Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) nội tiếp đường tròn tâm O Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H ( D thuộc AC, E thuộc AB). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. a) [r]
Trang 1TRƯỜNG THCS CHÂU MINH ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT NĂM 2021
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
ĐỀ 1
Câu 1: Vẽ đồ thị của hàm số y = -2x2
Câu 2: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 2
x − −x =
b) 4x4−5x2− =9 0
c) 2 8
x y
x y
− =
+ = −
Câu 3
a) Trong mặt phẳng toạ độ cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + 4m2 -8m +3 ( m là tham
số thực) Tìm các giá trị của m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x1; y1); B(x2; y2) thoả mãn điều kiện y1 + y2 = 10
b) Trong kỳ thi Tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2019, tổng chỉ tiêu tuyển sinh của Trường THPT A và
trường THPT B là 900 học sinh Do cả hai trường đều có chất lượng giáo dục rất tốt nên sau khi hết hạn thời gian điều chỉnh nguyên vọng thì số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A và Trường THPT B tăng lần lượt là 15% và 10% so với chỉ tiêu ban đầu Vì vậy, tổng số thí sinh đăng ký dự tuyển của cả hai trường là 1010 Hỏi số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển của mỗi trường là bao nhiêu?
Câu 4
Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) nội tiếp đường tròn tâm O Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H (
D thuộc AC, E thuộc AB) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC
a) Chứng minh các tứ giác BCDE và AMON nội tiếp
b) Chứng minh: AE.AM = AD.AN
c) Gọi K là giao điểm của ED và MN, F là giao điểm của AO và MN, I là giao điểm của ED và AH Chứng
minh F là trực tâm của tam giác KAI
ĐÁP ÁN Câu 1
Bảng giá trị
Vẽ đồ thị hàm số
2 2
y= − x
Trang 2Câu 2
a)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là
Vậy tập nghiệm của phương trình
b)
Phương trình trở thành
Với ta được
Vậy tập nghiệm của phương trình
c)
Vậy hệ phương trình có nghiệm
2
x − −x =
( )2 ( )
9
=
( )
( )
1
2
1 9
5 2.1
1 9
4 2.1
x
x
− − +
− − −
4;5
S = −
( )
4 2
2 0
t =x t
( )1
( ) ( )
1 2
2
1
4
t t
= −
− − = =
9
4
3
3 4
2
x x
x
= −
=
=
3 3
;
2 2
S = −
x y
x y
− =
+ = −
x y
x y
x
=
3 2
x y
=
(3, 2 − )
Trang 3Câu 3
a) Phương trình hồnh độ giao điểm của và là
và cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt
với mọi
của phương trình
Áp dụng định lý Vi – et đối với
Theo đề bài ta cĩ
Vậy hoặc thoả mãn yêu cầu bài tốn
b) Gọi (thí sinh) lần lượt là chỉ tiêu của trường THPT A và THPT B và
Tổng chỉ tiêu tuyển sinh của Trường THPT A và trường THPT B là 900 học sinh:
Số thí sinh thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A là (thí sinh)
Số thí sinh thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A là (thí sinh)
Tổng số thí sinh đăng ký dự tuyển của cả hai trường là 1010
Từ (1) và (2) ta cĩ hệ phương trình
