Luận văn thạc sĩ phương pháp số giải phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến cấp hai

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Đào Xuân Tuấn PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN CẤP HAI Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đào Xuân Tuấn

PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN CẤP HAI

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Đào Xuân Tuấn

PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN CẤP HAI

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS VŨ VINH QUANG

Thái Nguyên - 2015

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

LỜI CẢM ƠN iv

DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU v

DANH SÁCH HÌNH VẼ vi

DANH SÁCH BẢNG vii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3

1.1 Phương trình vi phân cấp một 3

1.1.1 Bài toán Cauchy và định lí tồn tại duy nhất nghiệm 3

1.1.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích 4

1.2 Phương trình vi phân cấp hai 12

1.2.1 Định lí tồn tại duy nhất nghiệm 12

1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích 13

1.2.2.1 Phương trình khuyết 13

1.2.2.2 Phương trình tuyến tính cấp hai 14

1.2.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 14

1.2.2.4 Phương pháp biến thiên hằng số 17

1.3 Phương trình vi phân cấp cao 19

1.3.1Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm 19

1.3.2 Các phương trình giải được bằng cầu phương 20

1.3.3 Tích phân trung gian – phương trình hạ cấp được 23

1.3.3.1 Tích phân trung gian 23

1.3.3.2 Các trường hợp phương trình hạ cấp được nhờ tích phân trung gian 24

1.3.3.3 Phương trình thuần nhất đối với hàm và đạo hàm 24

1.3.3.4 Phương trình mà vế trái là đạo hàm đúng 25

Chương 2: MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN 26

2.1 Phương pháp sai phân 26

2.1.1 Lưới sai phân 26

2.1.2 Hàm lưới 27

2.1.3 Đạo hàm lưới 27

2.1.4 Quy ước viết vô cùng bé 27

2.1.5 Công thức Taylor 28

2.1.6 Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới 28

2.2 Một số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp một 30

2.2.1 Thuật toán Euler 30

2.2.2 Phương pháp Crank_Nicolson 33

2.2.3 Thuật toán RK4 34

2.2.4 Phương pháp đa bước Adams 35

2.2.5 Phương pháp Euler_Cauchy 37

2.3 Một số phương pháp số giải bài toán vi phân cấp hai 37

2.3.1 Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo 37

2.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ điều kiện biên 40

2.3.3 Phương trình vi phân phi tuyến cấp hai tổng quát với hệ điều kiện đầu 42

2.3.3.1 Sơ đồ sai phân dạng Runge_Kutta 42

2.3.3.2 Sơ đồ sai phân Nyström 44

Chương 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 49

3.1 Các kết quả thực nghiệm đối với phương trình cấp một 49

3.1.1 Thuật toán Euler 1 49

3.1.2 Thuật toán Euler 2 51

3.1.3 Thuật toán Euler_Cauchy 52

3.1.4 Thuật toán RK_4 53

3.2 Các kết quả thực nghiệm đối với phương trình cấp hai 55

3.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ điều kiện biên 55

3.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ điều kiện đầu 58

KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

Phụ lục: MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH NGUỒN 65

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS Vũ Vinh Quang – Trường Đại học công nghệ thông tin và truyền thông – Đại học Thái Nguyên Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôi xin trân trọng gửi tới các Thầy giáo, Cô giáo thuộc khoa Toán – Tin, phòng Đào tạo – Trường Đại học khoa học – Đại học Thái Nguyên cũng như các Thầy, Cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 – 2015 lời cám ơn sâu sắc nhất

Tôi xin cám ơn Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Ninh, Ban giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Đông Triều – Quảng Ninh, gia đình, bạn bè, đã tạo điều kiện giúp đỡ, động viên, cổ vũ để tôi hoàn thành nhiệm vụ của mình

Thái Nguyên, ngày 04 tháng 04 năm 2015

Học viên cao học lớp: Toán A Khóa: 06/2013 – 06/2015 Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Trường ĐH khoa học – ĐH Thái Nguyên

: Độ chính xác trong sai số tính toán

h: Là bước đi của lưới

DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 3.1: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán RK_4

Hình 3.2: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán khử lặp

Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán Nyström dạng 1 Hình 3.4: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán Nyström dạng 2

DANH SÁCH BẢNG

Bảng 2.1: Nyström bậc 4

Bảng 2.2: Phương pháp cho y''  f x y( , ) , Nyström bậc 4

Bảng 2.3: Phương pháp cho y''  f x y( , ) , Nyström bậc 5

Bảng 3.1: Sai số phương pháp ứng với hàm nghiệm đúng

Bảng 3.2: Sai số phương pháp Euler_2 ứng với hàm nghiệm đúng

Bảng 3.3: Sai số phương pháp Euler_Cauchy ứng với hàm nghiệm đúng Bảng 3.4: Sai số phương pháp RK_4 ứng với hàm nghiệm đúng

Bảng 3.5: Sai số phương pháp khử lặp ứng với hàm nghiệm đúng

Bảng 3.6: Sai số phương pháp Nyström dạng 1 ứng với hàm nghiệm đúng Bảng 3.7: Sai số phương pháp Nyström dạng 2 ứng với hàm nghiệm đúng

MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân dạng tuyến tính và phi tuyến tính là một lớp phương trình

cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọng đối với các bài toán thực tế đặc biệt là lý thuyết điều khiển ổn định Về mặt lý thuyết tổng quát của lớp phương trình này đã được các nhà toán học nghiên cứu từ rất lâu Tuy nhiên vấn đề tìm nghiệm giải tích của các phương trình này chỉ thực hiện được đối với các phương trình dạng đặc biệt còn chủ yếu là phải xác định nghiệm xấp xỉ qua các phương pháp gần đúng Chính vì vậy việc nghiên cứu lý thuyết về các phương pháp gần đúng và xây dựng các chương trình trên máy tính điện tử tìm nghiệm số của các lớp phương trình trên và có ý nghĩa về mặt khoa học, mang tính ứng dụng cao

Mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về phương pháp sai phân đưa các phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến với các hệ điều kiện ban đầu khác nhau về các hệ phương trình sai phân đồng thời nghiên cứu một số các thuật toán giải đúng và gần đúng các hệ phương trình sai phân để xác định nghiệm xấp xỉ của các phương trình vi phân, trên cơ sở đó tiến hành xây dựng hệ thống hàm mẫu mô tả các thuật toán bằng ngôn ngữ máy tính, thử nghiệm tính chính xác của các chương trình trên các ví dụ cụ thể

Cấu trúc của luận văn gồm 3 chương với những nội dung như sau:

Chương 1: Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân, một số phương pháp tìm nghiệm giải tích đối với lớp các phương trình cấp một và cấp cao Đây là các kiến thức cơ bản làm nền tảng để nghiên cứu các nội dung trong các chương tiếp sau của luận văn

Chương 2: Trên cơ sở của phương pháp sai phân, luận văn trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản về mặt lý thuyết các thuật toán giải số các phương trình vi phân cấp một với điều kiện ban đầu và phương trình vi phân cấp hai với hệ điều kiện biên Trên cơ sở đó nghiên cứu thuật toán giải số các phương trình vi phân cấp hai Các kết quả lý thuyết chính là nền tảng để xây dựng các thuật toán giải số các phương trình vi phân trong chương 3 của luận văn

Chương 3: Xuất phát từ các kết quả lý thuyết phân tích về các thuật toán giải số các phương trình vi phân cấp một và cấp hai dựa trên cơ sở của phương pháp sai phân, trong chương 3 luận văn sẽ trình bày các kết quả khi cài đặt các thuật toán giải số trên máy tính điện tử, đánh giá tính đúng đắn của các thuật toán thông qua việc đánh giá sai

số Ngôn ngữ sử dụng cài đặt các thuật toán là ngôn ngữ Matlab version 7.0

Mặc dù đã cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh được những sai sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các Thầy giáo, Cô giáo, đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015

Học viên

Đào Xuân Tuấn

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Nội dung chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân, một số dạng phương trình vi phân thường gặp và phương pháp giải Đây

là các kiến thức nền tảng, là cơ sở cho việc trình bày các nội dung trong chương 2 và chương 3 của luận văn Các kiến thức trên được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3]

1.1 Phương trình vi phân cấp một

1.1.1 Bài toán Cauchy và định lí tồn tại duy nhất nghiệm

 Bài toán Cauchy

Xét phương trình: dy f x y( , )

Khi đó bài toán tìm nghiệm y  y x( ) của (1.1) sao cho khi x x0 thì y  y0

được gọi là bài toán Cauchy, ở đây ( , )x y0 0 là các giá trị tuỳ ý cho trước được gọi là giá trị ban đầu (điều kiện đầu)

 Định lí tồn tại duy nhất nghiệm

Định nghĩa 1.1 Ta nói hàm ( , ) thoả mãn trong miền G  2 điều kiện Lipschitz đối với y nếu   N 0 sao cho với bất kỳ x y y , , mà ( , )x y G x y,( , )G

Định lí 1.1 Xét phương trình (1.1) với giá trị ban đầu ( , )x y0 0 Giả sử:

a Hàm số ( , ) là hàm liên tục hai biến trong miền kín giới nội G

vì f liên tục trong G kín, giới nội nên M để f x y( , ) M, ( , ) x y G

b Hàm số ( , ) thoả mãn trong G điều kiện Lipshitz đối với y

Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm y ( )x của phương trình (1.1) xác định

và liên tục đối với các giá trị của x thuộc đoạn x0   h x x0 h trong đó

  sao cho khi x x0 thì ( )x0  y0

1.1.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích

Trong đó M N P Q , , , là các hàm liên tục theo đối số của chúng trong miền đang xét

Giả sử N y P x ( ) ( ) 0 Khi đó từ (1.3) ( ) ( )

0 ( ) ( )

Đặt z a x2 b y2 và lập phương trình theo z ta có dz ( )z

dx  đây là phương trình tách biến

Bước 2: Ta thử tìm nghiệm của (1.8) dưới dạng (1.9) trong đó coi C C x( ) khi

Dạng phương trình: dy P x y( ) Q x y( ) ; R

dx

Nếu   0 ta được phương trình tuyến tính

Nếu   1 ta được phương trình tuyến tính thuần nhất

Tức là: M x y dx( , ) N x y dy( , ) du x y( , ) (1.14)

Thì ta nói (1.13) là phương trình vi phân hoàn chỉnh, khi đó tích phân tổng quát của phương trình là u x y( , )C

Trong đó M N , xác định, liên tục và không đồng thời triệt tiêu tại bất cứ điểm

nào trong một miền đơn liên G  2 và có trong miền ấy các đạo hàm liên tục M

Phương trình có tích phân tổng quát là: 7x2 6xy5y2 C

 Các phương trình dạng phi tuyến

+ Phương trình:F x y  ( , )' 0 (1.17) Trường hợp 1: Phương trình đang xét xác định y' như là hàm ẩn của x và có thể giải ra được y'  f x( ) Khi đó nghiệm nghiệm tìm được bằng một lần cầu phương

'

( )( )

Nghiệm tìm được dưới dạng '

( ) ( ) ( )

f y  cũng là nghiệm của phương trình

Trường hợp 2: Giải được y theo y': y  ( ')y Giả sử  là hàm khả vi liên tục Đặt y'  p ta có y  ( )p

Giả sử phương trình có thể biểu diễn dưới dạng tham số:

x  ( , );u v y  ( , );u v y'  ( , )u v (1.20) Nhờ cách biểu diễn tham số này ta có thể đưa việc giải phương trình (1.19) về việc giải phương trình đã giải ra đối với đạo hàm

(1.21) chính là phương trình đã giải ra đối với đạo hàm, giả sử nghiệm tổng quát

là v  ( , )u C Khi đó nghiệm tổng quát của (1.19) dưới dạng tham số là:

x  u, ( , ) ;u C  y  u, ( , )u C 

1.2 Phương trình vi phân cấp hai

Định nghĩa 1.3 Phương trình vi phân cấp hai có dạng:

x y y y



 liên tục trong một miền D nào đó

trong 3 và nếu ( , , ) x y y0 0 0' là một điểm thuộc D thì trong một lân cận nào đó của điểm x  x0 tồn tại một nghiệm duy nhất y  f x( ) của phương trình (1.23) thỏa mãn các điều kiện:

đi qua điểm ấy, hệ số góc của tiếp tuyến của nó tại điểm ấy bằng y'0

1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích

Đặt p y', ta được F x p p ( , , )' 0, đó là phương trình cấp một đối với p

c Phương trình khuyết x : F(y, , )y y ' '' 0

1.2.2.2 Phương trình tuyến tính cấp hai

Đó là phương trình vi phân có dạng:

Trong đó p x q x f x( ), ( ), ( ) là các hàm số liên tục

Nếu f x ( ) 0: Phương trình (1.25) là phương trình tuyến tính thuần nhất

Nếu f x ( ) 0: Phương trình (1.25) là phương trình tuyến tính không thuần nhất

1.2.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

Định nghĩa 1.4 Hai hàm số y x1( )và y x2( )được gọi là độc lập tuyến tính trên đoạn   a b ,  

  nếu tỉ số 2

1

( )( )

 , trên đó các hệ số p x q x( ), ( )liên tục, thì nó khác không với mọi x trên

y y

Định lí 1.8 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1.25) bằng

tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.26) với một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (1.25)

Thật vậy, gọi y là nghiệm tổng quát của phương trình (1.26), Y là một nghiệm riêng nào đó của phương trình (1.25) Đặt y   y Y

Ta có: y'  y'  Y y', ''  y''  Y'' Thế vào phương trình (1.25), ta được:

thì y y x1( )y x2( ) là một nghiệm riêng của phương trình đã cho

1.2.2.4 Phương pháp biến thiên hằng số

Giả sử đã biết nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất (1.26) là:

1.3 Phương trình vi phân cấp cao

1.3.1 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm

Định nghĩa 1.6 (Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp cao)

Nếu x là biến độc lập, y là hàm thì phương trình vi phân cấp cao có dạng tổng quát là:

F x y y( , , ', ,y( )n ) 0 (1.30)

Trong đó nhất thiết y( )n phải có mặt Giả sử hàm F liên tục theo tất cả các biến

và tại điểm x x y0, ( )k ( )x0 y( )0k thoả mãn điều kiện: F x y y ( , , , ,0 0 0' y( )0n )  0

M x y y y Khi đó theo định lí tồn tại hàm

ẩn, từ (1.22) ta có thể giải ra trong lân cận điểm M

Từ đó M sao cho f  M trong G

+ Hàm f thoả mãn trong G điều kiện Lipschitz đối với y y, , ,' y(n1)

Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm y x( )xác định liên tục trong x  x0  h với

và thoả mãn điều kiện ban đầu đã cho

Định nghĩa 1.7 (Nghiệm tổng quát)

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1.31) trong miền G thoả mãn điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm là hàm  ( , , x C C1 2, , Cn) có đạo hàm riêng liên tục theo x đến cấp n và phụ thuộc vào các hằng số C C1, 2, ,C n sao cho, từ hệ:

( , , , )

n n

Phương trình (1.32) viết được dưới dạng y( )n  f x( ) (1.33)

Trong đó hàm f x( ) liên tục trong đoạn   a b ,  

  Khi đó dx d y(n1)  f x( )

x n

(1.34) được viết dưới dạng:

Chú ý: Số hạng đầu tiên trong (1.35) cũng là nghiệm riêng của phương trình với

Nếu không giải được ra z   ( , x C1) nhưng biểu diễn được dạng tham số ( )

 phương trình đã biết cách giải

Nếu phương trình (1.36) biểu diễn một cách đơn trị theo tham số t

( 1) ( )

( )( )

n n

Giả sử rằng phương trình không giải ra được y( )n nhưng có thể biểu diễn một

cách đơn trị theo tham số t

( 2) ( )

( )( )

n n

1.3.3 Tích phân trung gian – phương trình hạ cấp được

1.3.3.1 Tích phân trung gian

Xét phương trình F x y y( , , , ,' y( )n ) 0 (1.39) Bằng cách tích phân ta thường đi đến các hệ thức trước:

Nếu tích phân trung gian chứa y(n1) : ( , , , ,1 x y y' y(n1),C1) 0 thì nó được gọi là tích phân đầu

1.3.3.2 Các trường hợp phương trình hạ cấp được nhờ tích phân trung gian

a Phương trình không chứa rõ hàm phải tìm

Đặt y( )k  z khi đó phương trình trở thành F x z( , , ,z(n k )) 0 (1.42) Giả sử ta tìm được tích phân tổng quát: ( , , , ,x z C1 C n k ) 0 hay

( 1)

n n

, , , , ( , , , ) 0

n n

Cách giải: Đặt y' yz xem z là hàm phải tìm khi đó ta có







1.3.3.4 Phương trình mà vế trái là đạo hàm đúng

Giả sử từ F x y y( , , , ,' y( )n ) 0, ta biểu diễn thành:

Kết luận: Nội dung chương 1 đã trình bày một số kiến thức cơ bản về phương

trình vi phân, một số phương pháp tìm nghiệm giải tích đối với lớp các phương trình cấp một và cấp cao Đây là các kiến thức cơ bản làm nền tảng để nghiên cứu các nội dung trong các chương tiếp sau của luận văn

Chương 2 MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN

Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số kết quả phân tích về các thuật toán giải số các phương trình vi phân cấp một và cấp hai dựa trên cơ sở của phương

pháp sai phân Các kết quả được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [4], [5], [6] 2.1 Phương pháp sai phân

Giả sử bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm u u x   đủ trơn, nghĩa là nó có đạo hàm

 bởi các điểm x i  x0 ih i,  0,1, ,N Tập các điểm x i gọi là một

lưới sai phân trên  x X0, 

 

  ký hiệu là h , mỗi điểm x i gọi là một nút của lưới, h gọi

là bước đi của lưới

Ta sẽ tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm u x( ) tại các nút x i của lưới h

Đó là ý tưởng đầu tiên của phương pháp sai phân, hay còn gọi là phương pháp

lưới

2.1.2 Hàm lưới

Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới h Giá trị của hàm lưới v tại nút x i viết là v i Một số hàm u x( ) xác định tại mọi x      a b ,   sẽ tạo ra hàm lưới u có giá trị tại nút x i là u i  u x i

h







Ta sẽ thấy rằng khi h bé thì đạo hàm lưới “xấp xỉ” được đạo hàm thường

2.1.4 Quy ước viết vô cùng bé

Khái niệm xấp xỉ liên quan đến khái niệm vô cùng bé Để viết các vô cùng bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng qui ước sau đây:

Giả sử đại lượng  h là một vô cùng bé khi h 0 Nếu tồn tại số   0 và hằng số M  0 sao cho:    h  Mh thì ta viết:  h O h 

Cách viết như trên có nghĩa là: khi h nhỏ thì  h là một đại lượng nhỏ và khi 0

h  thì  h tiến đến số 0 không chậm hơn Mh 

2.1.5 Công thức Taylor

Giả sử F x( ) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m 1 trong một khoảng ( , )  chứa x và x   , x  x có thể âm hay dương Khi đó ta có công thức khai triển:

c  x   với  x 0    1 Ta giả thiết thêm:

F  x M const x    Khi đó

m

x

F c K x m

2.1.6 Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới

Giả sử hàm u x đủ trơn Theo công thức Taylor ta có:  

i i

 1    2

1 2

2.2 Một số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp một

2.2.1 Thuật toán Euler

Xét bài toán Cauchy, hay còn gọi là bài toán giá trị ban đầu: Tìm y x( ) thỏa mãn điều kiện: