Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh , nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo vi[r]
Trang 1ĐẠI SỐ 8 – NĂM HỌC 2019
Chuyên đề: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
A + B = A + 2AB + B (1)
A - B = A - 2AB + B (2)
A - B - A + B A - B (3)
A + B = A + 3A B + 3AB + B (4) = A + B + 3AB A + B3 3
A - B = A - 3A B + 3AB - B (5)
3 3
= A - B - 3AB A - B
A + B = A + B A - AB + B (6)
A - B = A - B A + AB + B (7)
KIẾN THỨC BỔ SUNG
1 Bình phương của đa thức
(a + a + + a ) = a + a + + a + 2a a + 2a a + + 2a a
+ 2a a + 2a a + + 2a a + + 2a a 2 3 2 4 2 n n-1 n
Đặc biệt, với n = 3 ta có :
(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc.
2 Luỹ thừa bậc n của một nhị thức (nhị thức Niu-tơn)
Trang 2n n n-1 n(n-1) n-2 2 n(n-1)(n-2) n-3 3 n
(a + b) = a + na b + a b + a b + + b
Cho n các giá trị từ 0 đến 5 ta được :
Với n = 0 thì 0
a + b = 1
Với n = 1 thì 1
a + b = a + b
Với n = 2 thì a + b2 = a + 2ab + b 2 2
Với n = 3 thì 3 3 2 2 3
a + b = a + 3a b + 3ab + b
Với n = 4 thì 4 4 3 2 2 3 4
a + b = a + 4a b + 6a b + 4ab + b
Với n = 5 thì 5 5 4 3 2 2 3 4 5
a + b = a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + b
Ta nhận thấy khi khai triển (a+b)n ta được một đa thức có n + 1 hạng tử, hạng tử đầu là a n, hạng
tử cuối là n
b , các hạng tử còn lại đều chứa các nhân tử a và b
(a+b) = B(a) + b = B(b) + a
3 Bảng các hệ số khi khai n
(a+b) Với n = 0 : 1
Với n = 1 : 1 1
Với n = 2 : 1 2 1
Với n = 3 : 1 3 3 1
Với n = 4 : 1 4 6 4 1
Trang 3- Mỗi số ở một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên Bảng trên đây được gọi là tam giác Pa-xcan
B MỐT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 7 Chứng minh rằng nếu một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thoả mãn :
5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c = 3a - 5b
thì tam giác đó là tam giác vuông
Giải
2
2
Ta có 5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c = 3a - 5b
<=> 5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c = 3a - 5b
<=> 5a - 3b - 4c = 3a - 5b
<=> 25a - 30ab + 9b - 16c = 9a - 30ab + 25b
<=> 25a - 9a2 + 9b - 25b - 16c
= 0
<=> 16a - 16b - 16c = 0
<=> 16a = 16b + 16c <=> a = b + c
Do đó tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c chính là một tam giác vuông
Ví dụ 8 Cho x + y = -9 ; xy = 18 Không tính các giá trị của x và y, hãy tính giá trị của các biểu
thức sau :
a M = x + y ; b N = x +) ) y ; c P = x - y )
Giải Đề bài cho giá trị của tổng x + y và tích xy nên muốn tính được giá trị của các biểu thức M,
N, P ta phải biểu diễn các biểu thức này dưới dạng các biểu thức có (x + y) và xy
Trang 4
2
2
2
a M = x + y = x + 2xy + y - 2xy = x + y - 2xy
= -9 - 2.18 = 45
b) N = x + y = x + 2x y + y - 2x y = x + y 2 - 2 xy
= 45 - 2.18 = 1377
c Ta có x - y = x - 2xy + y = x + 2xy + y
)
y
= x + y - 4xy = -9 2 - 4.18 = 9
Suy ra x - y = ±3
• Nếu x - y = 3 thì 2 2
• Nếu x - y = -3 thì 2 2
P = x - y = x - y x + y = -3 -9 = 27
Ví dụ 9 Tìm x, y, z biết:
2
x - 6x + y + l0y + 34 = - 4z - l
Giải
x - 6x + y + l0y + 34 = - 4z - l
x - 6x + 9 + y + l0y + 25 = - 4z - l
2 2 2
x - 3 + y + 5 + 4z - l = 0
x - 3 0 ; y + 5 0 ; 4z - l 0
Mà 2 2 2
x - 3 + y + 5 + 4z - l = 0
Trang 5Nội dung của phương pháp này dựa vào nhận xét:
Nếu có A +B +C =02 2 2 thì A =B =C =0.2 2 2
Ví dụ 10 Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng a +b +c =3abc.3 3 3
Giải Từ a + b + c = 0, suy ra a + b = -c
Lập phương hai vế ta được 3 3
(a + b) (-c)
Suy ra a + b +3ab(a + b) = - c 3 3 3
Thay a + b = -c vào đẳng thức trên ta được 3 3 3
a + b + 3ab -c = -c
Do đó 3 3 3
a + b + c = 3abc.
Lưu ý
• Nên nhớ kết quả của ví dụ này để vận dụng giải nhiều bài toán khác
• Trong quá trình giải ví dụ trên ta đã khai triển 3
(a+b) thành a + b 3 3 3ab(a + b) (1) tiện lợi hơn là khai triển thành 3 2 2 3
a + 3a b + 3ab + b (2) vì trong khai triển (1) có sẵn (a + b) để thay bằng - c ra kết quả được nhanh chóng
Ví dụ 11 Số a = 831000 - 1là số nguyên tố hay hợp số ?
Giải Ta có 31000 3 nên ta đặt 31000 = 3 (n n N*).
Do đó 3n n 3 3
a = 8 - 1(8 ) - 1
= (8 - 1)(8 + 8 + 1).n 2n n
Số a là tích cửa hai số tự nhiên lớn hơn 1 nên a là hợp số
Ví dụ 12 Chứng minh đẳng thức
Trang 6 5 2 2 a5 - b5 - a - b = 5ab a - b a - ab + b
Giải
• Xét vế trái T : 5 5 5
T = a - b - a - b
5 5 5 4 3 2 2 3 4 5
= a - b - a - 5a b + 10a b - 10a b + 5ab - b
= a - b - a + 5a b - 10a b + 10a b - 5ab + b5 5 5 4 3 2 2 3 4 5
= 5a b - 10a b + 10a b - 5ab 4 3 2 2 3 4
• Xét vế phải P :
2 2 3 2 2 3
P = 5ab a - b a - ab + b = 5ab a - 2a b + 2ab - b
= 5a b - 10a b + 10a b - 5ab 4 3 2 2 3 4
Vậy T = P
a + b + c = 3 ab + bc + ca Chứng minh rằng a = b = c
Giải Ta có 2
a + b + c = 3 ab + bc + ca
<=> a + b + c + 2 ab + bc + ca = 3 ab + bc + ca
<=> a + b + c - ab - bc - ca = 0
<=> a - 2ab + b + b - 2bc + c + c - 2ca + a = 0
<=> a - b + b - c + c - a = 0
<=> a - b = b - c = c - a
2 = 0 vì a - b 0 ; b - c 0 ; c - a 0
C
Trang 7BÀI TẬP
1 Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a 5 x + 4 + 4 x - 5 ) - 9 4 + x x - 4 ;
b x + 2y ) + 2x - y - 5 x + y x - y - 10 y + 3 y - 3
2 Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí:
a) 413(413 - 26) + 169;
b) (625 + 3)(25 - 3) - 5 + 10;
41 + 39 + 82.39
41 - 39
3 Tìm x biết:
2 a) (5x - 1) - (5x - 4)(5x + 4) = 7;
b) (4x - 1) - (2x + 3) + 5(x + 2) + 3(x - 2)(x + 2) = 500
A = (x +x+1)(x -x+1)(x -x +1).
Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến
5 Tìm x biết:
a x + 4 x - 4x + 16 - x x - 5 x + 5 = ) 264 ;
b x - 2 - x - 2 x + 2x + 4 + 6 x - 2 x + 2 ) = 60
6 Tìm giá trị của biểu thức :
a A = x - 15x + 75x ) - 124 tại x = 35;
b B = x + 18x + 108 ) x + 16 tại x = -2; y = 1
2
Trang 83 3
3 3
=
8 Thu gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau :
a) (a+b+c) + (a++b-c) - 2(a+b)
b) (a+b+c) + (-a+b+c) + (a-b+c) + (a+b-c) với a +b +c = 10 2 2 2
9 Chứng minh đẳng thức :
(x+y) + x + y = 2(x +xy+y )
10 Tính:
a x + 1 ; b x + 1 ; c x ) ) ) - 1
Trang 9Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh
Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí