Một số dạng toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Trang | 11 Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những gi[r]

MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1 Kiến thức cần nhớ

Công thức tích phân từng phần:

 

b a

udv uv  vdu

Ví dụ: Tính tích phân

2

1

ln

I  tdt

Giải:

dt

t

dv dt

v t





Khi đó

2

1

I t t dt t t t  

2 Một số bài toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit

n

m

f x ax b dx

Phương pháp:

ax b

dv f x dx

v f x dx

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức   ln 

n m

f x ax b dx uv  vdu

Ví dụ: Tính tích phân

1

ln d

e

I x x x

Giải:

2

dx du

v

 







Khi đó

1



Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ

Tính tích phân n   ax b

m

f x e  dx

Phương pháp:

1

du f x dx

u f x

a







- Bước 2: Tính tích phân theo công thức n   ax b n n

m

f x e  dxuv  vdu

0

I  x e x

Giải:

dv e dx v e



0

I  x e  e dx x e  e  e

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức

n

m

f x ax b dx

n

m

f x ax b dx

Phương pháp:

 

1

du f x dx

u f x

a



 

 

 

1

du f x dx

u f x

a



 

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức   sin 

n m

f x ax b dx uv  vdu

  cos 

n m

f x ax b dx uv  vdu

Ví dụ: Tính tích phân

4

0 sin 2 d





Giải:

sin 2

2

du dx

u x

x









Khi đó

4



Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ

n

ax b

m

e  cxd dx

n

ax b

m

e  cx d dx

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt

sin

ax b

u e



 



ax b

u e



 





- Bước 2: Tính tích phân theo công thức

n m

udvuv  vdu

Ví dụ: Tính

0

cos 2 d

x





Giải:

dv e dx v e



0



Tính

0

sin 2

x





dv e dx v e



0





Khi đó   1

5

e



- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần

- Ở bước 1, ta cũng có thể đặt

sin

ax b

u e



 



ax b

u e



 





3 Bài tập

Câu 1: Tích phân 1   2  

0

ln 1

A I 2 1 ln    2 1  

B I 2 1 ln   2 1 

C I  2 1 ln   2 1 

D I  2 1 ln   2 1 

Câu 2: Tích phân







4

0 1 cos

x

x có giá trị là:

tan 2ln cos

tan 2ln cos

I

tan 2ln cos

tan 2ln cos

I

Câu 3: Tích phân









4

0

2 sin

2 2 cos

x có giá trị là:

4ln 2 ln 2

2ln 2 ln 2

I

4ln 2 ln 2

2ln 2 ln 2

I



0

cos 1 cos

A   1

4 3

4 3

4 3

4 3

I

Câu 5: Tích phân





0

1 3 sin cos

a

Giá trị của alà:

 

2

 

4



3



6

a

Câu 6: Tích phân









2

3

sin sin cos

x

  ln 3 1 

12

ln

3 1 ln

2

ln

I

Câu 7: _

I

I

Câu 8: Tích phân











2 2 4

2 cos sin

I

I



 32 1

ln

3 2 3

a

x

Câu 10: Biết tích phân 1 1 

0

2

I xdx a Giá trị của 2 2  

a

A 2 17

3

3

3

3

I

ĐÁP ÁN Câu 1:

Phân tích:

0

ln 1



2

2

1

ln 1

1

x



1

1 2

2

0 0

1

x

x



1

x

x

Đặt t x 2    1 dt 2xdx

Đổi cận        01 21

 

1 1

1 1

2 1 2

1

0

Đáp án đúng là A

Câu 2:

Phân tích:

Tích phân







4

0 1 cos

x

x có giá trị là:

Ta biến đổi:



4 4

2

1

2

x

Đặt

2

cos 8

4

0

sin

cos 2

x

Đáp án đúng là B

Câu 3:

Phân tích:

Tích phân











2

3

2 sin

2 2 cos

x có giá trị là:

Ta biến đổi:



Xét



2 2

1

2

1

1 cos 2 sin

2

x

Đặt

 

 

1

2 cot

2

u x

du dx

v





2

2 1

Xét









2

2

3

1 sin

2 1 cos

x

Đặt t  1 cosxdt sinxdx

Đổi cận



   



1

1 2

 

1 1

2

1

1 2

2

  

1 2

4ln 2 ln 2

Đáp án đúng là C

Câu 4:

Phân tích:



0

cos 1 cos

1 3

t

với t sinx

Đáp án đúng là D

Câu 5:

Phân tích:

Tích phân





0

sin cos

a

Giá trị của alà:

Ta có:













sin cos 2

1, sin cos cos sin

sin cos

a a a

1

casio a

Đáp án đúng là C

Câu 6:

Phân tích:

Tích phân









2

3

sin sin cos

x

Xét









2

1

3

cos sin cos

x

Ta có:

















  











2

2 3 3

1

3 1

1 3

2 2

ln

2 , sin cos

1

t

Đáp án đúng là C

Câu 7:

Phân tích:

Tích phân







3

0

sin 2 cos cos 3

x

1 2

2

1

với t cosx

Đáp án đúng là C

Câu 8:

Phân tích:

Tích phân











2 2 4

2 cos sin

Ta có:



2

2

1

2

2

sin

t

Đáp án đúng là B

Câu 9:

Phân tích:

Tích phân   



 32 1

ln

3 2 3

a

x

Ta có:

 



3

3

3

3

t

3

Đáp án đúng là B

Câu 10:

Phân tích:

Biết tích phân 1 1 

0

2

I xdx a Giá trị của 2 2  

a

Ta có:

2

0

a

Đáp án đúng là C

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí