[r]
Trang 1ĐỀ SỐ 1
Câu 1: Cho biểu thức D =
ab
b a ab
b a
1
ab
ab b a
1
2 1
a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D b) Tính giá trị của D với a =
3 2
2
c) Tìm giá trị lớn nhất của D
Câu 2: Cho phơng trình
3 2
2
x2- mx +
3 2
2
m2 + 4m - 1 = 0 (1) a) Giải phơng trình (1) với m = -1
b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn 1 2
2 1
1 1
x x x
x
Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b,
) 90
(
A Chứng minh rằng AI =
c b
Cos bc
2
(Cho Sin2 2SinCos)
Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và một điểm N di động trên một
nửa đờng tròn sao cho N A N B.Vễ vào trong đờng tròn hình vuông ANMP
a) Chứng minh rằng đờng thẳng NP luôn đi qua điểm cố định Q
b) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp
c) Chứng minh đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1
Hãy tính giá trị của:
B = xy z zx y xyz x
Trang 2ĐỀ SỐ 2
Bài 1: Cho biểu thức A =
2
1
1 4( 1)
x
a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn A
Bài 2 : Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)
a) Viết phơng tình đờng thẳng AB
b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M
Bài 3 : Tìm tất cả các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:
x2 - m2x + m + 1 = 0
có nghiệm nguyên
Bài 4 : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua
A và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D Đờng tròn này cắt AB và AC lần lợt tại E và F Chứng minh
a) EF // BC
b) Các tam giác AED và ADC; àD và ABD là các tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2
Bài 5 : Cho các số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 x3 + y4 Chứng minh:
x3 + y3 x2 + y2 x + y 2
ĐỀ SỐ 3
Câu 1: x- 4(x-1) + x + 4(x-1) 1
cho A= ( 1 - )
x2- 4(x-1) x-1
a/ rút gọn biểu thức A
b/ Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Câu 2: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình
x2-(m+5)x-m+6 =0
Có 2 nghiệm x1 và x2 thoã mãn một trong 2 điều kiện sau:
a/ Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị
b/ 2x1+3x2=13
Câu 3Tìm giá trị của m để hệ phơng trình
mx-y=1
m3x+(m2-1)y =2
vô nghiệm, vô số nghiệm
Câu 4: tìm max và min của biểu thức: x 2 +3x+1
x2+1
Câu 5: Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc
450 Một tia cắt cạnh BC tại E cắt đờng chéo BD tại P Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đờng chéo BD tại Q
Trang 3b a
I
C B
A
2
2
a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đờng tròn
b/ Chứng minh rằng: SAEF=2SAQP
c/ Kẻ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M tính số đo góc MAB biết CPD=CM
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1
Câu 1: a) - Điều kiện xác định của D là
1 0
ab b
- Rút gọn D
ab
a b a
1
2
2
:
ab
ab b a
1
D =
1
2
a
a
1
3 2 ( 2 3
2
2 3 2 1 3 2
2
3 2 2
c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có
1 1
2 a a D
Vậy giá trị của D là 1
Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) 0 2 9 0
2
9 2
10 1
10 1
2
1
x
x
b) Để phơng trình 1 có 2 nghiệm thì
4
1 0
2 8
+ Để phơng trình có nghiệm khác 0
2 3 4
2 3 4
0 1
4 2
1
2 1 2
m m
m m
(*)
+
0 1
0 0
) 1 )(
( 1
1
2 1
2 1 2
1 2 1 2 1 2
x x x
x x x x
x
x
x
19 4
19 4
0
3
8
2
2
m
m
m
m
Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = 0 và m 4 19
Câu 3:
2
2
cSin AI
SABI
2
2
bSin AI
SAIC
2
1
bcSin
SABC
AIC ABI
ABC S S
S
Trang 41 2
1
2 1
F
I
Q P
N
M
B A
c b
bcCos
c b Sin
bcSin
AI
c b AISin
bcSin
2 2
) ( 2
) ( 2
Câu 4: a) N ˆ1 Nˆ2Gọi Q = NP (O)
QA QB
Suy ra Q cố định
b) Aˆ1 Mˆ1( Aˆ2)
Tứ giác ABMI nội tiếp
c) Trên tia đối của QB lấy điểm F sao cho QF = QB, F cố định
Tam giác ABF có: AQ = QB = QF
ABF vuông tại A Bˆ 45 0 A FˆB 45 0
Lại có Pˆ1 450 AFBPˆ1 Tứ giác APQF nội tiếp
A PˆF A QˆF 90 0
Ta có: A PˆFA PˆM 90 0 90 0 180 0
M1,P,F Thẳng hàng
Câu 5: Biến đổi B = xyz
2 2
2
1 1 1
z y
xyz xyz
ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Bài 1:
a) Điều kiện x thỏa mãn
2
1 0 4( 1) 0 4( 1) 0 4( 1) 0
x
1 1 1 2
x x x x
x > 1 và x 2
KL: A xác định khi 1 < x < 2 hoặc x > 2
b) Rút gọn A
A =
2
1 ( 2)
x x
Trang 5A = 1 1 1 1. 2
Với 1 < x < 2 A = 2
1 x
Với x > 2 A = 2
1
x
Kết luận
Với 1 < x < 2 thì A = 2
1 x
Với x > 2 thì A = 2
1
x
Bài 2:
a) A và B có hoành độ và tung độ đều khác nhau nên phơng trình đờng thẳng
AB có dạng y = ax + b
A(5; 2) AB 5a + b = 2
B(3; -4) AB 3a + b = -4
Giải hệ ta có a = 3; b = -13
Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = 3x - 13
b) Giả sử M (x, 0) xx’ ta có
(x 5) (0 2)
(x 3) (0 4)
(x 5) 4 (x 3) 16
(x - 5)2 + 4 = (x - 3)2 + 16
x = 1
Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0)
Bài 3:
Phơng trình có nghiệm nguyên khi = m4 - 4m - 4 là số chính phơng
Ta lại có: m = 0; 1 thì < 0 loại
m = 2 thì = 4 = 22 nhận
m 3 thì 2m(m - 2) > 5 2m2 - 4m - 5 > 0
- (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + 4
m4 - 2m + 1 < < m4
(m2 - 1)2 < < (m2)2
không chính phơng
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm
Bài 4:
2
EADEFD sd ED (0,25)
2
FADFDC sd FD (0,25)
mà EDA FAD EFDFDC (0,25)
EF // BC (2 góc so le trong bằng nhau)
b) AD là phân giác góc BAC nên DE DF
F E
A
B
C D
Trang 6sđ 1
2
ACD sđ(AED DF ) = 1
2sđAE = sđADE
do đó ACDADE và EAD DAC
DADC (g.g)
Tơng tự: sđ 1 1 ( )
ADF sd AF sd AFD DF = 1( )
2 sd AFD DE sd ABD
ADFABD
do đó AFD ~ (g.g
c) Theo trên:
+ AED ~ DB
AE AD
AD AC hay AD2 = AE.AC (1) + ADF ~ ABD AD AF
AB AD
AD2 = AB.AF (2)
Từ (1) và (2) ta có AD2 = AE.AC = AB.AF
Bài 5 (1đ):
Ta có (y2 - y) + 2 0 2y3 y4 + y2
(x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3)
mà x3 + y4 x2 + y3 do đó
x3 + y3 x2 + y2 (1) + Ta có: x(x - 1)2 0: y(y + 1)(y - 1)2 0
x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 0
x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y 0
(x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4)
mà x2 + y3 x3 + y4
x2 + y2 x + y (2)
và (x + 1)(x - 1) 0 (y - 1)(y3 -1) 0
x3 - x2 - x + 1 + y4 - y - y3 + 1 0
(x + y) + (x2 + y3) 2 + (x3 + y4)
mà x2 + y3 x3 + y4
x + y 2
Từ (1) (2) và (3) ta có:
x3 + y3 x2 + y2 x + y 2
ĐÁP ÁN ĐỀ 3
Câu 1: a/ Biểu thức A xác định khi x≠2 và x>1
( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 x-2
A= ( )
(x-2)2 x-1
x- 1 -1 + x-1 + 1 x- 2 2 x- 1 2
= = =
x-2 x-1 x-1 x-1
Trang 71 1
Q
P M
F
E
B A
b/ Để A nguyên thì x- 1 là ớc dơng của 1 và 2
* x- 1 =1 thì x=0 loại
* x- 1 =2 thì x=5
vậy với x = 5 thì A nhận giá trị nguyên bằng 1
Câu 2: Ta có ∆x = (m+5) 2 -4(-m+6) = m 2 +14m+1≥0 để phơng trìnhcó hai
nghiệmphân biệt khi vàchỉ khi m≤ -7-4 3 và m≥-7+4 3 (*)
a/ Giả sử x2>x1 ta có hệ x2-x1=1 (1)
x1+x2=m+5 (2)
x1x2 =-m+6 (3)
Giải hệ tađợc m=0 và m=-14 thoã mãn (*)
b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1’)
x1+x2 = m+5(2’)
x1x2 =-m+6 (3’)
giải hệ ta đợc m=0 và m= 1 Thoả mãn (*)
Câu 3: *Để hệ vô nghiệm thì m/m3=-1/(m2-1) ≠1/2
3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0
3m2-1≠-2 3m2≠-1 m=±1/2 m=±1/2
∀m
*Hệvô số nghiệm thì: m/m3=-1/(m2-1) =1/2
3m3-m=-m3 m=0
3m2-1= -2 m=±1/2
Vô nghiệm
Không có giá trị nào của m để hệ vô số nghiệm
Câu 4: Hàm số xác định với ∀x(vì x2+1≠0) x2+3x+1
gọi y0 là 1 giá trịcủa hàmphơng trình: y0=
x2+1
(y0-1)x2-6x+y0-1 =0 có nghiệm
*y0=1 suy ra x = 0 y0 ≠ 1; ∆’=9-(y 0 -1) 2≥0 (y0-1)2≤ 9
suy ra -2 ≤ y0 ≤ 4
Vậy: ymin=-2 và y max=4
Câu 5: ( Học sinh tự vẽ hình)
Giải
a/ A1 và B1 cùng nhìn đoạn QE dới một góc 450
tứ giác ABEQ nội tiếp đợc
FQE = ABE =1v
chứng minh tơng tự ta có FBE = 1v
Q, P, C cùng nằm trên đờng tròn đờng kinh EF
b/ Từ câu a suy ra ∆AQE vuông cân
AE
AQ = 2 (1)
tơng tự ∆ APF cũng vuông cân
AF
AB = 2
(2)
từ (1) và (2) AQP ~ AEF (c.g.c)
Trang 8AQP
S
S = ( 2 )2 hay SAEF = 2SAQP
c/ Để thấy CPMD nội tiếp, MC=MD và APD=CPD
MCD= MPD=APD=CPD=CMD
MD=CD ∆MCD đều MPD=600
mà MPD là góc ngoài của ∆ABM ta có APB=450 vậy MAB=600
-450=150