phương trình bậc hai nhóm 1 – toán 2006a tam thức bậc hai thành viên nhóm 1 mọi thành viên đều có vai trò như nhau huỳnh thị bích liễu võ thị lụa võ thị bích tuyền nguyễn thị hồng uyên mục lục i

c/ Phương trình có ít nhất một nghiệm có trị tuyệt đối lớn hơn 1.. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI 3.1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:.. Trong mục này, ta áp dụng tính[r]

Thành viên nhóm 1: (Mọi thành viên đều có vai trò như nhau)

- Huỳnh Thị Bích Liễu

- Võ Thị Lụa

- Võ Thị Bích Tuyền

- Nguyễn Thị Hồng Uyên

MỤC LỤC



I Phương trình bậc hai 3

1.1 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai 3

1.2 Định lí viét đối với phương trình bậc bai 3

1.3 Các bài toán liên quan 3

II Dấu của tam thức bậc hai 10

2.1 Tam thức bậc hai 10

2.2 Dấu của tam thức bậc hai 10

2.3 So sánh nghiệm của tam thức bậc hai 13

III Một số ứng dụng của tam thức bậc hai 21

3.1 Tìm giá trị lơn nhất và nhỏ nhất của hàm số 21

3.2 Giải bất phương trình bậc hai một ần 22

3.3 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số bậc ba 22

3.4 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số bậc bốn 24

3.5 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số lượng giác 26

3.6 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm mũ và ham logarit 27

3.7 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với phương trình - bất phương

trình chứa căn 30

Bài tập đề nghị 31

Hướng dẫn giải 33

Danh mục tài liệu tham khảo 40

 Bước 2: Tìm nghiệm dựa vào dấu  

Nếu   0: Phương trình vô nghiệm

Nếu   0: Phương trình có nghiệm kép

2a

b x

2a

Δ b x

2 1

1.2 Định lí Vi-et đối với phương trình bậc hai:

x

P

a

bx

x

S

2 1

2 1

S x x

2 1

2 1

 x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình:

0 P

1.3 Các bài toán liên quan:

Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình bậc hai:

Nếu a có chứa tham số+ Trường hợp 1: Xét a = 0 rồi biện luận+ Trường hợp 2: Xét a0 rồi dùng  biện luậnNếu a là hằng số

Dùng   để biện luận trực tiếp

Ví dụ:

Giải và biện luận phuơng trình:

1)

b a

b a b a

b a x

1 x

b b x

b a b a

b a

b a b a

b a 4 b a

b a b a

b a

b a x , b

b a x , b a

b a

x1   2  

Xét điều kiện:

0 a b b

x

0 b a b a a x

b a b 2

b a b x

b a a 2

b a a x

2 2 1 1

Kết luận:

Nếu a = b = 0 phương trình vô nghiệm

Nếu a = 0, b 0 phương trình có nghiệm

2

b

x1

Nếu a 0, b = 0 phương trình có nghiệm x12a

Nếu a 0, b 0, a = b phương trình có nghiệm x2  2a

2

b a

điều kiện liên quan đến nghiệm của chúng

a Tìm giá trị của tham số để phương trình: ax2 bxc 0 (*) có số nghiệm nhất định

0 a

0 a 0 c bx

0 a

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 

0 a

0 a 0 c bx

0 a

Có một nghiệm

Phương trình (*) có vô số nghiệm 

0 b

0 a

1 m

2

3 m

1 m

1 x

1 m

0 12 8m

0 1 m

0 2 2x

0 1 m

Vậy, với m = 1 hoặc

1m0128m

01m

Vậy, với m1 và m 23 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 m

1 x

1 m

0 12 8m

0 1 m

0 2 2x

0 1 m

Vậy, với m 23 thì (*) luôn có nghiệm

0 a

0 a

0 a

0 a

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x 1 , x 2

0 a

Bước 2: Áp dụng định lí Vi-et, ta được:

(I)

Bước 3: Biểu diễn điều kiện thông qua (I)

Ta có thể biểu thị các đa thức đối xứng giữa các nghiệm x 1 , x 2 theo S và P.

2 1

2 2

2 1 3 2

3

1

3 2 1 2 1.

3 2 1

3 2

3

1

2 1

2 1 2 1

2 2 1.

