a) Tứ giác CIHK nội tiếp một đường tròn.. Do đó, CIHK là tứ giác nội tiếp.. Gọi H là chân đường cao hạ từ C xuống AB, K là trung điểm đoạn thẳng AC. Tiếp tuyến tại B của đường tròn[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS HỢP THỊNH ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT NĂM 2021
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
ĐỀ 1
Câu 1
a) Xác định hệ số a, b, c và giải phương trình x2− 7 x + 12 = 0.
b) Giải hệ phương trình:
6
+ =
− =
Câu 2: Quãng đường AB dài 60km, một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc và thời gian quy định Sau
khi đi được nửa quãng đường người đó giảm vận tốc 5km/h trên nửa quãng đường còn lại Vì vậy, người
đó đã đến B chậm hơn quy định 1 giờ Tính vận tốc và thời gian quy định của người đó
1) Cho phương trình: 2x2+(2m−1)x m+ − =1 0 (1) trong đó m là tham số
2) Giải phương trình (1) khi m = 2
3) Tìm m để phương trình (1) có hai ngiệm thỏa mãn: 4x12+4x22+2x x1 2 =1
Câu 3: Cho đường tròn (O; R), dây BC cố định Điểm A di động trên cung lớn BC (AB < AC) sao cho tam
giác ABC nhọn Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H Gọi K là giao điểm của EF với BC
1) Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp
2) Chứng minh: KB KC =KE KF
3) Gọi M là giao điểm của AK với (O) (M A) Chứng minh MH ⊥AK
Câu 4: Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:
1 ( )
ĐÁP ÁN Câu 1:
a) Xác định được a=1,b= −7;c=12
Tính được: =b2 – 4ac=49 48 1 0− =
Tìm được phương trình có hai nghiệm x1 = 3; x2 = 4
Kết luận: Phương trình có tập nghiệm S = 3; 4
− = + = =
KL: Hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (6; 0)
Câu 2
1) Gọi vận tốc quy định của người đó là x (km/h), (x > 5)
Thời gian quy định để người đó đi hết quãng đường là 60 ( )h
Trang 2Nửa quảng đường đầu là: 60 : 2 30( )= km nên thời gian đi nửa quãng đường đầu là: 30 ( )h
Nửa quãng đường sau, vận tốc của người đó giảm 5km/h nên vận tốc lúc sau là: x−5(km h/ )
Thời gian đi nửa quãng đường sau là 30 ( )
5 h
Vì người đó đến chậm so với thời gian dự định là 1 giờ nên ta có phương trình:
2 2
2
x x
−
Vậy vận tốc quy định của người đó là 15km/h và thời gian quy định của người đó là: 60 : 15 = 4 giờ
2) Cho phương trình 2x2+(2m−1)x m+ − =1 0 (1) trong đó m là tham số
Khi m = 2 thì (1) trở thành: 2x2+3x+ =1 0 có hệ số a=2;b=3;c=1
2
= − = − = −c
a
Vậy vớim=2 thì phưng trình có tập nghiệm 1; 1
2
= − −
S
1 2 1 2
4x +4x +2x x =1 Phương trình (1) có nghiệm 0
Ta có: =(2m−1)2−4.2.(m− =1) 4m2−4m+ −1 8m+ =8 4m2−12m+ =9 (2m−3)2
Dễ thấy =(3m−3)2 0, m nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x x1, 2
Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2
1 2
1 2 2 1 2
m
m
x x
+ = −
−
Theo đề bài ta có:
Trang 32 2 2 2 2
2
2
1
4
=
=
m
m
4
Câu 3
1) Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp
Do
0
0
90 90
Tứ giác BCEF có BEC=CFB=900 nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)
2) Chứng minh: KB KC =KE KF
Tứ giác BCEF nội tiếp (câu a) nên KFB=ECB (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) Xét tam giác KFB và KCE có:
chung
(cmt)
=
K
KF = KB
3) Gọi M là giao điểm của AK với (O) (M A) Chứng minh MH ⊥AK
Kéo dài AH cắt BC tại D thì AD⊥BCADB=900
Xét tam giác AFH và ADB có:
0
chung
=
A
AFH
AD AB (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
(1)
Trang 4Dễ thấy tứ giác AMBC nội tiếp (O) nên AMB+ACB=1800 (tính chất) (2)
Tứ giác ABCF nội tiếp (cmt) nên BFE+BCE =1800
Mà BFE= AFK (đối đỉnh)
0
= 180 (3)
Từ (2) và (3) suy ra AMB=AFK (cùng bù với ACB)
Xét tam giác AMB và AFK có:
chung
=
A
AFK
AMB
AF AK (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