Số thí sinh thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A là thí sinh
Số thí sinh thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A là thí sinh
Câu 4
2x 4m 8 3
( )
1 4m 8m 3 4m 8m 4 2m 2 0
( 1; 1) (, 2; 2)
2 2
y =x x x1, 2 ( )*
1 2
2
( )2
2 2
1 2 10 1 2 10 1 2 2 1 2 10
y +y = x +x = x +x − x x =
2 2 4m 8m 3 10
( ) ( )
2
nhận nhận
m
m
=
=
0
,
( )
900 1
x+ =y
y+y = y
( ) 1,15x+1,1y=1010 2
Trang 4a) Ta có:
thuộc đường tròn đường kính
Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
Do lần lượt là trung điểm và
Tứ giác có:
mà và là hai góc đối nhau
là tứ giác nội tiếp
b) Cách 1:
là lần lượt là trung điểm của là đường trung bình của
(so le trong) Mặt khác, ta có:
(tứ giác nội tiếp) (kề bù)
Từ và
Xét và có:
góc chung
Đề 2
BEC= BDC= ,
E D
,
M N AB AC OM ⊥AB ON, ⊥AC OMA= 90 , ONA= 90
AMON
90 90 180
OMA+ ONA= + = OMA ONA
AMON
,
//
180
180
AED BED+ =
AMN
:
A
ANM =AED
AE AM AD AN
Trang 5Câu 1
1) Tính giá trị của các biểu thức sau:
3 49 25
A
2 (3 2 5) 20
B
: 3 1
P
x x x với x0;x1 a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P=1
Câu 2
1) Cho parabol ( ) : 1 2
2
=
P y x và đường thẳng ( ) :d y= +x 2 a) Vẽ parabol ( )P và đường thẳng ( )d trên cùng hệ trục tọa độ Oxy
b) Viết phương trình đường thẳng ( ) :d1 y=ax b song song với + ( )d và cắt ( )P tại điểm A có hoành độ bằng −2
2) Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình: 2 5
+ =
+ =
x y
x y
Câu 3 Cho phương trình x2−(m+2)x m+ + =8 0 (1) với m là tham số
a) Giải phương trình (1) khi m= −8
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x x thỏa 1; 2 3
1 − 2 =0
Câu 4: Nông trường cao su Minh Hưng phải khai thác 260 tấn mũ trong một thời gian nhất định Trên
thực tế, mỗi ngày nông trường đều khai thác vượt định mức 3 tấn Do đó, nông trường đã khai thác được
261 tấn và song trước thời hạn 1 ngày Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nông trường khai thác được bao nhiêu tấn mũ cao su
Câu 5
Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R Gọi C là trung điểm của OA , qua C kẻ đường thẳng vuông
góc với OA cắt đường tròn ( )O tại hai điểm phân biệt M và N Trên cung nhỏ BM lấy điểm K(K khác
B và M) Gọi H là giao điểm của AK và MN
a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh AK AH =R2
ĐÁP ÁN Câu 1
1) A=3 49− 25
A
3.7 5
A
21 5
= −
A
Trang 6=
A
2 (3 2 5) 20
B
2
B
B
3 2 5 2 5
= − + −
B
3
= −
B
2 a) Rút gọn biểu thức P
1 :
3 1
P
1 : 3
P
: 3
P
1 : 3
=
−
P
x x
3 +
P
+
=
x x P
3
1
=
−
P
x
b) Tìm giá trị của x để P=1
3 1 1
1=
=
−
x P
1 3
x− =
4
x =
16
=x
Vậy x=16 thì P=1
Câu 2
a) Vẽ parabol ( )P và đường thẳng ( )d trên cùng hệ trục tọa độ Oxy
Trang 7Bảng giá trị:
2
1
2
=
Đồ thị hàm số 1 2
2
=
y x là đường Parabol đi qua các điểm ( 4;8); ( 2; 2)− − ; (0; 0); (2; 2); (4;8) và nhận
Oy làm trục đối xứng
Đồ thị hàm số y= +x 2 là đường thẳng đi qua điểm (0; 2) và điểm ( 2; 0)−
b) Vì đường thẳng ( ) :d1 y=ax b song song với + ( )d nên ta có phương trình của đường thẳng
1
( ) :d y= +x b b( 2)
Gọi ( 2;A − y A) là giao điểm của parabol ( )P và đường thẳng ( )d 1
( )
2
1
2
( 2; 2)
Mặt khác, A( )d , thay tọa độ của điểm 1 A vào phương trình đường thẳng ( )d1 , ta được:
2= − + =2 b b 4 (nhận)
Vậy phương trình đường thẳng ( ) :d1 y= +x 4
2) Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình: 2 5
+ =
+ =
x y
x y
Trang 8Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: ( ; )x y =(2;1)
Câu 3
a) Thay m= −8 vào phương trình (1), ta được: x2− − +( 8 2)x− + =8 8 0
2
Vậy m= −8 thì phương trình (1) có 2 nghiệm: x= −6;x=0
b) =(m+2)2−4(m+ =8) m2+4m+ −4 4m−32=m2−28
Phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt khi
0 0 0
S P
2
Theo đề bài, ta có:
3
Đặt 4m+ =8 t t( 0), ta có: t+ = −t3 t4 6
4 3
− −t t + −t =
t − t + − t − + − =t
( 2)( 2)( 4) ( 2)( 2 5) 0
−t t+ t + − −t t + + =t
−t t + t + + −t t − t− =
3 2 (
−t t + + + =t t
2
=t (vì t + + + 0 t3 t2 2t 3 0)
4
m+ = + =m = =m (nhận)
Câu 4
Gọi số tấn mũ cao su mỗi ngày nông trường khai thác được là x (tấn)
(Điều kiện: 0 x 260)
Trang 9Thời gian dự định khai thác mũ cao su của nông trường là: 260
x (ngày)
Trên thực tế, mỗi ngày nông trường khai thác được: x+3 (tấn)
Thời gian thực tế khai thác mũ cao su của nông trường là: 261
3 +
x (ngày)
Theo đề bài, ta có phương trình: 261 1 260
+
2
2
2
x + x− = (1)
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
1
26 1
− +
1
− −
Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày nông trường cao su khai thác 26 tấn
Câu 5
a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn
Vì AB⊥HC tại C nên BCH =900;
Ta có: AKB=900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BKH =900
Xét tứ giác BCHK có: BCH+BKH =900+900 =1800
Mà BCH BKH là hai góc đối nhau ;
Suy ra: Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AK AH =R2
H
M
N
K
Trang 10Xét ACH và AKB có:
0 90
BAK là góc chung;
Do đó: ACH#AKB g g( )
AB AK
2
2
AH AK =AB AC= R =R R
Vậy AK AH =R2
Đề 3
Câu 1:
a) Tìm giá trị của x sao cho biểu thức A= −x 1 có giá trị dương
b) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, tính giá trị biểu thức 2 2 2
2 2 5 3 3 5 4 4 5
c) Rút gọn biểu thức
2
1 1
a a
−
−
với a 0 và a 1
Câu 2:
a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình 4 7
x y
− =
+ =
b) Cho đường thẳng :d y=ax b+ Tìm giá trị của a và b sao cho đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1− ) và song song với đường thẳng :y= +x 2019
Câu 3: Hưởng ứng Ngày Chủ nhật xanh do UBND tỉnh phát động với chủ đề “Hãy hành động để Thừa
Thiên Huế thêm Xanh, Sạch, Sáng”, một trường THCS đã cử học sinh của hai lớp 9A và 9B cùng tham gia làm tổng vệ sinh một con đường, sau 35
12 giờ thì làm xong công việc Nếu làm riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9A làm xong công việc ít hơn thời gian học sinh lớp 9B là 2 giờ Hỏi nếu mỗi lớp làm riêng thì sau bao nhiêu giờ sẽ làm xong công việc?
Câu 4: Cho phương trình: 2 ( ) 2 ( )
x + m− x m+ − m= (với x là ẩn số)
a) Giải phương trình ( )1 khi m =1
H
M
N
K
Trang 11b) Chứng minh rằng phương trình ( )1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
c) Tìm các giá trị của m để phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn điều kiện 1, 2
x + = x +
Câu 5: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường tròn ( )O lấy điểm C không trùng B sao cho
ACBC Các tiếp tuyến của đường tròn ( )O tại A và tại C cắt nhau tại D Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, E là giao điểm của hai đường thẳng OD và AC
a) Chứng minh OECH là tứ giác nội tiếp
b) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng CD và AB Chứng minh 2BCF+CFB= 90
c) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD và CH Chứng minh hai đường thẳng EM và AB song song với nhau
Câu 6: Một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 6cm, bán kính đáy
bằng 1cm Người ta thả từ từ lần lượt vào cốc nước một viên bi hình cầu và một vật có dạng hình nón
đều bằng thủy tinh (vừa khít như hình vẽ) thì thấy nước trong chiếc cốc tràn ra ngoài Tính thể tích của
lượng nước còn lại trong chiếc cốc (biết rằng đường kính của viên bi, đường kính của đáy hình nón và
đường kính của đáy cốc nước xem như bằng nhau; bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh)
ĐÁP ÁN
Câu 1:
a) A= −x 1
Ta có A có giá trị dương A − 0 x 1 0 x 1
Vậy x 1 thì A có giá trị dương
b) B =2 2 5 3 3 5 4 4 52 − 2 + 2
2 2 5 3 3 5 4 4 5 2.2 5 3.3 5 4.4 5
4 5 9 5 16 5 11 5
Vậy B = 11 5
c) ĐKXĐ: a0;a 1
2
1 1
a a
−
−
2
a
1
1
a
+
1
1
a a
a
+
1
a
a
+
Vậy với a0;a thì B = 1 1
Trang 12Câu 2:
x y
x y
− =
+ =
y
y
=
2 4.2 7
x y
=
2 1
x y
=
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( ) ( )x y =; 2;1
b) Ta có // 1
2019
a d
b
=
d y x b b
Đường thẳng :d y= + (x b b 2019) đi qua điểm A(0; 1)− nên thay x=0;y= − vào phương trình 1 đường thẳng d ta được 1 0− = + = −b b 1 (TM)
Vậy a=1;b= − 1
Câu 3:
Gọi thời gian lớp 9A làm một mình xong công việc là x (giờ) 35
12
x
Gọi thời gian lớp 9B làm một mình xong công việc là y (giờ) (y 2)
Mỗi giờ lớp 9A làm được phần công việc là: 1
x (công việc)
Mỗi giờ lớp 9B làm được phần công việc là: 1
y (công việc)
Mỗi giờ lớp cả hai ớp 9A, 9B làm được phần công việc là: 1 1
x+ y (công việc)
Theo đề bài, hai lớp cùng làm chung công việc trong 35
12 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình:
1:
12
x+ =y 1 1 12
35
Nếu làm riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9A làm xong công việc ít hơn thời gian lớp 9B là 2 giờ nên ta có phương trình: y= + (2) x 2
Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta được:
x x
+
2
2
2
35x 70 35x 12x 24x
12x 46x 70 0
12x 60x+14x 70 0
12 (x x 5) 14(x 5) 0
Trang 13( 5)(12x 14) 0
7
6
x
x
=
− =
Vậy nếu làm một mình thì lớp 9A làm xong công việc trong 5 giờ, lớp 9B làm xong công việc trong
5 2+ =7 giờ
Câu 4:
Phương trình: 2 ( ) 2 ( )
Thay m =1 vào phương trình (1) ta được pương trình:
x − x− = x − + − = x
( 3) ( 3) 0
( 3)( 1) 0
Vậy với m =1 thì tập nghiệm của phương trình là: S = − 1;3
CÓ =' (m−2)2−m2+4m=m2−4m+ −4 m2+4m= 4 0 m
Vậy phương trình ( )1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
c) Phương trình ( )1 luôn có hai nghiệm phân biệt x x với mọi giá trị của m 1, 2