2 2 1

2 2

2

1

P

2PSx

x

xxx

1x

1

3SPSxxx3xx

xx

x

P

Sx

x

xxx

1

x

1

2PSx2xx

xx

0 a

3 m 1 0 m 3

0 1 m

2m.x

x

1m

1m2x

2 m 7.

1 m

1 m 2 4 x 7x x

Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình trên, tìm:

mfxx2 1 2 1

4) S

2

1 1

2

x

x x

c.xx

P

1ma

bx

x

S

2 1

2 1

2 1

2 2 1

2 2

S

2 2

2 2 2 2 1

2 1 2 1

3 2

2 1 2 1

2

x

x x

m

1mm

2m1m.x

x

.x2xx

x.x

x

x

2 1

2 1

2 2 x 2

1

2 2

c.xxP

1ma

bxx

S

2 1

2 1

Suy ra: x1 x2   x1.x2  1  x1 x2  x1.x2   1

Mối liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình là: x1x2 x1.x2   1

Bài toán 4: Quan hệ giữa các nghiệm trong một phương trình bậc hai

(1) 0 c x b x a

2 2

2 2

1 1

2 1

0cxbxa

2 2

2 2

1 1

2 1

Giả sử x0là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2)

0 3 x 1 3m 2x

0

2 0

0

2 0

có nghiệm  11m  6x0  8

1 x 0 1 x 6x 2

Vậy với m= 2 thì cả hai phương trình đã cho đều có nghiệm chung x =12

(1) 0 c x b x a

2 2

2 2

1 1

2 1

 Trường hợp 1: Trường hợp cả hai phương trình đều vô nghiệm

Ta giải hệ điều kiện:

0

2 1

 Trường hợp 2: Trường hợp cả hai phương trình đều có nghiệm

Ta giải hệ điều kiện:

2 1 2 1

PP

SS

0Δ

0Δ

Ví dụ: Cho hai phương trình x 2 2x m 0

 Trường hợp 1: Trường hợp cả hai phương trình vô nghiệm

1 m 4 4 m 4 1 m

1

m 2 0 16 m

0 4m 4

II DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

x1,2   và có thể phân tích thành nhân tử như sau: f(x) = a(x – x1)(x - x2 )

2.2 Dấu của tam thức bậc hai

b

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào dấu củavà dấu của hệ số a

Trong từng trường hợp ta xét dấu của f(x) như sau:

 > 0 ,  x   2ab nên f(x) cùng dấu với a,  x   2ab

* Trường hợp:  > 0 thì có hai nghiệm x  1 x 2 Giả sử x1 < x2 , ta có bảng xét dấu như sau:

b

Vậy f(x) cùng dấu với a với mọi x

Tổng hợp các kết quả trên ta có định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau:

Định lí: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c ( a  0)

Nếu  < 0 thì f(x) cùng dấu với a, x R

Nếu  = 0 thì f(x) cùng dấu với a,  x   2ab Nếu  > 0 thì f(x) có hai nghiệm x 1 x2 ( x 1 < x 2 ) Khi đó f(x) trái dấu với a với mọi x nằm trong khoảng( x 1 ; x 2 ) ( tức là ( x 1 < x < x 2 ) và f(x) cùng dấu với a với mọi x nằm ngoài đoạn [ x 1 ; x 2 ]( tức là với x < x 1 và x > x 2 ).

Từ định lí trên ta có bảng xét dấu tam thức bậc hai:

 = 0f(x) có nghiệm kép x =

b) Ta có  = 1- 4.3.5 = 1 -60 < 0

Mà a = 3 > 0

Cho nên x  R: f(x) > 0

2.2.2 Một số điều kiện tương đương

Nếu ax2 + bx + c là một tam thức bậc hai (a  0 ) thì

i) ax2 + bx + c có nghiệm   b2  4ac 0

ii) ax2 + bx + c có hai nghiệm trái dấu   0

a c

iii) ax2 + bx + c có hai nghiệm dương

a c a

iv) ax2 + bx + c có hai nghiệm âm

a c a

a x

a x

a x

a x

Ví dụ: Xét phương trình mx2 -2(m-1)x +4m – 1 = 0 (1)

Tìm các giá trị của m để (1)