(4)
Từ (1) và (4) suy ra AM AK =AD AH AM = AD
Xét tam giác AMH và ADK có:
chung
= (cmt)
A
AMH
Mà ADK=900AMH=90 hay 0 HM ⊥AK
Câu 4
4
+
Thậy vậy, với x, y > 0 thì:
Do đó: 1 1 14 +1
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
Tương tự ta có:
2 4
2 4
Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:
1
4
a c b c b a c a c b a b
Trang 5Do đó 1
4
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
ĐỀ 2
Câu 1
a) Tính giá trị của các biểu thức sau
5 5 3 3 5
b) Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
2
1) x −7x+10=0
2) x −5x −36=0
3)
2 7 1
− = −
+ =
Câu 2: Cho biểu thức 1 1 1
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi a =3
Câu 3
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số 1 2
2
b) Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (P) với đường thẳng (d): y=x
c) Cho phương trình: x2+(m+2)x+ − =m 1 0 (1) (m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m Khi đó tìm m để biểu thức
A=x +x − x x đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC) và nội tiếp đường tròn (0) Vẽ đường cao AH
(HBC), Từ H kẻ HM vuông góc với AB (MAB) và kẻ HN vuông góc với AC (NAC) Vẽ đường
kính AE của đường tròn (O) cắt MN tị I, Tia MN cắt đường tròn (O) tại K
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp
b) Chứng minh AM.AB=AN.AC
c) Chứng minh tứ giác CEIN nội tiếp và tam giác AHK cân
ĐÁP ÁN Câu 1:
Trang 6a) Tính giá trị của các biểu thức sau
16 4 4 2 2
A= − = − =
5 5 3 3 5 5 3 5 3 5 5
2 5 2 2 5 2 ( 2 5) 2 2 5 2 5
b) Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
2
1) x −7x+10=0 (1)
2
( 7) 4.1.10 9 0
= − − =
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
Vậy phương trình (1)có tập nghiệm là S={2;5}
2) x −5x −36=0 (2)
Đặt 2
(t 0)
2
5 36 0
2
( 5) 4.1.( 36) 169 0
= − − − =
Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt
1
5 169
9 2.1
(Thỏa mãn)
2
5 169
4 2.1
(Không thỏa mãn) Với t= 9 x2 = = 9 x 3
Vậy phương trình (2)có tập nghiệm là S={-3;3}
3)
+ = − = − − = − = − = −
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y)=(-3;1)
Câu 2
a) Rút gọn P
1
P
1
a P
a
+
=
− ới a0, a1
b) Tính giá trị của P khi a =3
Trang 7Thay a=3 vào 1
1
a P a
+
=
− ta có
3 1 2
3 1
−
Vậy P=2 với a=3
Câu 3
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số 1 2
2
Ta có bảng giá trị sau
2
2
2
2
y= x là đường cong đi qua các điểm (-2;2);(-1; 1
2 );(0;0);
(1; 1
2); (2;2) và nhận trục Oy làm trục đối xứng
b) Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (P) với đường thẳng (d): y=x
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (P) và đường thẳng (d): 1 2
0; 2
2x = =x x x=
Với x=0 => y =0 ta có giao điểm O(0;0)
Với x=2 => y=2 ta có giao điểm A(2;2)
Vậy giao điểm của đồ thị hàm số (P) và đường thẳng (d) là O(0;0); A(2;2)
c) Cho phương trình: 2
( 2) 1 0 (1)
x + m+ x+ − =m (m là tham số) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m Khi đó tìm m để biểu thức
A=x +x − x x đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có =(m+2)2−4.1(m− =1) m2 +4m+ −4 4m+ =4 m2+ 8 0 m
Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2
Theo định lý vi-et ta có 1 2
x
y
1
4 3 2
5
-4 -5
6 7 8
Trang 8Theo bài ra ta có
35
4
A
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 35
4 khi
1 0 2
2
Câu 4
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp
Ta có
0
0
Xét tứ giác AMHN có
90 90 180
Mà AMH và ANH là 2 góc đối
b) Chứng minh AM.AB=AN.AC
Do Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt)
=>AMN= AHN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
90
0
90
=>AMN=ACB
BAC là góc chung
ABC
Trang 9.
c) Chứng minh tứ giác CEIN nội tiếp và tam giác AHK cân
Xét (0) ta có
EAC=EBC (2 góc nội tiếp chắn cung EC) (1)
Ta có ABE=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (0))
=>ABH+CBE=900
Mà ABH+HAM=900 (ABH vuông tại H)
Do Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt)
Mà MHA+HAM=900( AHM vuông tại M) (5)
90
=>ANI vuôn tại I
90
ACE
Xét tứ giác CEIN có
90 90 180
Mà NIE và NCE là 2 góc đối
=>Tứ giác CEIN nội tiếp
Xét AHC vuôn tại H
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao
=>AH2=AN.AC (6)
Nối A với KAKE=900 AKE vuông tại K
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao
=>AK2=AI.AE (7)
Xét AIN và ACE có
0
90
=>AIN đồng dạng ACE
Trang 10Từ (6)(7)(8) => AH2 =AK2 => AH=AK => HAK cân tại A
Đề 3
Câu 1: Cho biểu thức
1
A
x
với x 0, x 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x là số chính phương để 2019A là số nguyên
Câu 2: An đếm số bài kiểm tra một tiết đạt điểm 9 và điểm 10 của mình thấynhiều hơn 16 bài Tổng số
điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt điểm 9 và điểm 10 đó là 160 Hỏi An được bao nhiêu bài điểm 9 và
bao nhiêu bài điểm 10?
Câu 3: Cho đường tròn O , hai điểm A B, nằm trên O sao cho AOB 90º Điểm C nằm trên cung lớn AB sao cho AC BC và tam giác ABC có ba góc đều nhọn Các đường cao AI BK, của tam
giác ABC cắt nhau tại điểmH BK cắt O tại điểmN (khác điểmB); AI cắt O tại điểmM (khác điểmA); NA cắt MB tại điểmD Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CIHK nội tiếp một đường tròn
b) MN là đường kính của đường tròn O
c) OC song song với DH
Câu 4: a) Cho phương trình x2 2mx 2m 1 0 1 với m là tham số Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x x sao cho1, 2 x1 x2 3 x x1 2 2m 1
b) Cho hai số thực không âm ,a b thỏa mãn a2 b2 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
1
M
ĐÁP ÁN Câu 1:
)
1
a A
x
1
x
1
1 2 1
b)
x A
2019A là số nguyên khi và chỉ khi x 1 là ước nguyên dương của 6057 gồm: 1; 3;9;673,2019;6057
Trang 11+) x 1 1 x 0, thỏa mãn
+) x 1 673 x 451584, thỏa mãn
+) x 1 2019 x 4072324, thỏa mãn
+) x 1 6057 x 36675136, thỏa mãn
Câu 2
Gọi số bài điểm 9 và điểm 10của An đạt được lần lượt là x y, (bài) x y,
Theo giả thiết x y 16
Vì tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đó là 160 nên 9x 10y 160
160 9 10 9
9
16
9
Vậy An được 10bài điểm 9 và 7 bài điểm 10
Câu 3
Do đó,CIHKlà tứ giác nội tiếp
O N
M K
I H
D
C
B A
Trang 12sđBM sđAN 90
Do I K, cùng nhìn AB dưới góc 90º nên tứ giác ABIK nội tiếp
Vì AC BC nên ABC không cân tại C do đó C O H, , không thẳng hàng Từ đó suy ra CO //DH
Câu 4
Áp dụng ĐL Vi-ét ta có x1 x2 2 ; m x x1 2 2m 1
m
1
m
nghiệm
Vậy giá trị cần tìm là 1
2
3
ab
M
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM là 3 đạt được khi a b 1
4
2 2 4 1
M
ab
+ +
2; 2
Trang 13Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0
Giá trị lớn nhất của biểu thức M là 4 2 2+ đạt được khi a b; 0; 2 a b; 2; 0
Đề 4
Bài 1 (2,0 điểm): Giải bất phương trình và hệ phương trình sau:
a) 7 – 2 4x x+3; b) 3 1
2 5
+ =
− =
Bài 2 (2,0 điểm) : Cho Parabol ( ) 2
P y= x và đường thẳng ( )d :y=3x+ 2
a) Vẽ đồ thị (P) trên hệ trục tọa độ Oxy ;
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
Bài 3 (2,0 điểm)
P
b) Chứng minh rằng phương trình : x2−(2m−1)x+2m− =4 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
A=x +x
Bài 4 (2,0 điểm) : Cho ABC vuông tại C nội tiếp trong đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R,
0
60
ABC = Gọi H là chân đường cao hạ từ C xuống AB, K là trung điểm đoạn thẳng AC Tiếp tuyến tại
B của đường tròn tâm O cắt AC kéo dài tại điểm D
a) Chứng minh tứ giác CHOK nội tiếp trong một đường tròn
b) Chứng minh rằng AC.AD= 4R2
c) Tính theo R diện tích của phần tam giác ABD nằm ngoài hình tròn tâm O
ĐÁP ÁN Bài 1 (2,0 điểm):
3 3
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 5
3
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là ( ) (x y =; 1; 2− )
Bài 2 (2,0 điểm)
Trang 14a) Vẽ đồ thị hàm số y=2x2
Bảng giá trị :
2
2
2
y= x là một đường cong đi qua các điểm: (−2;8 ,) (−1; 2 , 0;0 , 1; 2 , 2;8) ( ) ( ) ( )
Đồ thị như hình vẽ :
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) :
Ta có = (-3)2 – 4.2.(-2) = 25 > 0 = 5
2
x= − hoặc x =2
2
2
1 1 2
−
=
1 1
;
2 2
−
Khi x = 2 thì y = ( )2
2 2 =8 ta được giao điểm ( )2;8
Vậy giao điểm của (P) và (d) là 1 1;
2 2
−
và ( )2;8
Bài 3 (2,0 điểm)
a) Rút gọn :
P
1
a
−
=
1 4 1 2
a a
− −
=
− = -2
Vậy P = -2
O y
x
Trang 15b) Ta có ’ = ( ) (2 ) 2 2
4 4 1
2 1
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 với mọi m
Theo định lí vi-ét ta có : 1 2
4 1 2 2 4 4 8 4 4 8 2 2.2 3 3 3 2 3 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi m = 3
2
Bài 4 (2,0 điểm)
a) Chứng minh tứ giác CHOK nội tiếp trong một đường tròn
90
Xét tứ giác CHOK có :
0
90
0
90
Vì CKO CHO+ =900+900 =1800 nên tứ giác CHOK nội tiếp
b) Chứng minh rằng AC.AD= 4R2
Xét ACB và ABD có :
0
90
BAD là góc chung
AB = AD AC.AD = AB2 = (2R)2 = 4R2 (đpcm) c) Tính theo R diện tích của phần tam giác ABD nằm ngoài hình tròn tâm O
Gọi S là diện tích của phần tam giác ABD nằm ngoài hình tròn tâm O
D
K
600 H O
C
B A
Trang 16Khi đó : S=SABD −SABC−S vp
Ta có : OB = OC = bk, ABC =600 OBC là tam giác đều OB = OC = BC = R và BOC =600
Lại có CH ⊥ AB H là trung điểm OB BH =
2
R
2
R
Vì CH // BD (cùng vuông góc với AB) nên
3
2
2
R R
BD
R
Khi đó :
2
.2
ABD
2
ABC
Vậy diện tích phần tam giác ABD nằm ngoài hình tròn tâm O là :
10 3
R
− − − =
Trang 17Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí