Luận văn thạc sĩ một phương pháp quy hoạch lồi giải một lớp bài toán chấp nhận lồi tách

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN THÀNH TRUNG MỘT PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH LỒI GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI TÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2018... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THÀNH TRUNG

MỘT PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH LỒI

GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN

CHẤP NHẬN LỒI TÁCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THÀNH TRUNG

MỘT PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH LỒI

GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN

CHẤP NHẬN LỒI TÁCH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2018

Mục lục

1.1 Tập lồi, hàm lồi 2

1.2 Toán tử chiếu lên tập lồi đóng 10

1.3 Dưới vi phân hàm lồi 14

Chương 2 Phương pháp quy hoạch lồi giải bài toán chấp nhận lồi tách 21 2.1 Bài toán quy hoạch lồi 21

2.1.1 Định nghĩa 21

2.1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm 25

2.1.3 Định lý Karush-kuhn-Tucker 28

2.1.4 Phương pháp chiếu đạo hàm 32

2.2 Bài toán chấp nhận lồi tách và một phương pháp giải 37

2.2.1 Bài toán chấp nhận lồi tách 37

2.2.2 Giới thiệu một mô hình thực tế dẫn tới bài toán 38 2.2.3 Chuyển bài toán chấp nhận lồi tách về bài toán quy hoạch lồi 39

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên dưới sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Lê Dũng Mưu Quađây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã dànhnhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn và tạo điều kiện cho tác giả trong suốtthời gian làm luận văn

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các giáo sư, phó giáo

sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học

và Công nghệ Việt Nam, các thầy cô trong trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu vàcông tác của bản thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, khoa Toán - Tintrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giảtrong suốt thời gian học tập tại trường

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp

đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làmluận văn

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018

Học viên

Nguyễn Thành Trung

Mở đầu

Quy hoạch lồi là một lớp bài toán cơ bản của tối ưu hóa Một đặc điểm cơ bảnnhất của lớp bài toán này là mọi điểm cực tiểu địa phương đều là cực tiểu tuyệt đối.Tính chất quan trọng này cho phép các lý thuyết có tính địa phương như giới hạn, viphân, có thể áp dụng trực tiếp vào quy hoạch lồi Lý thuyết về bài toán quy hoạch lồi

đã được quan tâm nghiên cứu nhiều và đã thu được nhiều kết quả quan trọng dựa trên

lý thuyết của giải tích lồi và tối ưu hóa; về phương diện tính toán, đã có khá nhiềuphương pháp hữu hiệu cho lớp bài toán này Các phương pháp đó đã được giới thiệutrong cuốn sách Tối ưu lồi (Convex Optimization) của các tác giả Stephen Boyd andLieven Vandenberghe do nhà xuất bản Cambridge University Press in năm 2004

Đề tài luận văn "Một phương pháp quy hoạch lồi giải một lớp bài toán chấp nhậnlồi tách" có mục đích giới thiệu lại kiến thức cơ bản về giải tích lồi, bài toán về quyhoạch lồi Đặc biệt đi sâu vào các bài chấp nhận lồi tách và một phương pháp giải.Nội dung luận văn gồm hai chương:

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị” giới thiệu các kiến thức cơ bản nhất về tập lồi,

hàm lồi và dưới vi phân hàm lồi

Chương 2 "Phương pháp quy hoạch lồi giải bài toán chấp nhận lồi tách" giới

thiệu bài toán quy hoạch lồi và một số tính chất của nó Nhắc lại phương pháp chiếuđạo hàm giải bài toán đó Cuối cùng tác giả giới thiệu bài toán chấp nhận lồi tách vàmột phương pháp giải

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tác giả giới thiệu các kiến thức cơ bản nhất về giải tích lồi, lànhững kiến thức nền tảng cần thiết phục vụ cho việc nghiên cứu và giải quyết đề tài.Các kiến thức của chương này được tổng hợp từ các tài liệu [1] và [2]

1.1 Tập lồi, hàm lồi

Trước hết ta nhắc lại khái niệm tập lồi trong Rn và các khái niệm có liên quan

Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊆ Rn được gọi là một tập lồi, nếu C chứa mọi đoạn

thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là C lồi khi và chỉ khi

Hình 1.1: (a), (b), (e) - Tập lồi; (c), (d) - Tập không lồi

Mệnh đề 1.1 Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm

của nó Tức là: C lồi khi và chỉ khi

Giả sử x là tổ hợp lồi của k điểm x1, , xk ∈ C Tức là

Lớp các tập lồi là đóng với các phép giao, phép cộng đại số và phép nhân tíchDescartes Cụ thể, ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2 Nếu A, B là các tập lồi trong Rn

, C là lồi trong Rm, thì các tập sau

là lồi :

A ∩ B := {x | x ∈ A, x ∈ B},

λA + βB := {x | αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R},

A × C := {x ∈ Rn+m | x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C}

Định nghĩa 1.2 Một điểm a ∈ C được gọi là điểm trong tương đối của C nếu nó là

điểm trong của C theo tô-pô cảm sinh bởi affC (tập affine nhỏ nhất chứa C)

Ta sẽ ký hiệu tập hợp các điểm trong tương đối của C là riC Theo định nghĩatrên ta có:

riC := {a ∈ C | ∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C},trong đó B là một lân cận mở của gốc Hiển nhiên

riC = {a ∈ affC | ∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C}

Tiếp theo ta nhắc khái niệm hàm lồi và một số khái niệm liên quan

Cho C ⊆ Rn là tập lồi và f : C → R Ta sẽ ký hiệu

domf := {x ∈ C | f(x) < +∞}

Tập dom f được gọi là miền hữu dụng của f Tập

epif := {(x, µ) ∈ C × R | f(x) ≤ µ}

được gọi là trên đồ thị của hàm f.

Bằng cách cho f(x) = +∞ nếu x /∈ C, ta có thể coi f được xác định trên toànkhông gian và hiển nhiên là

domf = {x ∈ Rn | f (x) < +∞},epif = {(x, µ) ∈ Rn

× R | f(x) ≤ µ}

Do sẽ làm việc với hàm số nhận cả giá trị −∞ và +∞, nên ta quy ước:

Nếu λ = 0, thì λf(x) = 0 với mọi x

Định nghĩa 1.3 Cho ∅ 6= C ⊆ Rn lồi và f : C → R Ta nói f là hàm lồi trên C,

nếu epif là một tập lồi trong Rn+1

Sau đây ta sẽ chủ yếu làm việc với hàm f : Rn → R ∪ {+∞} Trong trường hợpnày, dễ thấy rằng định nghĩa trên tương đương với

Bằng qui nạp, dễ dàng chứng minh được rằng, nếu f nhận giá trị hữu hạn trêntập lồi C, thì với mọi số tự nhiên m và mọi x1, , xm ∈ C thoả mãn λ1 ≥ 0, ,

Hàm f được gọi là một hàm lõm trên C, nếu −f lồi trên C.

Ví dụ 1.1 Cho S := {x ∈ Rn | kxk = 1} là một mặt cầu và h: S → R+ là mộthàm bất kỳ Định nghĩa hàm f như sau:

Hàm này được gọi là hàm mặt cầu Dễ thấy rằng f là một hàm lồi trên Rn, mặc dù h

là một hàm không âm bất kỳ trên mặt cầu S

Chứng minh. Chứng minh điều kiện cần Giả sử f lồi Chọn x, y, α, β như đã nêutrong mệnh đề Chọn α0 ∈ (f (x), α)và β0 ∈ (f (y), β) Vậy (x, α0)và (y, β0)thuộcepif Do epif lồi, nên

Định nghĩa 1.4 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} (không nhất thiết lồi), C ⊆ Rn là một

tập lồi khác rỗng và η là một số thực Ta nói η là hệ số lồi của f trên C, nếu với mọi

λ ∈ (0, 1), mọi x, y thuộc C, ta có

f [(1 − λ)x + λy] ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y) − 1

2ηλ(1 − λ)kx − yk

2

Hiển nhiên nếu η = 0 thì f lồi trên C Nếu f có hệ số lồi trên C là η > 0, thì flồi mạnh trên C với hệ số η.

Một hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= ∅ và f(x) > −∞ với mọi x Hàm f được gọi là đóng, nếu epif là một tập đóng trong Rn+1

Như đã nói ở trên, nếu f là một hàm lồi trên một tập lồi C, thì có thể thác triển

f lên toàn không gian bằng cách đặt

Hiển nhiên fe(x) = f (x) với mọi x ∈ C và fe lồi trên Rn Hơn nữa fe là chínhthường khi và chỉ khi f chính thường Tương tự fe đóng khi và chỉ khi f đóng.Chú ý rằng, nếu f là một hàm lồi trên Rn thì domf là một tập lồi, vì domf chính

là hình chiếu trên Rn của epif, tức là:

domf = {x | ∃µ ∈ R: (x, µ) ∈ epif}

Từ định nghĩa của tập trên đồ thị, ta thấy rằng một hàm lồi được xác định bởi trên

đồ thị của nó Mệnh đề đưới đây cho thấy lý do vì sao trong thực tế người ta thườngchỉ quan tâm đến các hàm lồi chính thường

Mệnh đề 1.4 Giả sử f là một hàm lồi không chính thường trên Rn và f 6≡ +∞ Khi

đó f (x) = −∞ với mọi x ∈ ri(domf ).

Chứng minh. Theo định nghĩa hàm chính thường, nếu domf 6= ∅, thì tồn tại một x0

sao cho f(x0) = −∞ Giả sử x ∈ ri(domf) Theo định nghĩa của điểm trong tươngđối, tồn tại y ∈ domf thỏa mãn x = λy + (1 − λ)x0 với λ ∈ (0, 1) Do f lồi và

f (y) < +∞, nên

f (x) ≤ λf (y) + (1 − λ)f (x0) = −∞

Theo mệnh đề trên, để tránh làm việc với các hàm lồi đồng nhất với −∞ tại miềntrong tương đối của miền hữu dụng, từ nay về sau, nếu không nhấn mạnh gì thêm,

khi nói đến một hàm lồi trên Rn, ta luôn hiểu đó là một hàm chính thường, tức là nókhông đồng nhất với +∞ và không nhận giá trị −∞.

Mệnh đề 1.5 Nếu f là một hàm lồi trên Rn, thì các tập mức

Lf(α) := {x | f (x) ≤ α}, lf(α) := {x | f (x) < α}

là lồi với mọi α ∈ R.

Chứng minh. Trường hợp α = +∞ hoặc −∞ là hiển nhiên (nhớ rằng tập rỗng làlồi) Lấy x, y ∈ lf(α) Tức là f(x) < α, f(y) < α Do f lồi, nên theo Mệnh đề 1.3,với mọi λ ∈ (0, 1) ta có:

Một lớp hàm lồi rất quan trọng là hàm lồi thuần nhất dương Nhắc lại rằng một

hàm f được gọi là thuần nhất dương (bậc 1) trên Rn nếu

Một hàm thuần nhất dương và dưới cộng tính được gọi là dưới tuyến tính Một ví

dụ điển hình về hàm dưới tuyến tính là hàm chuẩn f(x) = kxk

1.2 Toán tử chiếu lên tập lồi đóng

Trong mục này ta sẽ chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của hình chiếu xuốngmột tập lồi đóng Tiếp đến sẽ khảo sát một số tính chất cơ bản của toán tử chiếu

Định nghĩa 1.5 Cho ∅ 6= C ⊆ Rn (không nhất thiết lồi) và y là một véctơ bất kỳ,đặt dC(y) := inf

x∈Ckx − yk Ta nói dC(y) là khoảng cách từ y đến C Nếu tồn tại

π ∈ C sao cho dC(y) = kπ − yk, thì ta nói π là hình chiếu của y trên C.

Theo định nghĩa, ta thấy rằng hình chiếu pC(y) của y trên C sẽ là nghiệm củabài toán tối ưu minx

 1

2kx − yk2 | x ∈ C

.Nói cách khác việc tìm hình chiếu của

y trên C có thể đưa về việc tìm cực tiểu của hàm toàn phương kx − yk2 trên C

Ta ký hiệu π = pC(y), hoặc đơn giản hơn là p(y) nếu không cần nhấn mạnh đếntập chiếu C Chú ý rằng, nếu C 6= ∅, thì dC(y)hữu hạn, vì 0 ≤ dC(y) ≤ ky − xkvới mọi x ∈ C Cho C ⊆ Rn, x0 ∈ C Nón pháp tuyến (ngoài) của tập C tại x0 làtập hợp

NC(x0) := {w | wT(x − x0) ≤ 0 ∀x ∈ C}

Hình 1.3: Hình chiếu vuông góc

Mệnh đề 1.7 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng Khi đó:

(i) Với mọi y ∈ Rn, π ∈ C hai tính chất sau là tương đương:

(iv) Ánh xạ y ,→ pC(y) có các tính chất sau:

a) kpC(x) − pC(y)k ≤ kx − yk ∀x, ∀y, (tính không giãn),

λkx − πk2+ 2 hx − π, π − yi ≥ 0

Điều này đúng với mọi x ∈ C và λ ∈ (0, 1) Do đó khi cho λ tiến đến 0, ta được

hπ − y, x − πi ≥ 0 ∀x ∈ C

(ii) Do dC(y) = inf

x∈Ckx − yk, nên theo định nghĩa của cận dưới đúng, tồn tại mộtdãy {xk} ∈ C sao cho

Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C

Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu Thật vậy, nếu tồn tại hai điểm π

và π1 đều là hình chiếu của y trên C, thì

y − π ∈ NC(π), y − π1 ∈ NC(π1)

Tức là

1− π ≥ 0và

1− y, π − π1 ≥ 0

Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra kπ − π1k2 ≤ 0, và do đó π = π1

(iii) Do y − π ∈ NC(π), nên

hπ − y, x − πi ≥ 0 ∀x ∈ C

Vậy hπ − y, xi = hπ − y, πi là một siêu phẳng tựa của C tại π Siêu phẳng này tách

1.3 Dưới vi phân hàm lồi

Định nghĩa 1.6 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} và x0 ∈ R sao cho f(x0) < +∞ Nếuvới một vectơ y ∈ Rn mà giới hạn

lim

λ↓0

f (x0+ λy) − f (x0)

λ

tồn tại (hữu hạn hay vô hạn), thì ta nói f có đạo hàm theo hướng y tại điểm x0 Ta sẽ

ký hiệu giới hạn này là f0(x0, y)

Mệnh đề 1.8 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} lồi Khi đó với mọi x ∈domf và mọi

y ∈ Rn, ta có:

i) ϕ là hàm đơn điệu không giảm trên (0, +∞); f0(x, y) tồn tại với mọi y ∈ Rn và

f0(x, y) := f (x + λy) − f (x)

ii) Hàm f0(x, ) thuần nhất dương bậc 1 Ngoài ra nếu f0(x, ) > −∞ thì:

a) Hàm f0(x, ) là dưới tuyến tính trên Rn (do đó nó là hàm lồi chính thường trên Rn).

b) −f0(x, −y) ≤ f0(x, y) ∀y ∈ Rn.

c) Hàm f0(x, ) nhận giá trị hữu hạn trên F khi và chỉ khi x ∈ridomf , trong đó

F là không gian con của domf

Định nghĩa 1.7 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} Ta nói x∗ ∈ Rn là dưới đạo hàm của f

tại x nếu

hx∗, z − xi + f (x) ≤ f (z), ∀z

Tương tự như đối với hàm lồi khả vi thông thường, biểu thức này có nghĩa làphương trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị của hàm số Tuy nhiên khác với trường hợpkhả vi, tiếp tuyến ở đây có thể không tồn tại duy nhất

Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f(x) Nói chung đây là

một tập (có thể bằng rỗng) trong Rn Khi ∂f(x) 6= ∅, thì ta nói hàm f khả dưới vi

phântại x Theo định nghĩa, một điểm x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi nó thỏa mãn một

hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính Như vậy ∂f(x) là giao của các nửa khônggian đóng Vậy ∂f(x) luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng) Ta ký hiệu

Mệnh đề dưới đây cho một định nghĩa khác tương đương của dưới vi phân

Mệnh đề 1.9 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} lồi, chính thường.

(i) x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi f0(x, y) ≥ hx∗, yi , ∀y Nếu x ∈ ri(domf ), thì

Chú ý rằng do f0(x, )là hàm lồi, thuần nhất dương, nên mọi hàm non affine của

f0(x, ) đều tuyến tính, tức là có dạng hp, i Vậy nếu hp, i là hàm non affine của

Để chứng minh điều ngược lại, lấy z0 ∈ri(domf) Với mọi z ta có

¯

f (z) = lim

t&0f (1 − t)z + tz0

Vậy, theo định nghĩa dưới vi phân ta có:

f (1 − t)z + tz0 ∗, (1 − t)z + tz0− x Cho t & 0 ta được:

¯

f (x) ≥ f (x) + hx∗, z − xi = ¯f (x) + hx∗, z − xi Chứng tỏ x∗ ∈ ∂ ¯f (x)

Mệnh đề 1.10 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} lồi, chính thường Khi đó

(i) Nếu x 6∈ domf, thì ∂f(x) = ∅.

(ii) Nếu x ∈ int(domf), thì ∂f(x) 6= ∅ và compact Ngược lại, nếu ∂f(x) 6= ∅,

, t ∈ R không đồng thời bằng 0 thỏa mãn

hp, xi + tf (x) ≤ hp, yi + tµ ∀(y, µ) ∈ epif (1.2)

Ta có t 6= 0, vì nếu t = 0 thì

hp, xi ≤ hp, yi ∀y ∈domf

Nhưng do x ∈ int(domf), nên điều này kéo theo p = 0 Vậy t 6= 0 Hơn nữa t > 0,

vì nếu t < 0 thì trong bất đẳng thức (1.2), khi cho µ → ∞ ta suy ra mâu thuẫn vì vếtrái cố định

Chia hai vế của (1.2) cho t > 0, đồng thời thay µ = f(y) và đặt x∗ = −p

t, tađược

hx∗, xi + f (x) ≤ hx∗, yi + f (y) ∀y ∈ domf

Hay là

hx∗, y − xi + f (x) ≤ f (y) ∀y ∈domf

Nếu y 6∈ domf thì f(y) = ∞, do đó

hx∗, y − xi + f (x) ≤ f (y) ∀y

Chứng tỏ x∗ ∈ ∂f (x)

Cách chứng minh trên cho thấy dưới đạo hàm của f tại x chính là véctơ pháptuyến của siêu phẳng tựa của bao đóng của epif tại (x, f(x)) Thực ra f khả dưới viphân tại mọi điểm x ∈ ri(domf), điều này có thể chứng minh ngắn gọn như sau:

Do x ∈ ri(domf) nên theo Mệnh đề 1.9 có,

Theo mệnh đề 11.8, do x ∈ ri(domf), nên f0(x, y)hữu hạn với mọi y Nói riêng

f0(x, −ei) và f0(x, ei) hữu hạn với mọi i = 1, , n Vậy ∂f(x) bị chặn, và do tínhđóng, nên nó compact

Ngược lại giả sử rằng ∂f(x) khác rỗng và compact Ta chỉ ra rằng x ∈ ri(domf)

Do ∂f(x) 6= ∅, nên x ∈ domf Nếu trái lại x 6∈ ri(domf), thì x ở trên biên tươngđối của domf Do domf lồi, theo mệnh đề về siêu phẳng tựa, tồn tại một siêu phẳngtựa của bao đóng của domf tại x, tức là tồn tại véctơ p ∈ Rn, p 6= 0 sao cho

Khi đó ∂f(0) = ∅

Mệnh đề 1.11 Cho f là một hàm lồi chính thường trên Rn Khi đó

(i) Với mọi tập bị chặn C ⊂ ri(domf), tập [

Xét ánh xạ tuyến tính hx∗, zi Chuẩn của ánh xạ tuyến tính này là

kx∗k = sup

kzk=1

hx∗, zi Thay vào (1.4) ta có:

f0(x, z) = sup

x ∗ ∈∂f (x)

hx∗, zi ,nên ta có tiếp

Do x ∈ C ⊆ ri(domf), nên hàm f0(x, ) lồi trên không gian con F của domf Suy

ra hàm g vì là bao trên của một họ hàm lồi liên tục trên F

hx∗, yi − f (y) + f (x) ≤ hx∗, xi ∀y,tương đương với x∗ ∈ ∂f (x) Do f đóng, nên f∗∗ = f, và do đó x ∈ ∂f∗(x∗)

2.1 Bài toán quy hoạch lồi

2.1.1 Định nghĩa

Cho D ⊆ Rn và f : Rn → R Xét bài toán quy hoạch toán học:

trong đó D là tập lồi đóng trong Rn và f là hàm xác định trên D

Bài toán trên được hiểu là tìm một điểm x∗ ∈ Dsao cho f(x∗) ≤ f (x)với mọi xthuộc D Mỗi điểm x∗ ∈ Dđược gọi là một nghiệm chấp nhận được hay một phương

án chấp nhận được của bài toán (P ) Tập D được gọi là tập nghiệm chấp nhận được hay tập ràng buộc, f được gọi là hàm mục tiêu của bài toán (P ) Thông thường, tập

Dđược cho như là tập nghiệm của một hệ bất đẳng thức hoặc đẳng thức có dạng

D := {x ∈ X | gj(x) ≤ 0, hi(x) = 0, j = 1, , m, i = 1, , p} (2.1)trong đó ∅ 6= X ⊆ Rn và gj, hi: Rn → R (j = 1, , m, i = 1, , p) Bài toán(P )với D cho bởi (2.1) gọi là trơn nếu cả hàm mục tiêu và các ràng buộc đều trơn