ) Ví dụ2. Giải phương trình: cos 2 4x = cos 2 x ( 2 ) ( 2 ) ⇔ 2cos 2 2x – 1 = 2 1 (1 + sos2x) ⇔ 4cos 2 2x – cos2x – 3 = 0 ⇔     −= = 4 3 2cos 12cos x x ⇔      +       −±= = π π kx kx 4 3 arccos 2 1 ( k ∈ Z ) Ví dụ. Giải phương trình: 2 2cos2cot 4sin2cot32cos = − ++ xx xxx ( 3 ) Điều kiện:    ≠− ≠ 02cos2cot 02sin xx x ⇔      ≠       − ≠ 01 2sin 1 2cos 02sin x x x ⇔    ≠ ≠ 02cos 02sin x x ⇔ sin4x ≠ 0 Với điều kiện trên ta có: (3) ⇔ cos2x +3cot2x + sin4x = 2(cot2x – cos2x) ⇔ 3cos2x + cot2x + sin4x = 0 ⇔ cos2x(3 + x2sin 1 + 2sin2x ) = 0 ⇔ 2sin 2 2x + 3sin2x + 1 = 0 ⇔     −= −= 2 1 2sin 12sin x x ⇔          += +−= +−= π π π π π π kx kx kx 12 7 12 2 ( k ∈ Z ) Giao với điều kiện ta được nghiệm của ( 3 ) là:       += +−= π π π π kx kx 12 7 12 Ví dụ 4. Giải phương trình: sin2x(cotx + tan2x) = 4sin 2 x ( 4 ) Điều kiện:    ≠ ≠ 02cos 0sin x x ( 4 ) ⇒ sin2x(cos2x cosx + sin2xsinx) = 4cos 2 xsinxcos2x ⇔ sin2xcosx = 4cos 2 xsinxcos2x ⇔ sinxcos 2 x(1 – cos2x) = 0 ⇔     = = 2 1 2cos 0cos x x ⇔       +±= += π π π π kx kx 3 2 2 ( k ∈ Z ), thỏa điều kiện. Ví dụ5. Giải phương trình: 3tan2 cotsin tansin1 22 22 =+ + + x xx xx ( 5 ) Điều kiện:    ≠ ≠ ox x cos 0sin ⇔ 02sin ≠ x Với điều kiện trên ta có: ( 5 ) ⇔ 3tan2 cotsin tansincottan 22 2222 =+ + + x xx xxxx ⇔ 3tan2 cotsin )sin(cottan 22 222 =+ + + x xx xxx ⇔ tan 2 x + 2tanx – 3 = 0 ⇔    −= = 3tan 1tan x x ⇔     +−= += π π π kx kx 3arctan 4 ( k ∈ Z ), thỏa điều kiện. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: 023sin)31(22cos2 =−+−+ xx Bài2: 2tan 3 32 cos 1 2 =+ x x Bài3: 3sin 4 x + 3cos 4 x – 9sin2x + 5sin 2 2x = 0 Bài4: 3tan cos 1 tan1 cos 1 tan1 2 −=       ++       −+ x x x x x Bài5: (2sinx – 1)(cos2x + 3sinx + 1) = 3 – 4cos 2 x Bài6: tanx – cotx + 3cot 2 2x = 5 Bài7: 8 2sin 6 cot3tan4 cotsin sintan1 2 +=++       + + x xx xx xx Bài8: 16(sin 8 x + cos 8 x) = 17cos 2 2x Bài9: x x x x 22 2 cos 2tan3 2cos tan4 = Dạng3: Biến đổi đưa về phương trình bậc 3 theo hàm lượng giác Ví dụ 1. Giải phương trình: x x 2 cos 3 4 cos = ( 1 ) ( 1 ) ⇔ )2cos1( 2 1 1 3 2 cos2 2 x x +=− ⇔       =− 3 2 3cos3 3 2 cos4 2 xx ⇔ 3 2 cos3 3 2 cos43 3 2 cos4 22 xxx −=− ⇔ 01 3 2 cos3 3 2 cos4 2 =       −       − xx ⇔ 01 3 2 cos1 3 4 cos2 =       −       − xx ⇔       = = 1 3 2 cos 2 1 3 4 cos x x ⇔     = +±= π ππ kx kx 3 2 3 4 ( k ∈ Z ) Ví dụ 2. Giải phương trình: 2cosxcos2xcos3x = 7cos2x + 4 ( 2 ) ( 2 ) ⇔ cos2x(cos4x + cos2x) – 7cos2x – 4 = 0 ⇔ cos2x(2cos 2 2x + cos2x – 1) – 7 cos2x – 4 = 0 ⇔ 2cos 2 2x + cos 2 2x – 8 cos2x – 4 = 0 ⇔ (2cos2x + 1)(cos 2 2x – 4) = 0 ⇔ cos2x = - 2 1 ⇔ π π kx +±= 4 ( k ∈ Z ) Ví dụ4. Giải phương trình: cos 4 x – cos2x + 2sin 6 x = 0 ( 3 ) ( 3 ) ⇔ 0 2 2cos1 22cos 2 2cos1 32 =       − +−       + x x x ⇔ (1 + cos2x) 2 – 4cos2x + (1 – cos2x) 3 = 0 ⇔ cos 3 2x – 4cos 2 2x + 5cos2x – 2 = 0 ⇔ (cos2x – 1)(cos 2 2x – 3cos2x + 2) = 0 ⇔    = = 22cos 12cos x x ⇔ cos2x = 1 ⇔ π kx = ( k ∈ Z ) Ví dụ 5. Giải phương trình: 5 4 cos3 5 3 cos21 2 xx =+ ( 4 ) ( 4 ) ⇔       −=+ 1 5 2 cos23 5 6 cos2 2 xx ⇔ 03 5 2 cos6 5 2 cos3 5 2 cos42 23 =+−−+ xxx ⇔ 05 5 2 cos3 5 2 cos6 5 2 cos4 23 =+−− xxx ⇔ 05 5 2 cos2 5 2 cos41 5 2 cos 2 =       −−       − xxx ⇔          + = − = = 4 211 5 2 cos 4 211 5 2 cos 1 5 2 cos x x x ⇔       − = = 4 211 5 2 cos 1 5 2 cos x x ⇔      + − ±= = π π 5 4 211 arccos 2 5 5 kx kx ( k ∈ Z ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: 2cos3x + 2cosx + 1 = 0 Bài2: 9sin3x + 12cos2x – 27sinx – 8 = 0 Bài3: 2sinxcos2xsin3x + 3cos2x = 2 Bài4: cos4x = cos 2 3x + sin 2 x Bài5: 2 3 cos 4 1 2 5 cos 4 1 42 cos2 2 cos 2 1 1sin 2 sin 2 xxxx x x −+       −+=+ π Bài6: 4cot3 cotcos cotcos1 2 33 33 =+ + + x xx xx Bài7: cos9x – 5cos6x +6 = 0 Bài8: cos4x = cos 2 3x Bài9: xx sin2 4 sin 3 =       − π Bài10: xx x xx 22 66 cottan 2sin cossin 8 += + Dạng4: Biến đổi đưa về phương trinh bậc 4 đối với hàm lượng giác. Ví dụ 1. Giải phương trình: 3sin 2 x + 10cos 4 x = 4 ( 1 ) ( 1 ) ⇔ 3(1 – cos 2 x) + 10cos 4 x = 4 ⇔ 10cos 4 x - 3cos 2 x – 1 = 0 ⇔       −= = 5 1 cos 2 1 cos 2 2 x x ⇔ 2 1 cos 2 = x ⇔ 02cos = x ⇔ 24 ππ kx += ( k ∈ Z ) Ví dụ 2. Giải phương trình: 8cos 4 x + 8(1 – cosx) 4 = 1 ( 2 ) Đặt t = cox - 2 1       ≤≤− 2 1 2 3 t . Khi đó ta có: ( 2 ) ⇔ 8 1 2 1 2 1 44 =       −+       + tt Ta nhận thấy: (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a – b) 4 = a 4 - 4a 3 b + 6a 2 b 2 - 4ab 3 + b 4 ⇒ (a + b) 4 + (a – b) 4 = 2a 4 + 12a 2 b 2 + 2b 4 Do đó ( 2 ) ⇔ 2t 4 + 3t 2 = 0 ⇔ t = 0 ⇔ 2 1 cos = x ⇔ π π 2 3 kx +±= ( k ∈ Z ) Ví dụ 3. Giải