Luận văn thạc sĩ thuật toán giải một số bài toán tối ưu phân thức tuyến tính và phi tuyến

MỞ ĐẦUQuy hoạch phân tuyến tính Linear Fractional Programming, viếttắt LFP, rộng hơn là quy hoạch phân thức phi tuyến, là một mở rộngtrực tiếp của quy hoạch tuyến tính Linear Programming

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS Trần Vũ Thiệu

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

1.1 HÀM PHÂN THỨC AFIN 7

1.2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 9

1.3 CÁCH TIẾP CẬN CHARNES - COOPER 11

1.4 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CỔ ĐIỂN 14

2 THUẬT TOÁN CẢI TIẾN GIẢI QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 18 2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT BÀI TOÁN (LP) 18

2.1.1 Biến đổi (LFP) về bài toán tuyến tính (LP) 18

2.1.2 Thuật toán 20

2.1.3 Ví dụ minh họa 20

2.2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HAI BÀI TOÁN (LP) 25

2.2.1 Cơ sở của phương pháp 26

2.2.2 Phương pháp hạn chế hàm mục tiêu ở mẫu số 27

2.2.3 Ví dụ minh họa 28

2.2.4 Bài toán cực tiểu 29

3.1 THUẬT TOÁN DINKELBACH 32

3.1.1 Ký hiệu và kết quả chuẩn bị 32

3.1.2 Sự hội tụ toàn cục của thuật toán 34

3.2 THUẬT TOÁN DINKELBACH RÚT GỌN 36

3.3 ÁP DỤNG GIẢI QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 39

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Chương 1:

- Hình 1.1 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 1.1

- Hình 1.2 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 1.2Chương 2:

- Hình 2.1 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.1

- Hình 2.2 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.2

- Hình 2.3 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.6Chương 3:

- Hình 3.1 Sơ đồ khối thuật toán Dinkelbach

MỞ ĐẦU

Quy hoạch phân tuyến tính (Linear Fractional Programming, viếttắt LFP), rộng hơn là quy hoạch phân thức phi tuyến, là một mở rộngtrực tiếp của quy hoạch tuyến tính (Linear Programming, viết tắt LP),với đối tượng nghiên cứu là các bài toán tìm cực tiểu (cực đại) một hàmphân tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính afin), trên một tập ràng buộcđược xác định bởi các đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính

Các bài toán quy hoạch phân tuyến tính thường dùng để mô tảtoán học cho nhiều bài toán thực tế với các hàm mục tiêu phân thức,chẳng hạn: lợi nhuận/chi phí, sản phẩm/số lao động, v.v và được ứngdụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của kinh tế, tài chính, kỹthuật, v.v

Quy hoạch phân tuyến tính có nhiều điểm tương đồng với quyhoạch tuyến tính, cả về lý thuyết lẫn phương pháp giải Trong một sốtrường hợp riêng, bài toán quy hoạch phân tuyến tính trở thành bài toánquy hoạch tuyến tính và do đó có thể giải theo thuật toán đơn hình quenthuộc của quy hoạch tuyến tính Trong trường hợp tổng quát, nhiều tácgiả cũng đã tìm cách đưa việc giải quy hoạch phân tuyến tính về giảimột hay nhiều bài toán quy hoạch tuyến tính

Luận văn với đề tài "Thuật toán giải một số bài toán tối ưuphân thức tuyến tính và phi tuyến" nhằm tìm hiểu và trình bàymột số thuật toán mới gần đây, nêu ở các tài liệu tham khảo [5] - [7],giải quy hoạch phân tuyến tính (nhờ đưa về quy hoạch tuyến tính) vàgiải quy hoạch phân thức phi tuyến (theo tiếp cận tham số)

Nội dung luận văn được trình bày trong ba chương.

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại về hàm phân thứcafin và tính chất, bài toán quy hoạch phân tuyến tính, mối liên hệ giữaquy hoạch phân tuyến tính với quy hoạch tuyến tính và cuối chương giớithiệu phương pháp tiêu biểu dựa trên thuật toán đơn hình để giải quyhoạch phân tuyến tính

Chương 2 "Thuật toán cải tiến giải quy hoạch phân tuyếntính" trình bày thuật toán cải tiến của M B Hasan và S Acharjee nêu

ở [5] giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) bằng cách đưa vềmột bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) và thuật toán của P Pandian

và M Jayalakshmi nêu ở [7] đưa (LFP) về giải hai bài toán (LP)

Chương 3 "Tiếp cận tham số giải quy hoạch phân thứcphi tuyến" trình bày các kết quả nghiên cứu của A Jeflea nêu ở [6]

về tiếp cận tham số giải bài toán phân thức phi tuyến: Thuật toánDinkelbach, thuật toán Dinkelbach rút gọn cho phép giải gần đúng cácbài toán tham số và sự hội tụ của các thuật toán Áp dụng cách tiếpcận tham số giải bài toán phân thức tuyến tính (LFP)

Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việctìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu

đã có theo chủ đề đặt ra Trong quá trình viết luận văn cũng như trongsoạn thảo văn bản chắc chắn không tránh khỏi có những sai sót nhấtđịnh Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô vàcác bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS.Trần Vũ Thiệu, người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình giúp

đỡ trong suốt quá trình làm luận văn Tác giả cũng xin chân thành cảm

ơn quý thầy cô trong Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên và các GS, PGS, TS của Viện Toán học, Viện Côngnghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả họctập và nghiên cứu

Thái Nguyên, ngày 21 tháng 4 năm 2018

Tác giả luận văn

Lê Đình Thản

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số tính chất đáng chú ý của hàm phânthức afin (tỉ số hai hàm tuyến tính afin), giới thiệu bài toán quy hoạchphân tuyến tính và thuật toán giải quy hoạch phân tuyến tính, dựa trênphép biến đổi Charnes - Cooper Nội dung của chương được tham khảochủ yếu từ các tài liệu [3] và [4]

cho q(z) = 0 Vì thế, không giảm tổng quát, ta có thể giả thiết q(x) > 0với mọi x ∈ S Trường hợp q(x) < 0 với mọi x ∈ S thì nhân cả tử sốp(x) với mẫu số q(x) của hàm số f (x) với (−1) sẽ có q(x) > 0 với mọi

x ∈ S

Định lý sau nêu tính chất đơn điệu theo phương của hàm phânthức afin

p(a) p(b)q(a) q(b)

Dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu của biểu thức [p(a)q(b)−p(b)q(a)]

Vì thế, khi λ thay đổi trong đoạn [0, 1] thì hàm f (x) hoặc tăng hoặc

nếu −f là giả lồi

Định lý sau nêu một tính chất quan trọng khác của hàm phânthức afin

trên S Khi đó, hàm f (x) vừa giả lồi, vừa giả lõm trên S

lồi của a và b, trái với giả thiết định lý

Trước hết ta chứng minh f giả lồi Thật vậy, giả sử x, y ∈ S thỏa

0 6 [(qTx + β)p − (pTx + α)q]T(y − x)

Vì vậy, f giả lồi

Từ các định lý trên cho thấy hàm phân thức afin f (x) đạt cực tiểu(cực đại) trên tập lồi compac khác rỗng tại một điểm cực biên của tậplồi đó Nói riêng, f (x) đạt cực tiểu (cực đại) trên đa diện lồi tại mộtđỉnh của đa diện đó

Quy hoạch phân tuyến tính là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại)của một hàm phân thức afin với các ràng buộc đẳng thức hay bất đẳngthức tuyến tính

Sau đây ta xét bài toán quy hoạch phân tuyến tính, ký hiệu (LFP),

với điều kiện:

Kí hiệu A = (aij)m×n, b = (b1, , bm)T

bài toán Rõ ràng, S là một tập lồi đa diện

Ta luôn giả thiết rằng q(x) 6= 0, ∀x ∈ S Từ đó, do q(x) là hàmtuyến tính afin nên ta có thể giả thiết q(x) > 0, ∀x ∈ S, bởi vì nếu có

q(x) < 0, ∀x ∈ S, ta có thể nhân cả tử số p(x) và mẫu số q(x) của hàmmục tiêu với (- 1) để đưa về trường hợp q(x) > 0, ∀x ∈ S Hơn nữa, tagiả thiêt m ≤ n và rank A = m

• Có thể giải thích ý nghĩa thực tế của bài toán (LFP) như sau:Giả sử một xí nghiệp có thể dùng m loại vật tư hiện có để sản xuất ra

j (j = 1, , n) Mỗi đơn vị sản phẩm j sản xuất ra sẽ cho lợi nhuận là

chi phí cố định cần bỏ ra (α, β không phụ thuộc số lượng sản phẩm sảnxuất) Hỏi với số vật tư đã có xí nghiệp nên sản xuất bao nhiêu đơn vịsản phẩm mỗi loại sao cho hiệu quả sản xuất của xí nghiệp (đo bằng tỉ

số giữa tổng lợi nhuận thu được trên tổng chi phi sản xuất) là lớn nhất?Bài toán này dẫn đến mô hình quy hoạch phân tuyến tính (LFP) dạng(1.1) - (1.3)

Quy hoạch tuyến tính là một trường hợp riêng của quy hoạch phântuyến tính khi q = 0 và β = 1 Trong [3] phân tích một số trường hợpriêng khác cho phép đưa bài toán quy hoạch phân tuyến tính về bài toántuyến tính thích hợp Chẳng hạn, nếu p = 0 và α = 1 thì bài toán quyhoạch phân tuyến tính (1.1) - (1.3) có thể quy về bài toán quy hoạchtuyến tính

q(x) + β −→ max (hay min) với điều kiện (1.2) - (1.3)

Sau đây là một số khái niệm và định nghĩa cần thiết, tương tự nhưtrong lý thuyết quy hoạch tuyến tính

Trong bài toán (LFP), f (x) gọi là hàm mục tiêu Tập S gọi là tậpràng buộc hay miền chấp nhận được Véctơ x ∈ S gọi là một phương

án hay nghiệm chấp nhận được, một phương án mà đồng thời là đỉnhcủa tập ràng buộc S gọi là một phương án cực biên hay nghiệm cơ

sở Phương án đạt giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu f (x) gọi là mộtphương án tối ưu hay nghiệm tối ưu

Ta nói bài toán (1.2) là bất khả thi hay không chấp nhận đượcnếu tập S = ∅, bài toán gọi là giải được nếu tập S 6= ∅ và hàm f (x)

có infimum hữu hạn (đối với bài toán min) trên S Nếu hàm mục tiêu

f (x) không bị chặn dưới trên S thì bài toán được gọi là không bị chặn

Với bài toán quy hoạch phân tuyến tính, có thể xảy ra các trườnghợp sau:

a Tập ràng buộc S = ∅ (bài toán bất khả thi)

b Nghiệm tối ưu duy nhất (đạt tại một đỉnh của S)

c Vô số nghiệm tối ưu hữu hạn (đạt tại một diện bị chặn của S)

d Có nghiệm tối ưu hữu hạn và vô cực (đạt tại một diện vô hạncủa S)

chặn dưới)

A Charnes và W Cooper (1962) đã chỉ ra rằng bài toán quy hoạchphân tuyến tính với tập ràng buộc khác rỗng có thể đưa được về bàitoán quy hoạch tuyến tính, nhờ phép đổi biến số, gọi là biến đổi Charnes

cấp m × n, b là véctơ trong Rm(p, q, α, β, A, b cho trước), x ∈ Rn là véctơbiến cần tìm.

Nhận xét 1.1 Bài toán sẽ không có nghĩa (không xác định) nếu

Vì thế, để bài toán được hoàn toàn xác định ta phải có hoặc

Có thể kiểm tra điều này bằng cách giải quy hoạch tuyến tính

Không giảm tổng quát, từ đây về sau ta luôn giả thiết

Mệnh đề 1.1 Với các ký hiệu trên, ta có các kết luận sau đây:

một nghiệm chấp nhận được của (LP) với

b) Nếu (y0, t0) là nghiệm chấp nhận được của (LP) và t0 > 0 thì

b) Giả sử (LFP) chấp nhận được Khi đó, (LP) không bị chặn dướikhi và chỉ khi (LFP) không bị chặn dưới

Mệnh đề 1.3 Nếu (LFP) có nghiệm chấp nhận được, (LP) có nghiệmtối ưu và mọi nghiệm tối ưu đều có t = 0 thì giá trị mục tiêu của (LFP)

có infimum (cận dưới đúng) hữu hạn, nhưng infimum đó không đạt tớiđược Đó là trường hợp (LFP) có nghiệm tối ưu tiệm cận Trong trườnghợp này, có thể tạo ra các nghiệm ε - tối ưu với bất kỳ ε > 0, nghĩa làtrong S tồn tại một cạnh vô hạn mà dọc theo cạnh đó giá trị mục tiêucủa (LFP) tiến dần về cận dưới đúng nói trên

có nghiệm chấp nhận được (bài toán (LP) là bất khả thi)

Mối liên hệ rất cơ bản giữa các tập ràng buộc của (LFP) và (LP)được trình bày tóm tắt trong các định lý sau

Định lý 1.3 Các đỉnh của tập lồi đa diện S ≡ {x : Ax ≤ b, x ≥ 0}tương ứng một - một với các đỉnh của tập lồi đa diện T ≡ {(y, t) :

Định lý 1.4 Các đỉnh của tập lồi đa diện T với t = 0 tương ứng một

d là véctơ chỉ phương của cạnh Γ

Định lý 1.5 Mỗi cạnh vô hạn của tập lồi đa diện T tương ứng với một

phương của cạnh Γ

Các định lý này và cách chứng minh của chúng cũng áp dụng được vàocặp ràng buộc {x : Ax = b, x ≥ 0} và {(y, t) : Ay − bt = 0, y ≥ 0, t ≥ 0}.

Dựa vào phép biến đổi Charnes - Cooper trình bày ở trên, ta cóthể giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) bằng cách lập vàgiải bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) tương ứng

Kết quả giải (LP) cho ra một trong các trường hợp sau:

a) (LP) bất khả thi ⇒ (LFP) không xác định hoặc S = ∅ (Mệnh

nghiệm tối ưu tiệm cận (Mệnh đề 1.3)

d) (LP) không bị chặn dưới ⇒ (LFP) không bị chặn dưới hoặc

này theo phương pháp Charnes - Cooper Bài toán quy hoạch tuyến tínhtương đương có dạng

nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính trên Do đó theo Mệnh

đề 1.2, phương án tối ưu của bài toán quy hoạch phân tuyến tính ban

Hình 1.1 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 1.1

Ví dụ 1.2 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính có nghiệm tối ưu tiệmcận:

Với các điều kiện

Giải bài toán này theo thuật toán đơn hình, ta nhận được nghiệm

quy hoạch phân tuyến tính ban đầu có nghiệm tối ưu tiệm cận với

Nhận xét 1.2 Phép biến đổi Charnes - Cooper tuy đưa được bài toán(LFP) về bài toán (LP), nhưng nó thường làm mất đi cấu trúc ban đầucủa bài toán cần giải (cấu trúc vận tải chẳng hạn), vì thế nó ít đượcdùng rộng rãi trong thực tiễn Trong [2] trình bày thuật toán kiểu đơnhình giải quy hoạch phân tuyến tính, cho phép giữ nguyên cấu trúc củaban đầu bài toán.

Tóm tắt chương Chương này đã nhắc lại những kiến thức cầnthiết về hàm phân tuyến tính và các tính chất đáng chú ý của hàm này.Tiếp theo giới thiệu bài toán quy hoạch phân tuyến tính và cách tiếpcận Charnes - Cooper đưa bài toán phân tuyến tính về bài toán quyhoạch tuyến tính Cuối chương, nêu thuật toán giải quy hoạch phântuyến tính và đưa ra hai ví dụ minh họa cho hai tình huống tiêu biểuthường gặp của bài toán: Có nghiệm tối ưu hữu hạn và có nghiệm tối

ưu tiệm cận với infimum (cận dưới đúng) hữu hạn đối với hàm mục tiêucủa bài toán

P Pandian và M Jayalakshmi (2013) đưa (LFP) về hai bài toán (LP).Xét một số ví dụ minh họa các thuật toán đã trình bày Nội dung củachương được tham khảo từ các tài liệu [5] và [7].

(LP)

Mục này trình bày cách tiếp cận mới của M B Hasan và S.Acharjee giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) bằng cách đưa

nó về một bài toán quy hoạch tuyến tính (LP)

Ta viết lại bài toán (LFP) dưới dạng véctơ:

trong đó A ∈ Rm×n, b ∈ Rm(b ≥ 0), x, c, d ∈ Rn(c 6= 0, d 6= 0), α, β ∈ R.

Ta giả thiết rằng tập chấp nhận được

Biến đổi (LFP) về (LP) theo cách như sau:

a) Biến đổi hàm mục tiêu:

d) Trở về biến ban đầu của (LFP): Giải bài toán (LP) trên đây,

Xét một vài ví dụ số minh họa cho phương pháp đã trình bày.

Ví dụ 2.1 Tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch phân tuyến tính:

Tập ràng buộc S được vẽ ở Hình 2.1

Hình 2.1 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.1

−21

!

4

132

−12







4146

Vậy bài toán (LP) tương đương là

Tập ràng buộc S được vẽ ở Hình 2.2

Hình 2.2 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.2

23

!

−1

11

Nghiệm tối ưu của bài toán (LP): y1∗ = 0, y2∗ = 3 và g(y∗) = 9.

3, 51

3, 53

3, 51

3, 53

Vậy bài toán (LP) tương đương là

có hạn chế duy nhất là đòi hỏi β 6= 0 Cũng cần nghiên cứu mở rộngcho miền ràng buộc vô hạn Kết quả tính toán thử nghiệm giải các bàitoán (LFP) cho thấy phương pháp này đơn giản và có hiệu quả tốt, rất

có ích và đã được dùng để giải các bài toán thực tế về nông nghiệp, lập

kế hoạch sản xuất và tài chính, y tế và quản lý bệnh viện, v.v

Cũng như mục trước, xét bài toán quy hoạch phân tuyến tính dướidạng:

Từ bài toán (LFP) đã cho, lập hai bài toán quy hoạch tuyến tínhmột mục tiêu, tương ứng với tử số (bài toán cực đại) và mẫu số (bàitoán cực tiểu:

Hai định lý sau liên kết các nghiệm của bài toán (LFP), bài toán(P) và bài toán (Q) và sẽ được sử dụng trong phương pháp giải đề xuất

trong quá trình giải bài toán (Q) theo thuật toán đơn hình, xuất phát từ

(LFP) Giả sử u là một nghiệm chấp nhận được bất kỳ của bài toán

toán (LFP)

Định lý 2.2 Giả sử x0 là một nghiệm tối ưu của bài toán (P) Nếutrong quá trình giải bài toán (Q) theo thuật toán đơn hình, xuất phát từ

của bài toán (LFP)

toán (LFP) Giả sử v là một nghiệm chấp nhận được bất kỳ của bài

Phương pháp tìm nghiệm tối ưu (cực đại) của (LFP) theo các bướcsau

Bước 1 Từ bài toán (LFP) đã cho lập hai bài toán quy hoạchtuyến tính một mục tiêu (P) và (Q) (một bài toán tìm cực đại, bài toánkia tìm cực tiểu)

Bước 2 Dùng thuật toán đơn hình tìm nghiệm tối ưu của bài

theo thuật toán đơn hình để tìm dãy nghiệm cơ sở chấp nhận được

chuyển sang bước 5

tối ưu của bài toán (Q) với n nào đó, thì dừng quá trình tính toán vàchuyển sang bước 6

Từ toán (LFP) cho, lập hai toán quy hoạch tuyến tínhmột mục tiêu, tương ứng với tử số (bài toán cực đại) mẫu số (bàitoán cực tiểu:

Hai định lý sau liên kết nghiệm toán (LFP), toán( P) toán. .. thiệu toán quy hoạch phân tuyến tính cách tiếpcận Charnes - Cooper đưa tốn phân tuyến tính tốn quyhoạch tuyến tính Cuối chương, nêu thuật tốn giải quy hoạch phântuyến tính đưa hai ví dụ minh họa... Charnes - Cooper Bài tốn quy hoạch tuyến tínhtương đương có dạng

nghiệm tối ưu tốn quy hoạch tuyến tính Do theo Mệnh

đề 1.2, phương án tối ưu tốn quy hoạch phân tuyến tính ban

Hình