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 2
1 2
Phương trình có hai nghiệm x1 0;x2 khi 0 x x 1 2 0m2 −4m 0 và m 0 m 4
Theo đề bài ta có: 2 1
x + = x +
1 2
x x
( 2 1)
1 2
x x
2 1
2 1
1 2
x x
( 2 1)
1 2
3
x x
x x
Trang 14H
K E
F
D
C
1 2
3
1 0 (Do x x x x 0)
x x
2 2
2
3
4
3( ) ( 3)( 1) 0
1( )
−
=
Vậy m=1;m= là các giá trị thỏa mãn bài toán 3
Câu 5:
a)DC=DA(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OC (bán kính)
Do đó OD là đường trung trực của đoạn thẳng AC
OD⊥AC
Tứ giác OECHcó CEO CHO+ = + =90 90 180
Tứ giác OECHlà tứ giác nội tiếp
b) Xét ( )O có: BCF=BAC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC) (1)
HCB=BAC (Cùng phụ CBA ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra BCF=HCB CB là tia phân giác của HCF (*)
HCF=2.BCF
CHF
vuông tại H nên HCF+CFB= hay 2.90 BCF+CFB= 90
c) Gọi K là giao điểm của DB và AC
Xét ( )O ta có: ABC= ACD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn AC ) (3)
Ta có ACH vuông tại H có ACH = −90 CAH
ABC
vuông tại C có CBA= −90 CAB
ACH ABC= (Cùng phụ CAH ) (4)
Từ (3) và (4) suy ra ACH = ACD
CA là tia phân giác trong của tam giác BCD (**)
Theo tính chất tia phân giác trong BCD ta có:
KD = BD = CD
KM BM CM
KD = BD = AD (DoDC=DA)
Trang 15Mặt khác ta có: CH/ /AD (cùng vuông góc AB )
HM BM
AD = BD (Định lý Ta lét)
HM BM CM
AD = BD = AD
AD = AD
HM=CM
Mà CE=AE (Do OD là đường trung trực của AB) nên ME là đường trung bình của CAH
ME/ /AH hay ME/ /AB
Câu 6:
Chiều cao hình trụ là: h t =6( )cm
Thể tích hình trụ là: V = t 2 ( )3
Bán kính hình cầu và hình trụ là: r = 1 cm ( )
Thể tích hình cầu là: 4 3 4 3 4 ( )3
.1
c
V = r = = cm Chiều cao hình nón là: h= −h t 2r= −6 2.1 4= ( )cm
Thể tích hình nón là: 1 2 1 2 4 ( )3
V = r h = = cm Thể tích lượng nước còn trong chiếc cốc là:
( )3
6
V = −V V −V = − − = cm
Đề 4
Câu 1:
1 Rút gọn biểu thức: A = 20− 45 3 80+
2 Giải hệ phương trình: 3 4 5
+ =
3 Giải phương trình: 2
12 0
x + −x =
Câu 2:
Cho hai hàm số y= −x 3 và 2
2
y= − x có đồ thị lần lượt là ( )d và ( )P
1 Vẽ ( )d và ( )P trên cùng hệ trục tọa độ Oxy
2 Tìm tọa độ giao điểm của ( )d và ( )P bằng phép toán
Câu 3:
Trang 16Cho phương trình 2
3 11 0
x − +x m− = ( )1 (với m là tham số)
1 Với giá trị nào của m thì phương trình ( )1 có nghiệm kép
2 Tìm m để phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt x x sao cho 1, 2 2017x1+2018x2 =2019
Câu 4:
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O , hai đường cao BD và CE cắt đường
tròn tâm O theo thứ tự tại P và Q (PB Q, C)
1.Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn
2 Gọi H là giao điểm của BD và CE Chứng minh HB HP =HC HQ
ĐÁP ÁN Câu 1:
1 A = 20− 45 3 80+ =2 5 3 5 12 5− + =11 5
2 3 4 5
x y
x y
+ =
x y
2 1
y x
=
Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 1;2)−
3 x2+ −x 12=0 (x−3)(x+4)=0 3 0
x x
− =
3 4
x x
=
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =3; 4−
Câu 2:
Cho hai hàm số y= −x 3 và 2
2
y= − x có đồ thị lần lượt là ( )d và ( )P
1 Vẽ ( )d và ( )P trên cùng hệ trục tọa độ Oxy
Đồ thị của hàm số y= −x 3 là đường thẳng đi qua hai điểm (0; 3− và ) ( )3;0
Bảng giá trị của hàm số 2
2
y= − x là:
x −2 −1 0 1 2
2 2
y= − x − 8 −2 0 −2 − 8
Đồ thị hàm số 2
2
y= − x là Parabol đi qua các điểm (− − ; 2; 8) (− − ; 1; 2) ( )0; 0 ; (2; 8− ; ) (1; 2− nhận ) Oy
làm trục đối xứng