phương trình: 8(sin 8 x + cos 8 x) = cos 2 4x ( 3 ) Ta có: sin 8 x + cos 8 x = ( sin 4 x + cos 4 x) 2 – 2sin 4 xcos 4 x = (1 - 2 1 sin 2 2x) 2 - 8 1 sin 4 2x = 1 – sin 2 2x + 8 1 sin 4 2x Do đó ( 3 ) ⇔ 8(1 – sin 2 2x + 8 1 sin 4 2x) = (1 – 2sin 2 2x) 2 ⇔ 3sin 4 2x + 4sin 2 2x – 7 = 0 ⇔ sin 2 2x = 1 v sin 2 2x = 3 7 − (loại) ⇔ cos2x = 0 ⇔ 24 ππ kx += ( k ∈ Z ) Ví dụ 4. Giải phương trình: sin5x = 5sinx ( 4 ) ( 4 ) ⇔ sin5x – sinx = 4sinx ⇔ 2cos3xsin2x = 4sinx ⇔ 2(4cos 3 x – 3cosx)2sinxcosx = 4sinx ⇔ sinx(4cos 4 x – 3cos 2 x - 1) = 0 ⇔ sinx(4cos 2 x + 1)(cos 2 x – 1) =0 ⇔ cos 2 x = 1 v sinx = 0 ⇔ π kx = ( k ∈ Z ) Ví dụ 5. Giải phương trình: cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = cos 2 4x + 4 1 ( 5 ) ( 5 ) ⇔ cos 3 x(4cos 3 x – 3cosx) – sin 3 x(3sinx – sin 3 x) = cos 2 4x + 4 1 ⇔ 4(sin 6 x + cos 6 x) – 3(sin 4 x + cos 4 x) = cos 2 4x + 4 1 ⇔ 4(1 - 4 3 sin 2 2x) – 3(1 - 2 1 sin 2 x) = cos 2 4x + 4 1 ⇔ 1 - 2 3 sin 2 2x = (1 – 2sin 2 2x) 2 + 4 1 ⇔ 16sin 4 2x – 10sin 2 2x + 1 = 0 ⇔       = = 8 1 sin 2 1 sin 2 2 x x ⇔     = = 4 3 4cos 04cos x x ⇔       +±= += 24 3 arccos 4 1 48 π ππ kx kx ( k ∈ Z ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: 3cos2x + 40sin 4 x = 4 Bài2: 8sin 4 x + 8(1 – sinx) 4 = 1 Bài3: Sin 8 x + cos 8 x = 138 97 Bài4: 4 5 4 cos 4 sincos 444 =       −+       ++ ππ xxx Bài5: 01 sin3sin cos3cos 4tan 4 =− − − + xx xx Bài6: 16(sin 10 x + cos 10 x) = 58cos 2 4x Bài7: 3cos4x – 8cosxcos3x = 1 Bài8: 2sin4x – 7cos4x = 5 + sin2x Bài9: sin 8 x + 15cos 8 x = 16(sin 10 x + cos 10 x) Bài10: 1 sin2sin sin3sin 2 tancos cotcos1 44 44 = + − + + xx xx xx xx Dạng5: Biến đổi đưa về phương trình đẳng cấp. Ví dụ 1. Giải phương trình: cosx + sinx – 4cos 3 x = 0 ( 1 ) Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của ( 1 ) Do vậy ta chia hai vế của ( 1 ) cho cos 3 x ta được: 1 + tan 2 x + tanx(1 + tan 2 x) – 4 = 0 ⇔ tan 3 x + tan 2 x + tanx – 3 = 0 ⇔ ( tanx – 1)(tan 2 x + 2tanx + 3) = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ π π kx += 4 ( k ∈ Z ) Ví dụ 2. Giải phương trình: 4sin 3 x + 3cos 3 x = 3sinx + sin 2 xcosx ( 2 ) Ta nhận thấy sinx = 0 không phải là nghiệm của ( 2 ) Do vậy chia hai vế của ( 2 ) cho sin 3 x ta được: 4 + 3cot 3 x = 3(1 + cot 2 x) + cotx ⇔ 3cot 3 x – 3cot 2 x – cotx + 1 = 0 ⇔ (cotx – 1)(3cot 2 x – 1) = 0 ⇔      ±= = 3 1 cot 1cot x x ⇔       +±= += π π π π kx kx 3 4 ( k ∈ Z ) Ví dụ 3. Giải phương trình: 2cos 3 x – 3sin2xsinx = 4sinx – 2sin3x ( 3 ) ( 3 ) ⇔ 2cos 3 x – 6sin 2 xcosx = 4sinx – 2(3sinx – 4sin 3 x) ⇔ 2cos 3 x – 6sin 2 xcosx + 2sinx – 8sin 3 x = 0 ( 3 ’ ) Ta nhận thấy sinx = 0 không phải là nghiệm của ( 3 ’ ) Do vậy chia 2 vế của ( 3 ’ ) cho sin 3 x ta được: cot 3 x + cot 2 x – 3cot 2 x – 3 = 0 ⇔ (cotx + 1)(cot 2 x – 3) = 0 ⇔    ±= −= 3cot 1cot x x ⇔       +±= +−= π π π π kx kx 6 4 ( k ∈ Z ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: 3sinx – cosx = 4cos 3 x Bài2: xx sin2 4 sin 3 =       − π Bài3: x xx xx 2cos2 cos4sin5 cos3sin6 3 =− Bài4: x x x 2 cot 2sin 32 cot321 +=+ Bài5: x xx 2sin 2 tan33tan2 2 +=+ Bài6: 1 + 5sin2x = 6tanx Bài7: 3cos2x + 5sin2x = 4cotx + 1 Bài8: xx 3cos 3 sin8 3 =       + π Bài9: 1 )tan1)(tan1(cos2 sin3 = +− xxx x Bài10: x xx xx 2sin21 3cos3sin )cos(sin 3 2 33 + + =+ II. Phương pháp 2: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Dạng1: Ghép hàm – biến đổi về phương trình tích Ví dụ 1. Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = 0 ( 1 ) (1 ) ⇔ (sinx + sin3x) + sin2x = 0 ⇔ 2sin2xcosx + sin2x = 0 ⇔ sin2x(2cosx + 1) = 0 ⇔     −= = 2 1 cos 02sin x x ⇔       +±= = π π π 2 3 2 2 kx kx ( k ∈ Z ) Ví dụ 2. Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x ( 2 ) ( 2 ) ⇔ (sinx + cos3x) + sin2x = (cosx + cos3x) + cos2x ⇔ sin2xcosx + sin2x = 2cos2xcosx + co2x ⇔ sin2x(2cosx + 1) = cos2x(2cosx + 1) ⇔ (2cox + 1)(sin2x – cos2x) = 0 ⇔     = −= 12tan 2 1 cos x x ⇔       += +±= 28 2 3 2 ππ π π x kx ( k ∈ Z ) Ví dụ 3. Giải phương trình: 1 + cos6x + cos8x + cos14x = 0 ( 3 ) ( 3 ) ⇔ (1 + cos8x) + (cos14x + cos6x) = 0 ⇔ 2cos 2 4x + 2cos10xcos4x = 0 ⇔ cos4x(cos4x + cos10x) = 0 ⇔ 2cos4xcos7xcos3x = 0 ⇔      = = = 03cos 07cos 04cos x x x ⇔          += += += 36 714 48 ππ ππ ππ kx kx kx ( k ∈ Z ) Ví dụ 4. Giải phương trình: 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x ( 4 ) ( 4 ) ⇔ (1 – cos2x) + (cos3x – cosx) – (sin2x – sinx) = 0 ⇔ 2sin 2 x – 2sin2xsinx – sinx(2cox – 1) = 0 ⇔ 2sin 2 x(1 – 2cosx) + sinx(1 – 2cosx) = 0 ⇔ sinx(1 – 2cosx)(2sinx + 1) = 0 ⇔         −= = = 2 1 sin 2 1 cos 0sin x x x ⇔           += +−= +±= = π π π π π π π 2 6 7 2 6 2 3 kx kx kx kx ( k ∈ Z ) Ví dụ 5. Giải phương trình: tanx + cotx – 2sin2x = cos2x ( 5 ) Điều kiện:    ≠ ≠ 0cos 0sin x x ⇔ sin2x ≠ 0 ( 5 ) ⇔ xx xx xx 2cos2sin2 cossin cossin 22 =− + ⇔ xx x 2cos2sin2 2sin 2 =− ⇔ x x x 2cos 2sin 2sin1(2 2 = − ⇔ x x x 2cos 2sin 2cos2 2 = ⇔ cos2x(2cot2x – 1) = 0 ⇒     = = 2 1 2cot 02cos x x ⇔       += += 22 1 arctan 2 1 24 π ππ kx kx ( k ∈ Z ), thỏa điều kiện. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Giải các phương trình sau: Bài1: cosx – 2cos2x + cos3x = 0 Bài2: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 Bài3: 2sin 3 x + sin3x = sinx Bài4: xxx x 3cos2)4sin(5 2 9 cos =++       + π Bài5:       ++       +=+       + 2 3 8cos 2 5 7cos2sin3 2 cos πππ xxxx Bài6: 2 cos3sin2 2 5 cos x x x =+ Bài7: tan3x + tanx = sin4x Bài8: tan2x + cot2x – 2sin4x = 3cos 2 4x Bài9: x xx xx x sin cossin cotcos4 3sin + + = Bài10: x x xxxxxxxx sin 4tan 5cos4cos 1 4cos3cos 1 3cos2cos 1 2coscos 1 =+++ Dạng2: Dùng công thức hạ bậc – ghép hàm – biến đổi về phương trình tích Ví dụ 1. Giải phương trình: sin 2 3x – sin 2 5x = sin 2 4x – sin 2 6x ( 1 ) ( 1 ) ⇔ 2 12cos1 2 8cos1 2 10cos1 2 6cos1 xxxx − − − = − − − ⇔ (cos10x + cos8x) – (cos12x + cos6x) = 0 ⇔ 2cos9xcosx – 2cos9xcos3x = 0 ⇔ cos9x(cox – cos3x) = 0 ⇔    = = xx x cos3cos 09cos ⇔          = = += π π ππ kx kx kx 2 918 ( k ∈ Z ) Ví dụ 2. Giải phương trình: 2cos 3 x + cos4x + cos2x = 0 ( 2 ) ( 2 ) ⇔ cosx(1 + cos2x) + 2cos 2 2x – 1 + cos2x = 0 ⇔ cosx(1 + cos2x) + (cos2x + 1)(2cos2x – 1) = 0 ⇔ (1 + cos2x)(cosx + 2cos2x – 1) = 0 ⇔ (1 + cos2x)(4cos 2 x + cosx – 3) = 0 ⇔        = −= = 4 3 cos 1cos 0cos x x x ⇔        +±= += += π ππ π π 2 4 3 arccos 2 2 kx kx kx ( k ∈ Z ) Ví dụ 3. Giải phương trình: 4sin 4 x + 3cos 2 x + cos3xcosx + cos8x – 2 = 0 ( 3 ) ( 3 ) ⇔ sinx( 3sinx – sin3x) + 3cos 2 x + cos3xcosx + cos8x – 2 = 0 ⇔ 3sin 2 x + 3cos 2 x + cos3xcosx – sin3xsinx + cos8x – 2 = 0 ⇔ cos4x + cos8x + 1 = 0 ⇔ 2cos 2 4x + cos4x = 0 ⇔     −= = 2 1 4cos 04cos x x ⇔       +±= += 26 48 ππ ππ kx kx ( k ∈ Z ) Ví dụ 4. Giải phương trình: 4 3 4cos 4 1 4 cossin 44 +=       ++ xxx π ( 4 ) [...]...  (k∈ Z) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1 : 2(cos2x + cos22x + cos23x) = 3 Bài2 : cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 Bài3 : 2cos22x + cos2x = 4sin22xcos2x Bài4 : cos4x + sin6x = cos2x Bài5 : 1 − sin 4 x − cos 4 x = 2 cos 4 x 1 − sin 6 x − cos 6 x Bài6 : sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) Bài7 : cos3xcos3x + sin3xsin3x = cos34x Bài8 : 2cos2x + 2cos22x + 2cos23x = 3 + cos4x(2sin2x + 1) Bài9 : (sin8x... thỏa điều kiện BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1 : 1 + 2sin2x = 3tanx Bài2 : cos2x + 3sin2x = 2tanx + cotx Bài3 : 2tan2x = cot2x Bài4 : (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx π  Bài5 : 2(1 + sin 2 x) = tan x +   4 π π   Bài6 : tan x +  + tan x −  = 4 tan 2 x 4 4   x Bài7 : 4 sin x − 5 cot − 6 cos x + 1 = 0 2 1   =0 Bài8 : tan x − sin 2 x − cos 2 x + 2 cos x − cos x   Bài9 : cot2x... (k∈ Z) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1 : cos4x – cos2x + 2sin6x = 0 Bài2 : cos 3 x = cos 2 x − sin x 1 − sin x Bài3 : (1 + 2 ) tan x + cot x = tan 2 x + Bài4 : 3 tan x − sin x = 2 − 2 cos x tan x + sin x 2 sin 2 x Bài5 : sin3x + sin2x + 2cosx – 2 = 0 Bài6 : cos3x – sin3x + sinx = 0 cos 2 x = cos 4 x + sin 2 x Bài7 : cos 2  x + π    4  sin 5 x = sin 3 x + cos x sin 3 x + cos 2 x Bài8 :... π  8 2  (k∈ Z) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1 : cos3x + sin3x = cos2x Bài2 : cos 3 x + sin 3 x = cos 2 2 x π  cos 2  x +  4  Bài3 : cos2x – sinx = 4sin2xcosx Bài4 : 3(cosx – sinx) = 1 + cos2x – sin2x Bài5 : cos6x – sin6x = cos22x Bài6 : 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx cos 2 x − sin 2 x Bài7 : 4 cot 2 x = cos 6 x + sin 6 x sin 3 x − cos 3 x = 3 cos 2 x 1 − 2 sin 2 x x x x Bài9 : 4 cos sin... Z ) , thỏa điều kiện BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: π 3 Bài1 : sin  x −  = 2 sin x 4  4x Bài2 : cos − cos 2 x = 0 3 3x 4x = cos Bài3 : 1 + 2 cos 2 5 5 9x 12 x = cos −1 Bài4 : 2 cos 2 5 5 π 3 Bài5 : sin  x −  = sin 3x 3   π 3x   3π x  Bài6 : sin  +  = 2 sin +  4 2   4 2  4π 3 x  π x  Bài7 : sin  +  = 7 sin  −  7   7 7 7  3x π   7π x  Bài8 : sin  +  = 2 sin...  y = 2 + k 2π (k∈ Z) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1 : 2cos4x – 5sinxcos2x + 2sin2x = 0 Bài2 : 2cosx + tanx = 2sin2x + 1 Bài3 : 2sinx + 2cotx = sin2x + 2 Bài4 : sin3x + sinx – cos2x – 1 = 0 Bài5 : cos2x + 2sin23x + 4(3sinx – 4sin3x) + 3 = 0 sin x = 1 − 2 (k∈ Z) x = arcsin 5 − 2 + k 2π  x = π −arcsin 5 − 2 + k 2π  ( ⇔ ( ) k∈ Z) Bài6 : 4sin2x + sin23x = 4sinxsin23x Bài7 : cos3x + 3cos2x... 2 4  3π 2 − 10  + k 2π x = 4 − arcsin 2  ⇔ ( k ∈ Z ), thỏa ( * ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1 : 3sin2x + (sinx + cosx)3 – 1 = 0 Bài2 : 2(cos3x – sin3x) + sin22x + 2(sinx – cosx)3 = 0 π  3 3 Bài3 : 4(sin x + cos x) + 3 sin 2 x − 3 2 sin  x +  + 4 = 0 2  2 4 Bài4 : 2(tan x + cot x) – 5(tanx + cotx) + 6 = 0 Bài5 : 4 sin 2 2 x ( ) − 2 2 + 1 ( tan x + cot x ) + 4 2 = 0 Dạng4: Đặt... cosxy = 0 ⇒ x = 0 ⇒ sinxy = 0 ( trái với giả thiết sinxy = 1) Vậy ( 2 ) vô nghiệm BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1 : 4sin2x + sin3x = 4sinxsin23x Bài2 : sin 2 x + sin 2 3 x (cos 3 x sin 3 x + sin 3 x cos 3 x) = sin x sin 2 3 x 3 sin 4 x Bài3 : 4sin2x + 4sin2y + 4sin2(x + y) = 9 Bài4 : 2cosx + 2cosy – 2cos(x + y) = 3 Bài5 : 2sinx + 2siny + 2sin(x – y) = 3 V Phương pháp 5: DÙNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA... 1 8 8 5 Ta có:  8 ⇒ sin x − cos x ≤ 1 < ⇒ phương trình vô nghiệm 4  − cos x ≤ 0 Vậy nghiệm của ( 3 ) là: x = π π +k 4 2 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1 : sin4xsin16x = 1 Bài2 : sin10x + cos10x = 1 Bài3 : sin2x + cos3x = 2 – sin4x Bài4 : 3 sinx + cosx = cos2x +3 Bài5 : 4(sin6x + cos6x) = sin10x + cos10x ... x = arcsin 5 − 2 + k 2π  x = π −arcsin 5 − 2 + k 2π  ( ⇔ ( ) k∈ Z) Bài6 : 4sin2x + sin23x = 4sinxsin23x Bài7 : cos3x + 3cos2x + 2sin2x + 2cosx – 9sinx – 6 = 0 Bài8 : sin2x – 2cos2x – 4sinx – cosx + 3 = 0 Bài9 : 2sinx + 2siny + 2cos(x – y) = 3 Bài1 0: x2 – 2xcosxy + 2(1 – sinxy) = 0 IV Phương pháp 4: ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG k *Cách giải: Đưa phương trình về dạng ∑P 2 i ( x) i =1  P1 ( x) = 0  P ( x) . ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1 : 2cos3x + 2cosx + 1 = 0 Bài2 : 9sin3x + 12cos2x – 27sinx – 8 = 0 Bài3 : 2sinxcos2xsin3x + 3cos2x = 2 Bài4 :. ∈ Z ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1 : 3cos2x + 40sin 4 x = 4 Bài2 : 8sin 4 x + 8(1 – sinx) 4 = 1 Bài3 : Sin 8 x + cos 8 x = 138 97 Bài4 :