Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 - Trường THPT Liễn Sơn

lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tíc[r]

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

ĐỀ THI HSG LỚP 10 MÔN TOÁN

2) Cho các nửa khoảng A  ( a a ;  1] , B  [ ; b b  2). Đặt C   A B Với điều kiện nào của

các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó

Câu II (2,0 điểm)

1) Tìm m để phương trình x2   1 m4  m2  1 có bốn nghiệm phân biệt

2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình:  1  2

1 2

m x

m x

MC   MB và NB   2 NA Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau

2) Cho tam giác ABC Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A ', '

B và C '. Gọi Sa, Sb, Sc và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB C ' ', BC A ' ', CA B ' ' và

ABC Chứng minh bất đẳng thức 3

2

2) Cho các nửa khoảng A(a a; 1], B[ ; b b2) Đặt C A B Với điều kiện nào của các

số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó 1,5 đ

CâuII

1) Tìm m để phương trình x2 1 m4m21 có bốn nghiệm phân biệt

2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình:  1 2

12

m x

(1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m vì m4m2 2 0

(2) có 2 nghiệm phân biệt  m0 và 1m20  m ( 1; 1) {0}\ 0,25

PT có 4 nghiệm phân biệt  m ( 1;1) {0}\ và m4m2 2 m2m4 0,25

x m x



Nếu m = 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi x  2 0,25

Nếu m > 0 thì m + 2 > 2 nên BPT nghiệm đúng với mọi x ( ; 2)(m 2; ) 0,25

Nếu m < 0 thì m + 2 < 2 nên BPT nghiệm đúng với mọi x ( ;m 2) (2;) 0,25

MC  MB và NB 2NA Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau

2) Cho tam giác ABC Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A',

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi) Gọi A và B

lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc

với đường tròn đó Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất 1,0 đ

Kết hợp với (*) và (**): dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b R 2 0,25

Kết luận: AR 2;0 ; B 0;R 2 (4 cặp điểm)

0,25

2 ĐỀ SỐ 2

Câu 1 (2.5 điểm) Cho phương trình :  2  2 

a Giải phương trình (1) với m  5

b Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x2  6 x   7 0

Câu 2 (1.0 điểm) Giải phương trình : x4  x2   4 x4  20 x2   4 7 x

Câu 3 (1.0 điểm) Giải bất phương trình : 3 x2 2 x  15  3 x2 2 x   8 7

Câu 4 (1.5 điểm) Giải hệ phương trình :

Câu 6 (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A   1;3  Gọi D là điểm trên

cạnh AB sao cho AB  3 AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD Điểm 1 ; 3

Vậy giá trị m cần tìm là m    1;5 

0.5

Giải phương trình : x4  x2   4 x4 20 x2   4 7 x

Hệ phương trình

2

2

3 3

1

6 6

y x

Kẻ Ax song song BC, gọi E  CD  Ax, I là trung điểm của BC

Ta có tam giác DAE đồng dạng tam giác DBC

 là hình chữ nhật AEBI nội tiếp đường tròn đường kính EI

Ta có IM song song BH IM  CD  AEIM nội tiếp đường tròn đường kính EI AEBM nội tiếp đường tròn đường kính EI

H

090

3 ĐỀ SỐ 3

Câu 1: (6 điểm) Cho f ( x )  x2  2  m  1  x  m  1

a) Tìm điều kiện của m để phương trình: f ( x )  mx  m2  1 có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm điều kiện của m để bất phương trình: f x 0 nhận mọi x  R làm nghiệm

3

1 1

2

2

x y

x y

x y

x y y

xy

Câu 3: ( 6 điểm )

a) Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho MA   2 MC, N thuộc BM sao cho

NM

NB3 , P thuộc BC sao cho PBk.PC Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD Giả sử

 1;3 

H  , phương trình đường thẳng AE : 4 x    y 3 0 và 5

; 4 2

Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x2  y2  1

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

322

124

xy x

.3

11

12

2

x y

x y

x y

x y y xy

71

61

y x x

x y x

y y

x y pt

11

0.5

Thay vào PT (2) ta được: 3 5 x 3 5x 4 2x7 (3) ĐK: 4 5/  x 5

So sánh điều kiện và kết luận nghiêm: 0.5

3 a) Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho MA2.MC, N thuộc

BM sao cho NB3.NM, P thuộc BC sao cho PBk.PC Tìm k để

ba điểm A, N, P thẳng hàng

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và

AD = 2BC Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo

BD và E là trung điểm của đoạn HD Giả sử H1;3, phương trình đường thẳng AE: 4x  y 3 0 và 5; 4

 

 1

2

14

1

.4

3

3

3

AC AB

AN

AN AM

AB AN

AM AN

AB NM

1

1

AC k

k AB k

41

1

h k k

h k AN

h AP

(2 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

322

124

xy x

P

Từ giả thiết suy ra: 2 2

2 2

32

23

x y xy

y xy x

1232

t t P

;10

a) Giải hệ phương trình khi m 1

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Axy2xy2012

133

)2(31

2

132

1

2

132

1

x x

x x

x x

x x

0,5

Giải (2):

2

1730

23

13

12

13

1

2 2

x x

x x

x x

Giải (3):

2

1310

3

03

03

2 2

x x

x

x x

173

)1(64

2

2 2

x y x

xy y

21

032

10

101464

y

x y

x x

y x x

x y xy y

x

x1

1,0

21

2

2

x x

Vậy BPT (1) luôn nghiệm đúng với 1 < x < 5 0,5

Theo bài ra: 2

2

2 2

c b

c

b

m

m b

c m

m b

2 2 2

m c

a   b  và

22

2 2 2

m b

a   c  Nên:

2

2

2 2 2

2 2 2

2 2

c b a

b c a b

12

2 2 2

A bc a

A bc a

a c

b a

b c a

b c a b c

cos2cos

22

2

02

10

21

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

A B

B C

C

C B

B C C

B A

C B

C B C

B

A A

A

A C B A

A C R B R A

R

cotcot

cot2sin

cossin

cos21

sinsin2

cossincos

sincot

sinsin2

sinsin

sin2

sinsin

cos

cossinsin2sin

cossin2.sin22sin

PT tham số của đường thẳng (d) :

)1(0.0

2

2 2

BC AB

u B A C

B B A

25

60

22

10

71225

65

122425

605

2

2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

t

t t

t t

45

7

C

t Vậy có 2 cặp điểm B,C thoả mãn ycbt

0,5

Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng tâm tam giác ABC

23

232

22

M G C

M G G

C

M G G

C

y y y

x x x y

y y

y

x x x

x GM

* Toạ độ điểm M được cho bởi:  1;3

32

12

M y

y y

x x x

B A M

B A M

2312

34

3

2

14

1

1  MG  HH  CH 

HH

0,5

PT đường thẳng (AB): x - 2y + 5 = 0

54

12

1

52

;

2 2

3

;425

1524

1524

0431

524

043

G

G

y x

y x

y x y

x

y x

2 2

2

2 2

24 82

24

2

c b a

P

abc P

c P b P a P P P

S

abc P

S P

S P Rr r

a c c b b a ca

bc ab c b a

2

2 3 2

x

x

1,0

)2(11

2

1

2 3

0,5

Cộng vế với vế của (1)(2)(3) ta được đpc/m 0,5

;0

)2(31

)1(1

3 3

v u

m v

u

v u

Từ (1) và (2) ta có

v u v uv u v u v

1

v u

m uv

v u

(I) có nghiệm

Dễ thấy u; v là nghiệm của phương trình t2tm0 (*)

Hệ (I) có nghiêm khi PT (*) có nghiệm không âm

0,5

4

10

0

01

041

00

t t m

t t m

3ab bc ca  3 (abc) abc1 Suy ra:

2

2 2

5 ĐỀ SỐ 5

Câu 1 ( 4 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

b) Giải phương trình sau trên tập số thực

Câu 2 (3 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Câu 3 ( 6 điểm ) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) B’ là điểm đối xứng với B qua

AC BM là trung tuyến của tam giác ABC, BM cắt (O) tại N Lấy K sao cho AKCN là hình bình hành

HM cắt (O) tại D Gọi H là trực tâm của tam giác ABC

Chứng minh rằng

a, BD, HK, AC đồng quy

b, KB’ cắt AC tại P Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC giao AB tại X khác B Đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABP giao với BC tại Y khác B Chứng minh đường tròn (BXY) đi qua điểm K

Câu 4 (4 điểm) Tìm nguyên tố thỏa mãn

Câu 5 (3 điểm) Cho 81 số nguyên dương phân biệt sao cho các ước nguyên tố của chúng thuộc tập

{2,3,5} Chứng minh rằng tồn tại 4 số trong 81 số trên mà tích của chúng là lũy thừa bậc 4 của 1 số

+ Biến đổi (1) được:

Nhận thấy là một nghiệm của phương trình

Xét Khi đó phương trình đã cho tương đương với

x   1.

S x y z S

3

a) 3 diểm

Kẻ BO cắt (O) tại B’’ Dễ chứng minh được H, M , B’’ thẳng hàng Suy ra

Có Suy ra A, H, K , C nội tiếp một đường tròn, gọi là

Xét 3 đường tròn (O), (I), (J) có 3 trục đẳng phương là AC, BD, HK Vậy ta có điều phải

chứng minh.(do tam giác ABC không cân)

1,0

b, 3 điểm ọi AY = {K’} Ta đi chứng minh K’ K

Từ đó ta có K’ K Và có điều phải chứng minh

4 Giả sử tồn tại nguyên tố thỏa mãn

5 Ta có mỗi số nguyên dương của bài có thể biểu diễn dưới dạng Xét đồng dư

modulo 2 Ta có mỗi có thể có 2 số dư khác nhau modulo 2, do đó có thể

có dạng khác nhau của các lũy thừa này

1,0

Theo nguyên lý Dirichle, có 2 số có cùng dạng số mũ, vì Ta xét tích của 2 số này

và đặt tích đó là xóa 2 số trên đi Ta tiếp tục làm như vậy thu được tương tự cho

Ta thấy các số - là số tự nhiên vì là số chính phương ( Và ta lại thấy số mũ của các

số có cùng dạng số mũ theo modulo 2 Theo nguyên lý Dirichle, ra có 2 số

thỏa mãn các thành phần của chúng có cùng số dư modulo 2 của số mũ, vì Xét tích

của và và ta được lũy thừa bậc 4, vì chúng cùng là số chính phương và cùng số dư

8 

m

a a n

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ iảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí