Luận văn thạc sĩ điều kiện fritz john và karush kuhn tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC——————–o0o——————– AN VĂN LONG ĐIỀU KIỆN FRITZ JOHN VÀ KARUSH-KUHN-TUCKER CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

AN VĂN LONG

ĐIỀU KIỆN FRITZ JOHN VÀ

KARUSH-KUHN-TUCKER

CHO NGHIỆM HỮU HIỆU

CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 5/2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

AN VĂN LONG

ĐIỀU KIỆN FRITZ JOHN VÀ

KARUSH-KUHN-TUCKER

CHO NGHIỆM HỮU HIỆU

CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

THÁI NGUYÊN, 5/2018

Bảng ký hiệu i

Chương 1 Dưới vi phân suy rộng 41.1 Dưới vi phân suy rộng và các dưới vi phân Clarke, Michel–Penot 41.2 Dưới vi phân chính quy 111.3 Quy tắc tính dưới vi phân suy rộng 14Chương 2 Điều kiện cần và điều kiện đủ cho nghiệm hữu

2.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ 172.2 Điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu địa phương 192.3 Điều kiện cần Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu địa

phương 272.4 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu 31

Bảng ký hiệu

convM bao lồi của tập M

clconvM bao lồi đóng của tập M

coneM nón lồi sinh ra bởi M

X∗ không gian đối ngẫu tô pô của không gian X

T (C, x) nón tiếp tuyến Clarke của C tại x

N (C, x) nón pháp tuyến Clarke của C tại x

f−(x, d) đạo hàm Dini dưới của f tại x theo phương d

f+(x, d) đạo hàm Dini trên của f tại x theo phương d

f0(x, d) đạo hàm suy rộng Clarke của f tại x theo phương d

f♦(x, d) đạo hàm Michel–Penot của f tại x theo phương d

∂f (x) dưới vi phân Clarke của f tại x

∂♦f (x) dưới vi phân Michel–Penot của hàm f tại x

∂∗f (x) dưới vi phân suy rộng trên của f tại x

∂∗f (x) dưới vi phân suy rộng dưới của f tại x

(V EP ) bài toán cân bằng vectơ

(CV EP ) bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc

(CV V I) bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc(CV OP ) bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán cân bằng vectơ bao gồm nhiều lớp bài toán trong tối ưu, trong

đó có bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ.Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ là một

bộ phận quan trọng của tối ưu hóa

Năm 1999, V Jeyakummar và D.T Luc [5] đã đưa ra khái niệm dưới

vi phân suy rộng đóng không lồi (convexificator) cho hàm vô hướng Dưới

vi phân suy rộng là một tổng quát hóa của các khái niệm dưới vi phânClarke, Michel - Penot, Mordukhovich, Treiman Dưới vi phân suy rộng

là một công cụ hữu hiệu để thiết lập các điều kiện tối ưu Khi dẫn cácđiều kiện tối ưu qua các dưới vi phân người ta thường phải giả thiết hàmràng buộc đẳng thức là khả vi Fréchet

Đ.V Lưu ([6], 2016) đã thiết lập các điều kiện cần Fritz John, các điềukiện cần và đủ Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toáncân bằng vectơ có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tậpqua dưới vi phân suy rộng, trong đó hàm ràng buộc đẳng thức không khả

vi Fréchet, mà chỉ là hàm Lipschitz địa phương Đây là đề tài được nhiềutác giả quan tâm nghiên cứu Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài:

"Điều kiện Fritz John và Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệucủa bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng"

2 Mục đích của đề tài

Luận văn trình bày các điều kiện cần Fritz John, các điều kiện cần

và đủ Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằngvectơ qua dưới vi phân suy rộng của Đ.V Lưu [6] đăng trong tạp chí J

Optim.Theory Appl 171 (2016), 643 - 665 Một số áp dụng cho bài toánbất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ cũng được trìnhbày trong luận văn.

3 Nội dung của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục tàiliệu tham khảo

Chương 1 " Dưới vi phân suy rộng" trình bày một số kiến thức cơ bản

về dưới vi phân suy rộng không compact cho hàm giá trị thực mở rộng,bao gồm: các khái niệm dưới vi phân suy rộng trên và dưới, dưới vi phânsuy rộng chính quy và dưới vi phân suy rộng tối thiểu, các quy tắc tínhdưới vi phân suy rộng, định lý giá trị trung bình

Chương 2 "Điều kiện cần và điều kiện đủ" trình bày các điều kiệncần Fritz John và Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu địa phươngchính quy theo nghĩa Ioffe và các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếucủa bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc trong không gian Banach của

D V Luu [6]

Chương 3 "Áp dụng": sử dụng các kết quả đã trình bày trong chương

2, chúng tôi trình bày các điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thứcbiến phân vectơ (CVVI) và bài toán tối ưu vectơ (CVOP)

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đỗ Văn Lưu.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người thầyhướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dànhnhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để tác giả hoànthành luận văn này

Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho

công tác và nghiên cứu của bản thân Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm

ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp cao họcToán K10Y, nhà trường và các phòng chức năng của Trường, khoa Toán

- Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm vàgiúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường

Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã độngviên, ủng hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiêncứu và học tập

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018Tác giả luận văn

An Văn Long

Chương 1

Dưới vi phân suy rộng

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân suy rộngkhông compact cho hàm giá trị thực mở rộng, bao gồm: các khái niệmdưới vi phân suy rộng trên và dưới, dưới vi phân suy rộng chính quy vàdưới vi phân suy rộng tối thiểu, các quy tắc tính dưới vi phân suy rộng,định lý giá trị trung bình Các kiến thức trình bày trong chương này đượctham khảo trong [1], [5]

1.1 Dưới vi phân suy rộng và các dưới vi phân Clarke,

Trong trường hợp f+(x; v) = f−(x; v), giá trị chung của chúng được kýhiệu bởi f0(x; v) và được gọi là đạo hàm Dini của f tại x theo phương v.Hàm f được gọi là khả vi Dini được tại x nếu đạo hàm Dini tại x tồn tạitheo tất cả các phương.

Theo [5], hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng trên

∂∗f (x) tại x nếu ∂∗f (x) ⊂ X∗ là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,

Ví dụ 1.1 Cho hàm f : R → R được xác định bởi:

f (x) =

( √

x, nếu x ≥ 0,

−√−x, nếu x < 0Hàm f có dưới vi phân suy rộng không compắc tại 0 có dạng [α, ∞) với

α ∈ R

Hàm f được cho là có dưới vi phân suy rộng nửa chính quy trên (dưới)

∂∗f (x) (tương ứng ∂∗f (x)) tại x nếu ∂∗f (x) (tương ứng ∂∗f (x)) đóng yếu∗

và với mọi v ∈ X,

f+(x; v) 6 sup

ξ∈∂ ∗ f (x)

hξ, vi

tương ứng f−(x; v) > inf

ξ∈∂∗f (x)hξ, vi.Giả sử f : X −→ R là hữu hạn tại điểm x ∈ X Nếu f là nửa liên tụcdưới tại x thì đạo hàm trên Clarke–Rockafellar của f tại x theo phương

v được định nghĩa bởi

∂↑f (x) =x∗ ∈ X∗ : hx∗, vi ≤ f↑(x, v), ∀v ∈ X ,

∂↓f (x) =x∗ ∈ X∗ : hx∗, vi ≤ f↓(x, v), ∀v ∈ X Nếu f↑(x, 0) > −∞ thì ∂↑f (x) là tập con đóng yếu∗, lồi, khác rỗng của

f↑(x; v) = f◦(x, v) ,

f↓(x; v) = f◦(x, v) ,

Ta thấy rằng đạo hàm theo phương dưới và trên Michel–Penot f(x,.) và

f(x,.) là hữu hạn, dưới tuyến tính, ∂f (x) là compact yếu∗ lồi và

Hơn nữa, nếu X = Rn thì

∂◦f (x) = convv ∈ Rn

: ∃{xk} : xk → x, xk ∈ K, f0(xk) → v Như vậy, tập com pắc

v ∈ Rn : ∃{xk} : xk → x, xk ∈ K, f0(xk) → v

là một dưới vi phân suy rộng của f tại x, trong đó K là tập các điểm của

Rn mà f là khả vi với đạo hàm f0(x) tại x

Định lý giá trị trung bình dưới đây đóng một vai trò quan trọng trong

lý thuyết dưới vi phân suy rộng

Định lí 1.1 (Định lý giá trị trung bình cho dưới vi phân suy rộng)Giả sử a, b ∈ X và f : X → R là một hàm sao cho thu hẹp f |[a,b] làhữu hạn và liên tục Giả thiết rằng với mỗi x ∈ (a, b), ∂∗f (x) và ∂∗f (x)tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f Khi đó tồn tại

c ∈ (a, b) và một dãy {x∗k} ⊂ conv(∂∗f (c)) ∪ conv(∂∗f (c)) sao cho

f (b) − f (a) = lim

k→∞hx∗k, b − ai Chứng minh

Xét hàm g : [0, 1] → R được xác định bởi

g(t) := f a + t(b − a)
− f (a) + t f (a) − f (b)

Khi đó, g là liên tục trên [0, 1] và g(0) = g(1) = 0 Như vậy, tồn tại

γ ∈ (0, 1) sao cho g đạt cực trị tại γ Đặt

Khi đó bằng cách đặt v = 1 và v = −1 ta có được các bất đẳng thức sau:

f (b) − f (a) = lim

k→∞hx∗k, b − ai Nếu g đạt cực đại tại γ thì cũng lí luận tương tự như trên ta nhận đượckết luận của định lí 

Từ định lý giá trị trung bình ta chứng minh được quy tắc hàm hợp chodưới vi phân suy rộng như sau:

Định lí 1.2

Giả sử f = (f1, , fn) là một hàm liên tục từ X vào Rn và g là mộthàm liên tục từ Rn vào R Giả thiết rằng với mỗi i = 1, 2, , n, fi có mộtdưới vi phân suy rộng bị chặn ∂∗fi(x0) tại x0 và g có một dưới vi phânsuy rộng bị chặn ∂∗g f (x0)
tại f (x0) Với mỗi i = 1, 2, , n, nếu ∂∗fi lànửa liên tục trên tại x0 và ∂∗g là nửa liên tục trên tại f (x0) thì tập

fi(x0 + tu) − fi(x0)) ∈ conv ∗fi(xti), tu ,

với cti nào đó ∈ (x0, x0 + tu) Từ giả thiết nửa liên tục trên ta suy ra vớimỗi  > 0, tồn tại t0 > 0 sao cho

∂∗g(ct) ⊂ ∂∗g f (x0)
+ Bn

,

∂∗fi(xti) ⊂ ∂∗fi(x0) + BX∗,với mỗi i và t ∈ [0, t0], trong đó Bn là hình cầu đơn vị trong Rn Như vậy

ta nhận được, với mỗi t ≤ t0,

g f (x0 + tu)
− g f (x0)

t ∈ conv hA, ui ,trong đó

Bởi vì dưới vi phân suy rộng là bị chặn, suy ra tồn tại M > 0, khôngphụ thuộc vào  sao cho với mỗi α ∈ ∂∗g f (x0)
, b ∈ Bn, ξi ∈ BX∗,

Lý luận tương tự như trên ta có tập ∂∗g f (x0)
∂∗f1(x0), , ∂∗fn(x0)

là một dưới vi phân suy rộng dưới của g ◦ f tại x0 Do đó, ta có điều phải

1.2 Dưới vi phân chính quy

Hàm f : X → R được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy trên

∂∗f (x) ⊂ X∗ tại x nếu ∂∗f (x) là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,

f+(x, v) = sup

x ∗ ∈∂ ∗ f (x)

hx∗, vi

Tương tự, hàm f được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy dưới

∂∗f (x) ⊂ X∗ tại x nếu ∂∗f (x) là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,

f−(x, v) = inf

x ∗ ∈∂∗f (x)hx∗, vi

Rõ ràng, mọi dưới vi phân suy rộng chính quy trên (dưới) của f tại x làdưới vi phân suy rộng trên (t.ứ dưới) của f tại x Theo [5], hàm f là dướikhả vi tại x nếu nó khả vi theo phương và tồn tại một tập lồi và compăcyếu∗ ∂∗f (x) sao cho với mỗi v ∈ X,

f0(x, v) = max

x ∗ ∈∂ ∗ f (x)hx∗, vi Khi đó, từ định nghĩa suy ra mọi hàm dưới khả vi có dưới vi phân suyrộng compăc yếu∗ và chính quy trên Các hàm dưới khả vi cho ta mộtlớp rộng của hàm không trơn, nó kín với phép lấy tổng và maximum theođiểm

Nhắc lại [2]: hàm Lipschitz địa phương f được gọi là chính quy theonghĩa Clarke tại x nếu với mọi v ∈ X, tồn tại f0(x, v) và f0(x, v) = f0(x, v).Chú ý rằng dưới vi phân Clarke của f quy về đạo hàm thông thường nếu

f khả vi chặt Trong trường hợp f là Lipschitz địa phương, dưới vi phânClarke là một dưới vi phân suy rộng của f tại x (xem [5]) Với những hàm

f như vậy, dưới vi phân Clarke ∂f (x) là một dưới vi phân suy rộng chínhquy trên và ánh xạ dưới vi phân suy rộng ∂f bị chặn địa phương tại x.Hơn nữa, trong trường hợp dim X < ∞, ánh xạ ∂f nửa liên tục trên tại

0, nếu x = 0

Mệnh đề 1.1 Hàm f : X → R là khả vi Gâteaux tại x0 nếu và chỉ nếu f

là khả vi theo phương tại x0 và f có một dưới vi phân suy rộng chính quytrên và dưới tại x0

Chứng minh

Nếu f là khả vi Gâteaux tại x0 thì f là khả vi theo phương và đạo hàmGâteaux {f0(x0)} là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dướicủa f tại x0 Ngược lại, nếu f là khả vi theo phương tại x0 và nếu ∂∗f (x0)

là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới thì với mỗi v ∈ X,

f+(x, v) = f↑(x, v) Tương tự, hàm f là chính quy dưới tại x nếu với mỗi v ∈ X,

f−(x, v) = f↓(x, v) Lưu ý rằng, nếu f : Rn → R là Lipschitz địa phương trên Rn và nếu vớimỗi v ∈ X, f+(·, v) [f−(·, v)] là nửa liên tục trên [dưới], thì với mỗi x ∈ X

và v ∈ X,

f+(x, v) = f◦(x, v) = f↑(x, v)[f−(x, v) = f◦(x, v) = f↓(x, v)],

và như vậy f là chính quy trên [dưới] tại x.

Nếu f↑(x, 0) > −∞ và f là chính quy trên tại x, thì ∂↑f (x)) là tập conđóng yếu∗, lồi, khác rỗng của X∗ và với mỗi v ∈ X,

f+(x, v) = f↑(x, v) = sup

x ∗ ∈∂ ↑ f (x)

hx∗, vi

Do đó, ∂↑f (x) là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của f tại x

Tương tự, nếu f↓(x, 0) < ∞ và f là chính quy dưới tại x, thì ∂↓f (x) làtập con đóng yếu∗, lồi, khác rỗng của X∗ và với mỗi v ∈ X,

Giả sử hàm f : X → R có dưới vi phân suy rộng ∂∗f (x) tại x ∈ X.Nếu f đạt cực trị tại x thì

φ là hàm dưới tuyến tính, nửa liên tục dưới Do đó, theo [19], với mỗi

v ∈ X,

φ(v) ≥ 0 nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂φ(0),trong đó

Giả sử ∂∗f (x) và ∂∗f (x) tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên

và dưới của f tại x Nếu λ > 0 thì λ∂∗f (x) là một dưới vi phân suy rộngtrên của λf tại x Nếu λ < 0 thì λ∂∗f (x) là một dưới vi phân suy rộngtrên của λf tại x

Chứng minh

Kết luận của quy tắc được suy ra từ định nghĩa Chú ý rằng quy tắc này cũng đúng với các dưới vi phân suy rộng chínhquy dưới và trên

Quy tắc 1.2

Giả thiết rằng các hàm f, g : X → R nhận ∂∗f (x) và ∂∗g(x) tương ứng

là các dưới vi phân suy rộng trên tại x và một trong các dưới vi phân suyrộng là chính quy trên tại x Khi đó ∂∗f (x) + ∂∗g(x) là dưới vi phân suyrộng trên của f + g tại x

Chứng minh

Giả sử ∂∗g(x) là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của g tại x Khi

Quy tắc 1.3

Nếu f : X → R có dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂∗f (x) tại x và

g : X → R là khả vi Gâteaux tại x với đạo hàm g0(x) thì ∂∗f (x) + {g0(x)}

là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của f + g tại x

h(x) = max{f1(x), f2(x)}

Đặt

I(x0) = {i ∈ I : h(x0) = fi(x0)}

2.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ

Giả sử X là một không gian Bannach thực và X∗ là không gian đốingẫu tô pô của X Cho f, g, h tương ứng là các ánh xạ từ X vào R, Rn,

Rl và C là một tập con đóng của X Ta có g = (g1, , gn), h = (h1, , hl),trong đó f, g(i), h(j) (với i ∈ I := {1, , n}, j ∈ L := {1, , l}) là cáchàm giá trị thực mở rộng xác định trên X Ta xét bài toán tối ưu có ràngbuộc (P) sau đây:

min f (x), x ∈ M1 :=

n

x ∈ C : gi(x) 6 0, i ∈ I, h(x) = 0

o (P)Trong [4], Ioffe giới thiệu một cách tiếp cận cho lý thuyết các điều kiệncần tối ưu cho bài toán (P) thông qua xấp xỉ cấp 1 bằng cách thiết lậpmột định lý rút gọn, trong đó (P) được thay thế bởi một bài toán không

có ràng buộc

Nhắc lại [4]: điểm x được gọi là điểm chính quy theo nghĩa Ioffe của h

theo C nếu tồn tại các số K > 0 và δ > 0 sao cho với mọi x ∈ C ∩ B(x; δ),

dQ(x) 6 K k h(x) − h(x) k,trong đó Q := {x ∈ C : h(x) = h(x)}, dQ(x) kí hiệu khoảng cách từ x tới

Lấy x = 0 và C = [−23,23] Hàm này là Lipschitz địa phương tại x = 0

Ta chứng minh rằng x = 0 là điểm chính quy theo theo nghĩa Ioffe(xem [4]) Thật vậy, ta có Q = {x ∈ C : h(x) = h(x)} = {0; ±π2} Bởi vì

x sinx1 → 0 khi x → 0, ta suy ra với 0 < α < π2, tồn tại số δ > 0 sao cho

Do đó, x = 0 là điểm chính quy theo nghĩa Ioffe [22] của h theo C

Ta nhắc lại Định lý 1 của Ioffe [4] Kết quả này sẽ cần dùng trong phầntiếp theo

Mệnh đề 2.1

(i) Giả sử x là điểm chính quy của h theo C theo nghĩa Ioffe Giả sử f ,

h1, , h` là Lipschitz địa phương tại x Nếu x là một nghiệm địa phương(địa phương cô lập) của (P), thì với mọi r > 0 đủ lớn, hàm sau đây đạtcực tiểu địa phương (tương ứng địa phương chặt) tại x:

F (x, y) /∈ −P \ {0} (2.1)Một vectơ x được gọi là nghiệm hữu hiệu địa phương của (VEP) nếutồn tại một số δ > 0 sao cho (2.1) đúng với mọi y ∈ M ∩ B(x; δ).

Trong trường hợp intP 6= ∅,x được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu địa phươngcủa (VEP) nếu tồn tại một số δ > 0 sao cho với mọi y ∈ M ∩ B(x; δ),

F (x, y) /∈ −intP

Đặt Fx(y) := F (x, y), Fk,x(y) := Fk(x, y), ∀k ∈ J := {1, , m} Giả sử

Fx(x) = 0 Trong trường hợp P = Rm+, điểm x ∈ M là một nghiệm hữuhiệu địa phương (tương ứng nghiệm hữu hiệu yếu địa phương) của (VEP)nếu tồn tại một số δ > 0 sao cho không có y ∈ M ∩ B(x; δ) thỏa mãn

Fk,x(y) 6 0 (∀ k ∈ J),

Fs,x(y) < 0 với ít nhất một s ∈ J,(tương ứng Fk,x(y) < 0, ∀k ∈ J )