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có hai nghiệm trái dấu

c) Có hai nghiệm cùng dương

d) Có hai nghiệm cùng âm

Giải

Ta thấy (1) có ’ = ( m -1)2 – m(4m-1) = -3m2 – m + 1 ( nếu m  0 )

a) (1) có hai nghiệm phân biệt   ' 0

 -3m2 – m + 1 < 0  < m <

Kết hợp với điều kiện m  0 ta được m  \

b) (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

4

1 m 0 0 1) m(4m 0

m

1) (4m

nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) và x 1    x 2

Hệ quả:

Cho tam thức bậc hai f x ax 2 bx c





và đủ để f(x) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm nằm trong khoảng

;  và nghiệm kia nằm ngoài đoạn ;  là f    f   0

0 ) ( af

0 ) ( af

0 ) ( af

2 1

x x

x x

0 )

f(x 

nghiệm kia nằm ngoài đoạn ; 

2.3.2 So sánh nghiệm với một số cho trước:

S

0

a f

0 Δ

S

0

a f(2)

0 Δ

1 m

m 2

0 6

m 1

m

0 10

7m m

1 m

6 m

1

2 m

5 m

1 m

6 m 5

2.3.3 So sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với hai số  ,   .

S α

0 β af

0 α af

0 Δ β

x x

β x α x

2 1

2 1

0 α af x

β α

Sα 0af

0 Δ β

α x

x1 2

0 Δ x

x β

S 1

0 4f(2 )

0 1)

4f(

0 Δ

3 m 8

12

7 m

3 2m

0 33

3

7 12 m

2 m

0)(

0)(

0 ) ( 0





S af

c/ f(x) có ít nhất nghiệm thuộc [  ;  ]: có 3 trường hợp

i) f(x) có nghiệm  hoặc   f( ) f( ) = 0

ii) f(x) có một nghiệm thuộc (  ;  ) và một nghiệm ngoài [  ;  ]

 f( ) f( ) < 0

0)(

0)(0

2 1

af x

x

d/ f(x) có ít nhất nghiệm thuộc (  ;  ): có 4 trường hợp

i) f(x) cónghiệm  và nghiệm kia thuộc (  ;  ) 

02

0)(

0)(0

2 1

af x

x

Ví dụ 1:

Cho phương trình: f(x) = x2 –(m+2)x + 5m + 1 = 0 Tìm m sao cho:

a/ Phương trình chỉ có một nghiệm lớn hơn 1

b/ Phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1

c/ Phương trình có ít nhất một nghiệm có trị tuyệt đối lớn hơn 1

d/ Phương trình chỉ có một nghiệm thuộc [0;1]

4m

0 m

Suy ra không tồn tại giá trị m

0 16m

0 m

0 m

Suy ra không tồn tại giá trị m

0 af(1)

0 Δ

0 m

0 16m

0 m

16 m 0 m

Vậy: m0 m16

c/ Phương trình có ít nhất một nghiệm có trị tuyệt đối lớn hơn 1: có 4 trường hợp

i) -1 = x < x < 1

0 1) f(

b1

015m2)(m1)( 2

2m

Suy ra không tồn tại giá trị m

0 f(1)

0 4m

0 m

Suy ra không tồn tại giá trị m

iii) f(x) có nghiệm thuộc (-1;1) và một nghiệm ngoài [-1;1]

01)(2

Saf(1) 0

01)af(

0Δ

1xx

2)(m

012

2)(m

04m1.f(1)

046m1)

1.f(

016mm

4m

0

2m

16m0m

Suy ra không tồn tại giá trị m

bx

015mf(0)

5

9x

5

1m2

 m = -5ii) f(x) có nghiệm x1 = 1, x2  [0;1]

0f(1)2

0 1 5m 2).1 (m (1)

2 2

1 x

0 m

bx

x

016mm

Δ

2 1

2px x

2x

1

2 4

2px x

2x 1

2 4

2x

 , điều kiện: t  1 ( Bất đẳng thức Cauchy)

Dấu “=” xảy ra khi x =  1

Khi đó dẫn đến bài toán: Tìm p để phương trình: f(t) = t2 +pt + 1 – p2 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [-1;1]

 f(-1).f(1) < 0

 (2 + p – p2)( 2 – p – p2 )< 0

 -2 < p < -1  1 < p < 2iv) f(t) có các nghiệm thuộc (-1;1)

1 t t

P2

S1

0pp21)f(

0pp2f(1)

045pΔ

2 2 2

1 p 5

2 5

2 p

2 p

Muốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, ta cần phân biệt ba trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu hoành độ đỉnh của parapol α, β

2a

b

 Giá trị nhỏ nhất của hàm số là fmin f x0 đạt được khi: x  x 0

 Giá trị lớn nhất của hàm số là fmax maxf   α ,f β

Trường hợp 2: Nếu hoành độ đỉnh của parapol α β

2a

b

x0    thì:

 Giá trị nhỏ nhất của hàm số là fmin  f α đạt được khi: x  α

 Giá trị lớn nhất của hàm số là fmax f β đạt được khi: x  β

Trường hợp 3: Nếu hoành độ đỉnh của parapol

2a

b x β

α   0  thì:

 Giá trị nhỏ nhất của hàm số là fmin  f β đạt được khi: x  β

 Giá trị lớn nhất của hàm số là fmax f α đạt được khi: x  α

Với a<0 ta xét tương tự

2

3 2

1 f t f

 fmax maxf    1,f 1 3 đạt được khi: cosx   1  x  π  2kπ

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f x  x 4  4x 2  2 với  1x2

Hoành độ đỉnh của parapol t0   2nằm ở bên trái 1,4.

 fmin  f 1  7 đạt được khi t 1 x2 1 x 1.

3.2 Giải bất phương trình bậc hai một ẩn:

Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng :

ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx +c  0 hoặc ax2 + bx + c > 0 hoặc ax2 + bx + c 

0 ) trong đó a, b ,c là những số cho trước với a  0 ; x là ẩn số

Cách giải bất phương trình bậc hai

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu của tam thức bậc hai

14 9x x

14 9x x

; 2 (

)

7

;

(      

3.3 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số bậc ba:

3.3.1 Điều kiện để phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt:

 Phương pháp:

Phương trình bậc ba có thể nhóm thành tích f1(x).f2(x) = 0.để phương trình đã cho

có ba nghiệm phân biệt thì một trong hai phương trình f1(x) = 0 hoặc f2(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm đơn đã biết

a ax x 1 a f(x)

0 x

2

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệmphân biệt khác 0

Muốn vậy ta tìm a thỏa hệ điều kiện:

0 f(0 )

0 1

Vậy để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì







 2 a 3 1 a

3.3.2 Điều kiện để phương trình bậc ba có ba nghiệm trong đó có hai nghiệm phân biệt dương và một nghiệm âm hoặc hai nghiệm phân biệt âm và một nghiệm dương:

 Phương pháp:

Khi phương trình y = 0 có nghiệm đặc biệt x = x0

Ta viết phương trình dưới dạng: (x – x0)(Ax2 + Bx +C) = 0

Khi x0 > 0, để phương trình có:

phải có hai nghiệm âm

phải có hai nghiệm trái dấu

Khi x0 < 0, để phương trình có:

phải có hai nghiệm trái dấu

phải có hai nghiệm dương

 Ví dụ:

Tìm m để phương trình: x3 – 4x2 +(m+1).x – (m – 2) = 0 (1)

Có ba nghiệm phân biệt trong đó:

a) Có hai nghiệm âm, một nghiệm dương

b) Có hai nghiệm dương, một nghiệm âm

1 x

2

Ta thấy (1) luôn có một nghiệm x = 1

a) Để (1) có hai nghiệm âm một nghiệm dương thì (2) phải có hai nghiệm cùng âm, khi đó thì :

 vô lý  Hệ vô nghiệm Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện bài toán

b) Để (1) có hai nghiệm dương một nghiệm âm thì phương trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu khác 1, khi đó thì ta có hệ:

  m < 2Vậy với giá trị m < 2 thì phương trình (1) có ba nghiệm trong đó có hai nghiệm dương và một nghiệm âm

3.4 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số bậc bốn:

e a

thì phương trình đó là phương trình lùi bậc bốn

Khi đó phương trình giải như sau:

đk cân (không x

1 x t

d b khi ) 2 t

k (Đ x

1 x t

1 x

2 t x

1 x

2 2 2

2 2 2

Suy ra ta có phương trình bậc hai của t

1 x 10 x

1

x

0 x

1 x

10 26 10x

x

2 2

2 2

8 3 x

3 2 x

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là:

8 3 x

8 3 x

3 2 x

1 t

1 5 x

4 x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = -4 hoặc x = -6

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = -1 và x = 3

3.5 Ứng dụng của đa thức bậc hai đối với hàm lượng giác:

3.5.1 Dạng 1:

Tìm điều kiện của tham số để phương trình lượng giác thỏa một số điều kiện cho trước, ta thường đưa về phương pháp sử dụng tam thức bậc hai Cụ thể là đi so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số cho trước hay hai số cho trước  , 

3 , 2





thì  1t0

3 , 2





thì phương trình f(t) = 0 cần phải có nghiệm t [ 1 , 0 )

f (

0 2

S 1

0 2.f (0)

0 1)

2.f (

0 Δ

(m

0 2

1 2m 1

0 m

0 1 m

0 1

2 m

2

0 m

1 m

3 , 2





3.5.2 Dạng 2 – Một số bài toán dạng đặc biệt:

Ví dụ : Định m để phương trình sau có nghiệm:

sinx –cosx -2m (cosx + sinx )+ 2m2 +23 = 0 (1)

Giải

Phương trình (1) là phương trình bậc hai với ẩn m

(1)  2m2 - 2m (cosx + sinx )+ sinx – cosx +23 = 0 (2)

Để (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm:

0 1) 1)(sinx 2(cosx

0 ) 2

3 cosx 2(sinx sinx)

0 1 - cosx

0 1 sinx

1 sinx 0

1 cosx

0 1 sinx

Với sinx = -1 thì cosx = 0

Vậy với giá trị m = 21 thì phương trình đã cho có nghiệm

3.6 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số mũ và hàm logarit:

Bài toán 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

1) 9x + m.3x – 1 = 02) 4x + 2x + m = 0

Giải

1) Đặt t = 3x > 0

Phương trình trở thành t2 + mt – 1 = 0 (1)

Vì (1) là phương trình bậc hai có a.c = -1 do đó phương trình (1) luôn có hai

nghiệm trái dấu

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm

Vậy với m < 0 thì phương trình đã cho có nghiệm

Bài toán 2: Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm:

2 1

t t 0

t 0 t

với t1, t2 là nghiệm của tam thức bậc hai

S

0

1 f( 0)

0 Δ

m

0 3 m

0 12 4m

3 m

2 m

6 m

6



 m

Vậy với m < -3 hoặc m 6 thì bất phương trình đã cho có nghiệm

Bài toán 3: Cho phương trình:

2  3x 2  3x  m (1)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai

nghiệm dương phân biệt:

0 P

0 Δ

0 m

0 4

m 2

 m 2

Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm thì m > 2

Bài toán 4: Cho phương trình:

0 1 2m 1 x log x

3

2

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1,3 3

2

) loai ( 3

t t

3 log

3 log 2 1 log

3

3 2

3 2

3

x

x x

3 log

Vậy tương ứng với x [ 1 ; 3 3 ]

Để phương trình đã cho có nghiệm x [ 1 ; 3 3 ]

0 2

0 1

0 2

S f t

t

2

1 2

2 1

2 1

2 1

t t

t t

 f2(1m).(f4(2)2m)00Vậy với m  [0 ; 2] thì phương trình đã cho luôn có nghiệm x [ 1 ; 3 3 ]

0 x 2

 2x2Đặt t = 2  x + 2  x với t  0

2 S 2

0 )

0 ) 2 f(2

0 f(2)

2 1

t 2 2 t 2

2 2 t 2 t

 (4 - 2m)( - 4 + 4 2 - 2m)  0

 2( 2-1)m 2Vậy: với mọi m 2 ( 2  1 ), 2 thì phương trình đã cho có nghiệm

Bài toán 2: Tìm a để bất phương trình có nghiệm :

1 v

Với giá trị nào cùa m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả

9

7 x

1

2 1

nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn 5x1 + 3x2 = 4

6 Chứng minh rằng không tồn tại m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:

9.Với giá trị nào của m thì:

a Phương trình có đúng một nghiệm thuộc khoảng (0,1)

b Nghiệm lớn của phương trình thuộc khoảng (0,1)

10.Giải các bất phương trình sau:

10 3

b)

2

1 5

1

2 2

mx x