Tính diện tích của thiết diện này theo a.. Thi ết diện h ình gì?. Ch ứng minh. Tìm x để thiết diện có diện tích lớn nhất.. Tính kho ảng cách giữa hai đường thẳng BM v à CD.. b) Tín[r]
Trang 1Bài 1:1) Tính các giới hạn sau
a)
2 2 2
lim
4
x
x
2
lim
3 2
x
x
2) Cho hàm số 3 2
yx x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho biết tiếp tuyến song song đó với đường thẳng d: 9x y 5 0 (1 điểm)
Bài 2:
Cho hàm số
2
2 2
x
khi x x
a
1) Chứng tỏ hàm số f(x) liên tục tại x = 2 với mọi số thực a (1 điểm)
2) Xác định tất cả các số thực a để hàm số f(x) liên tục trên toàn tập xác định (1 điểm)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SB (ABCD), SB = 3a Trên cạnh
AD lấy điểm M (M A M; D)
2) Xác định và tính góc giữa SA và mp(SBD) (0,5 điểm)
3) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M đồng thời song song với DC và SB Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P) Thiết diện đó là hình gì? (1 điểm )
Bài 4: Tìm bốn số nguyên lập thành một cấp số cộng, biết tổng của bốn số đó bằng 8 và tích của bốn số
đó bằng 15
Bài 5 Tính giới các hạn sau: a)
2 2 1
lim
x
b)
3
1 2 lim
3
x
x x
Bài 6 Xét sự liên tục của hàm số sau trên R:
Bài 7 Cho tứ diện SABC có tam giácABC đều cạnh a, SA (ABC), SA =
2
a
Gọi I là trung điểm của cạnh BC
a) Chứng minh: BC mp(SAI)
b) Tính góc giữa mp (ABC) và mp(SBC) Từ đó suy ra diện tích tam giác SBC
Bài 8
Cho hàm số:
Với giá trị nào của a thì f '(1) 2
Bài 9 Chứng minh rằng phương trình x4 – x – 3 = 0 có nghiệm xo (1; 2) và xo > 7
12
nếu x 2 nếu x =2
3 ( )
5
x
f x
nếu x 0 nếu x < 0
2007 2008
( 3) ( ) a a
f x
x
Trang 2Câu 10 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) 2
1
1
3 2
lim
x
x
b) 4 2
lim
x
c) lim( 1 )
x
d) 2
lim
x
x
Câu 11 Cho hàm số: 3
2
x x
f x x
a) Tính
2 ( )
lim
x
f x
b) Tìm a để hàm số liên tục trên R
f x x x x a) Tính đạo hàm của hàm số trên R
b) b) Giải bất phương trình f x '( ) 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ bằng -5
Câu 13 Cho hàm số f(x)=sinx(1+cosx)
a) Tính đạo hàm của hàm số trên R
b) Giải phương trình f’(x)=0
Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD),góc SBA bằng 300 a) Chứng minh SBC là tam giác vuông
b) Chứng minh (SAB) (SAD)
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB
d) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DC Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAN), (SAM)
BÀI 15 : Tính các giới hạn sau
a (1đ)
3 7
2 lim
2
x
x
x
b ( 1đ )
x
x x x
1 4
lim
2
BÀI 16
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) =
2
5 4
2
x
x x
tại điểm có hoành độ x0= 0
BÀI 17 Cho hàm số f(x) = 3x3 x2 2 3 và g(x) = 3
2 2
2 3
x
x Giải bất phương trình f /( x ) g/( x )
BÀI 18: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a (1đ)
x
x x y
cos 1
sin cos
b ( 1đ ) (23x).( x1)
x
y
Trang 3BÀI 19 Cho hình chóp SABC có SA (ABC) tại A và ABC vuông tại B Xác định góc giữa hai mặt
phẳng (ABC) và (SBC)
BÀI 20 : Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I
là trung điểm của cạnh BC
a.(1,5đ) C/m: BC AD
b (1đ) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI C/m AH (BCD)
Câu 21 Tìm a để hàm số:
3 1
5 4 )
(
2
ax x
x x x
f liên tục trên R
Câu 22: Gọi (C) là đồ thị của hàm số:
x
x
2
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó song
song với đường thẳng 3x – y – 1 = 0
Câu 23 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng
đáy, SA =a 2
a) ( 1 điểm )Chứng minh (SAB) vuông góc (SBC)
b) ( 1 điểm )Tính khoảng cách giữa : AD và SC
c) ( 1 điểm )Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(P)
Bài 24Xét tính liên tục của hàm sốyf x tại x 0 0, biết
sin 2
nÕu 0
x
x
Bài 25a) Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số u n víi u n n 2
n
b) Tìm giới hạn sau: 2
2
lim
4
x
x x
Bài 26 Cho cấp số cộng 4 9
7 10
29
íi
41
n
Tính u20 và S16
Bài 27 Cho hàm số
2
2 3 1
x
có đồ thị là (C) a) Giải bất phương trình y’ > 2
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường 5x – y + 12 = 0
Bài 28 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a) Chứng minh AC (BB D D' ' )
b) Chứng minh rằng BD' ( 'B AC)
c) Chứng minh rằng (B’AC) // (DA’C’)
nếu x 1 nếu x 1
Trang 4Câu 29 Tính các giới hạn sau :
1 (1đ)
2 1
1 4 lim
x
L
x
2sin sin 2 lim
x
L
x
Câu 30 1 (1đ) Cho hàm số :
2 3
1 víi 1
1 víi 1
x
x
f x x
(m là tham số)
Tìm m để hàm số f liên tục tại x 1
2 (1đ) Cho phương trình : 2008 2009 2
1m x 1 x x 3 0 (m là tham số) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
Câu 31
1 (1đ) Cho hàm số f x( )x x2 1 Chứng minh rằng : f x'( )0, x
2 (1đ) Cho hàm số ( ) 1 4
1 tan
f x
x
Tính f' 3
3 (1đ) Cho hàm số 2 1
2
x y x
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1
5
y x
Câu 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a
Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đoạn SO 3
2
a
1 (1đ) Gọi là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) Tính cos
2 (1đ) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau
3 (1đ) Gọi (P) là mặt phẳng chứa AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Xác định
thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) Tính diện tích của thiết diện
này theo a
Bài 33
Tính các giới hạn sau:
a) lim
1
) 5 7 (
13 8 3 2
2 2
n n n n
n
b)
5 3 3
1 4 3 lim
2
x x
x
5 0
2 cos 2
cos
lim
x
x x
x
Bài 34
Trang 5a) Tính đạo hàm của hàm số sau: .cos3 .
2
3
y
b) Cho hàm số y=
x
x x
x
cot 1
sin tan
1
1 ) 4 ( ' )
Bài 35
Cho hàm số y= 2x3 + x2 + x + 1, có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với (d): 5x – 6y – 5 = 0 b) Chứng minh trên đồ thị (C) không có hai điểm nào mà tiếp tuyến với đồ thị (C) tại hai điểm đó vuông góc với nhau
Bài 36 Cho hàm số y= f(x)=
1 2
/ /
x
x
Chứng minh hàm số này liên tục tại x= 0 nhưng không có đạo hàm tại x= 0
Bài 37
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC= AD= 5, AB= 12, BC= 13
a) Vẽ đoạn vuông góc chung của AD và BC Tính d(AD; BC)
b) Tính d(A; (BCD)
Bài 38 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Lấy điểm M trên cạnh DC và điểm N
trên cạnh BB’ sao cho DM= BN= x, 0 < x < a
a) Chứng minh CD’ vuông góc với AC’ và mặt phẳng (A’BD) vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’) b) Chứng minh AC’ vuông góc với MN
Câu 39: Tính a)
2
3 2 2 3
2
x x
x
b)
2 2 2
5 3
5
x
x
Câu 40: a) Cho hàm số y = f(x) =2x3 -3 x2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1/2 ;3/2)
b) Chứng minh rằng : phương trình 2sin3x + (m+1)cos5x -1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở A , AB = a, CA = 2a, và cạnh bên SA
vuông góc với mặt đáy, SA = 2a Gọi M là một điểm nằm trên đoạn AB.Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB
a) C/m: mặt phẳng (P) song song với mp(SAC),
b) C/m: AC SM
c) Tính góc giữa SA và mp(SBC)
Trang 6Câu 42/Cho hàm số : y = f ( x ) =
2
x+1 3 khi x > 2
m
Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2
Câu 43/ Cho hàm số y = f( x) = x4 – 2x2 + 2 có đồ thị là đường cong (C)
a/ Tính f ’(2)
b/ Viết phương trình tiếp tuyến d của đường cong (C) tại điểm M ( 0 ; 2)
c/ Tìm x sao cho f ’(x) < 24
Câu44 /Cho hình chóp S.ABC có các mặt (SAB), (ABC) lần lượt là các tam giác cân tại S và C Gọi I
là trung điểm của cạnh AB
a/ Chứng minh AB SC
b/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IC Chứng minh SH (AIC)
Câu45 /Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có các hệ số a, b, c thỏa mãn điều kiện 2a + 3b + 6c = 0 Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm x0 với 0 0 2
3
x
Câu 46 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y =x3-1 trên b) y = 1
2
x trên ; 2 2;
Câu 47 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 2
2
x
Câu 48 Tính giới hạn sau: 2
0
1 cos 5 lim
x
x x
Câu 49 Cho hàm số: y = f(x) = x3-3x+5 có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ x=-2
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-11)
Câu 50 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có các cạnh bên SB=SD=a Chứng
minh:
a) Mp(SAC) vuông góc với mp(ABCD)
b) Tam giác SAC vuông
Câu 51 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y =(2x-1)(3x+ 2)
b) y = (1x2) os2xc
Trang 7Câu 52 Tính giới hạn sau:
a)
3 2 2
8 lim
4
x
x x
2 1 lim
2
x
x x
f x x x có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ x=-1
Câu 54 Cho hàm số
2
( )
2
f x
x
Hãy giải bất phương trình f x '( ) 0
Câu 55 Cho hình tứ diện ABCD, biết tam giác BCD vuông tại C và ABBCD Chứng minh rằng:
a) BCA là góc giữa hai mp (BCD) và (ACD)
b) Mp(BCA) vuông góc với mp(CDA)
Câu 56
a) Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' của hàm số y = x
cos2x (1,0 điểm) b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 3
y = f(x) = 2x + 3x 1 tại giao điểm của (C) với trục tung (1,0 điểm)
Câu 57 Tính:
x 1
2x x + 3 lim
x 1
Câu 58 Cho hàm số
4
x 8x
ˆ
ne u x < 2 f(x) = x 2 (a R)
ˆ
ax + 1 ne u x 2
Xác định giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên tập xác định của nó
Câu 59 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và O là tâm
của nó Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = a 6
2 Gọi M là trung điểm của CD
a) Chứng minh rằng CD mp(SMO) (1,25 điểm)
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD); tính theo a khoảng cách từ điểm
Câu 60
a) Cho hàm số y = xsinx Chứng minh rằng: 2(y' sinx) x(y'' + y) = 0 (1,0 điểm)
b) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số
(1 m )x 3x 1 = 0 (1,0 điểm)
Câu 61 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, BC = b, CC1 = c
Chứng tỏ rằng tất cả các đường chéo của hình hộp đều bằng nhau và tính độ dài của
các đường chéo đó Từ đó suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh a
Trang 8Câu 62
a) Cho dãy số (un) với
n 1
( 2) u
3
Chứng tỏ (un) là một cấp số nhân Hãy tính
b) Cho hàm số
ˆ
ne u x 0
ˆ
m ne u x = 0
Xác định m để hàm số f có đạo hàm tại điểm x 0 Khi đó tính đạo hàm của hàm số
Câu 63 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính góc giữa hai mặt
phẳng (AB'C') và (AC'D')
Câu 64 Tìm các giới hạn sau:
1.2.3 2.3.4 n n( 1)(n 2)
0
lim
3
x
x
0
sin
x
x x
Câu 65 Cho hàm số
3 2
2
27
6 ( )
x
x
f x
Xác định a, b để hàm số liên tục trên
với mọi giá trị của m
Câu 67 Tính đạo hàm của hàm số:
3 2
2 ( )
1
y f x
x x
Câu 68 Cho hàm số ( ) 1
1
x
y f x
x
với x < 1 Tìm x để f '( )x 1 x
Câu 69 Cho hình tứ diện ABCD, có ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, góc 0
60
BAC , AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AD = a 3 M là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a) Gọi ( ) là mặt phẳng qua M và song song với AD, BC
a/ Chứng minh rằng: BC (ABD)
b/ Gọi H là hình chiếu của A lên BD Chứng minh rằng: AH CD
c/ Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với ( ) Thiết diện hình gì? Chứng minh
d/ Tính diện tích thiết diện theo a và x Tìm x để thiết diện có diện tích lớn nhất
Bài 70 Tìm các giới hạn sau :
xlim ( x 3x x 2)
b/
2
x 2
lim
2
x
c/
2
xlim ( 4- x 5x 3 2x 1)
Trang 9Bài 71
a/ Cho hai hàm số y f x( )2xx 4x25 , y g x ( ) tan (sin )2 x
Tính f ‘(1) và g’(0)
b/ Giải phương trình y’’= -36 , biết rằng y = cos(6 )
4
x
Bài 72 Cho hàm số
2
1
y
x
a/ Tìm các khoảng của x để y ’ > 0
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 3
3
y f x x mx m x với m là một tham số thực
a/ Khi m = 1 , hãy tính y ''(1)
b/ Với giá trị nào của m thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho ba số
1 , 7 , x 2
x lập thành một cấp số nhân hữu hạn theo thứ tự đó
Bài 74 Với giá trị nào của a thì hàm số
2
4 3 khi x 3
a + 3x khi x = 3
liên tục tại x = 3
Bài 75Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB = a ; AD = 2a ; SA = 2a
SA (ABCD) ( với a > 0) , M là trung điểm của SD
a/ Chứng minh rằng : (SAM) (SCD) Tính AM
b/ Tính góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD)
c/ Mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng AM và vuông góc với SD Mặt phẳng (Q) cắt SC tại điểm N Chứng minh rằng : Bốn điểm A , M , N, B đồng phẳng và MN // (ABCD)
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và CD
Bài 76 Gọi S là tổng các hệ số của đa thức sau :
99
2 x 4x 8x 2 x x Hãy so sánh tổng S với số 2
Câu 77
a) Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' của hàm số y = x
cos2x (1,0 điểm) b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 3
y = f(x) = 2x + 3x 1 tại giao điểm của (C) với trục tung (1,0 điểm)
Câu 78 Tính:
x 1
2x x + 3 lim
x 1
Câu 79 Cho hàm số
4
x 8x
ˆ
ne u x < 2 f(x) = x 2 (a R)
ˆ
ax + 1 ne u x 2
Xác định giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên tập xác định của nó
Trang 10Câu 80 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và O là tâmcủa nó Đường thẳng
SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = a 6
2 Gọi M làtrung điểm của CD
a) Chứng minh rằng CD mp(SMO) (1,25 điểm)
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD); tính theo a khoảng cách từ điểm O tới mp(SCD)
Câu 81a) Cho hàm số y = xsinx Chứng minh rằng: 2(y' sinx) x(y'' + y) = 0 (1,0 điểm)
b) CMR phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số thực m:(1 m )x 2 20093x 1 = 0
Câu 82 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, BC = b, CC1 = c
Chứng tỏ rằng tất cả các đường chéo của hình hộp đều bằng nhau và tính độ dài của
các đường chéo đó Từ đó suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh a
Câu 83
a) Cho dãy số (un) với
n 1
( 2) u
3
Chứng tỏ (un) là một cấp số nhân Hãy tính lim(u1u2 u )n
b) Cho hàm số
ˆ
ne u x 0
ˆ
m ne u x = 0
Xác định m để hàm số f có đạo hàm tại điểm x 0 Khi đó tính đạo hàm của hàm số
Câu 84 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính góc giữa hai mặt
phẳng (AB'C') và (AC'D')
Câu 85 Tìm các giới hạn sau:
3 2
2
2 lim
x
Câu 86 Cho hàm số 2
2
2 2 khi x>2 4
x 1 khi x 2
x
a
Tìm a để hàm số f x liên tục tại điểm x 2
2 4 3
f x x x
a) Tìm x sao cho f x 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
2x y 5 0
Câu 87 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , có cạnh SAa và SA vuông
góc với mặt phẳngABCD Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB
và SD
a) Chứng minh BC SAB và SCAHK
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD