Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC. Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qu[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS THĂNG LONG ĐỀ THI HSG LỚP 6
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Đề số 1
Bài 1 (3điểm)
a Tính nhanh: A = 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
b Chứng minh : Với kN* ta luôn có : k k( +1)(k+ − −2) (k 1) (k k+ =1) 3.k k( + 1)
áp dụng tính tổng : S = 1.2 2.3 3.4 + + + +n n.( + 1)
Bài 2 (3điểm)
a.Chứng minh rằng : nếu (ab cd+ +eg)11 thì : abcdeg 11
b.Cho A = 2 2+ 2+23+ + 2 60 Chứng minh : A 3 ; 7 ; 15
Bài 3 (2điểm) Chứng minh : 12 13 14 1
2 +2 +2 + +2n < 1
Bài 4 (2 điểm)
a Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng
AC
b Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm Tính số giao điểm của chúng
ĐÁP ÁN Bài 1
a 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
1.5.6 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.5.6
2 1.3.5 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.3.5
b.Biến đổi :
( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) 3 ( 1)
k k+ k+ − k− k k+ =k k+ k+ − k− = k k+
áp dụng tính :
( )
( )
( )
3 1.2 1.2.3 0.1.2
3 2.3 2.3.4 1.2.3
3 3.4 3.4.5 2.3.4
3.n n 1 n n 1 n 2 n 1 n n 1
3
Trang 2Bài 2
a) Tách như sau : abcdeg 10000= ab+100cd+eg=(9999ab+99cd) (+ ab cd+ +eg)
Do 9999 11 ; 99 11(9999ab+99cd)11
Mà : (ab cd+ +eg)11 (theo bài ra) nên : abcdeg 11
b) Biến đổi :
2+2 + 2 +2 + 2 +2 + + 2 +2 =2 1 2+ +2 1 2+ + + 2 1 2+
3 2+2 + + 2 3
2+2 +2 + 2 +2 +2 + + 2 +2 +2 =
2 1 2+ +2 +2 1 2+ +2 + + 2 1 2+ +2 = ( 4 58)
7 2+2 + + 2 7
2+2 +2 +2 + 2 +2 +2 +2 + + 2 +2 +2 +2 =
2 1 2+ +2 +2 +2 1 2+ +2 +2 + + 2 1 2+ +2 +2 = ( 5 57)
15 2+2 + + 2 15
Bài 3 Ta có :
2
n n n = n −n
2 −2 3 −2 3 n n 1−n
−
12 13 14 1
2 +2 +2 + +2n < 1 1 1
n
−
Bài 4
a) Xét hai trường hợp :
*TH 1: C thuộc tia đối của tia BA
Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau B nằm giữa A và C
AC = AB + BC = 12 cm
*TH 2 : C thuộc tia BA
C nằm giữa A và B (Vì BA > BC) AC + BC = AB AC = AB - BC = 4 cm
b)
- Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm
- Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao diểm
- Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là: 10100:2=5050 giao điểm
Đề số 2
Câu 1: (2điểm)
Cho 2: tậo hợp A = n N | n (n + 1) ≤12
B = x Z | | x | < 3
a Tìm giao của 2 tập hợp
Trang 3b có bao nhiêu tích ab (với a A; b B) được tạo thành, cho biết những tích là ước của 6
Câu 2: ( 3điểm)
a Cho C = 3 + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng tỏ C chia hết cho 40
b Cho các số 0; 1; 3; 5; 7; 9 Hỏi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ sáu chữ
số đã cho
Câu 3: (3điểm)
Tính tuổi của anh và em biết rằng 5/8 tuổi anh hơn 3/4 tuổi em là 2 năm và 1/2 tuổi anh hơn 3/8 tuổi em là
7 năm
Câu 4: (2điểm)
a Cho góc xoy có số đo 1000 Vẽ tia oz sao cho góc zoy = 350 Tính góc xoz trong từng trường hợp
b Diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng các cách khác nhau
ĐÁP ÁN Câu 1: Liệt kê các phần từ của 2 tập hợp
b Có 20 tích được tạo thành
Câu 2:
a B = (3 + 32 + 33+ 34) +……+ (397+398+399+3100)
= 3 (1 + 3 + 32+33)+…….+ 397(1+3+32+33) 0,5đ
b Mỗi số có dạng: abc0 , abc5
Với abc0
- Có 5 cách chọn chữ số hạng nghìn (vì chữ số hàng nghìn không phải là số 0)
- Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm
- Có 6 cách chọn chữ số hàng chục
Vậy 5.6.6 = 180 số
Với abc5 Cách chọn tương tự và cũng có 180 số Vậy ta thiết lập được 360 số có 4 chữ số chia hết cho 5
Câu 3: 1/2 tuổi anh thì hơn 3/8 tuổi em là 7 năm Vậy tuổi anh hơn 6/8 tuổi em là 14 năm 0,5đ
Trang 4Mà 5/8 tuổi anh lớn hơn 3/4 tuổi em là 2 năm,
Câu 4:
a, Có 2 cách vẽ tia OZ (có hình vẽ)
b, Có thể diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng 3 cách khác nhau
Của đoạn thẳng A MA=MB
Đề số 3
Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý :
10 + 11 + 12 : 13 + 14
b) 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 7.8 − − 2
13 11 9
3.4.2
11.2 4 − 16
d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374)
e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1
Bài 2 : (4 điểm) Tìm x, biết:
19x + 2.5 :14 = 13 8 − − 4
b) x + ( x 1 + + ) ( x + 2 ) + + ( x + 30 ) = 1240
c) 11 - (-53 + x) = 97
d) -(x + 84) + 213 = -16
Bài 3 : (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b
Bài 4 : (3 điểm)
a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3
b) So sánh M và N biết rằng :
102 103
101 1 M
101 1
+
=
+ .
103 104
101 1 N
101 1
+
=
+
Bài 5 : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB Gọi M, N thứ tự là trung điểm của
OA, OB
a) Chứng tỏ rằng OA < OB
Trang 5b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB)
ĐÁP ÁN Bài 1
a) 10 11 12 : 13 14 100 121 144 : 169 196
365 : 365 1
2
b) 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 7.8 − − = 1.2.3 7.8 9 1 8 − − = 1.2.3 7.8 0 = 0
c)
11.2 4 16 11.2 2 2 11.2 2 2
d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374
= (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65
e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 =
= 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - 7 - 6 + 5) - (4 - 3 - 2 + 1) = 13
Bài 2
19x + 2.5 :14 = 13 8 − − 4
x 14 13 8 4 2.5 :19
x 4
=
19x + 2.5 :14 = 13 8 − − 4
x 14 13 8 4 2.5 :19
x 4
=
b) x + ( x 1 + + ) ( x + 2 ) + + ( x + 30 ) = 1240
c) 11 - (-53 + x) = 97
x 11 97 ( 53) 33
d) -(x + 84) + 213 = -16
Trang 6(x 84) 16 213
(x 84) 229
x 84 229
x 229 84 145
− + = −
Bài 3
Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :
+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:
a = 15m; b = 15n (1)
và ƯCLN(m, n) = 1 (2)
+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy ra :
BCNN 15m; 15n 300 15.20
BCNN m; n 20 (3)
+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy ra :
15m 15 15n + = 15 m 1 ( + = ) 15n + = m 1 n (4)
Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả mãn điều kiện (4)
Vậy với m = 4, n = 5, ta được các số phải tìm là : a = 15 4 = 60; b = 15 5 = 75
Bài 4
a) Biến đổi vế phải của đẳng thức, ta được :
VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c
= b + (-c) + 6 - 7 + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] = a - 1
So sánh, ta thấy : VT = VP = a - 1
Vậy đẳng thức đã được chứng minh
b) Với a > b và S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có :
S ( a b)+c ( c) (b a) (a b) S ( a b) a b
= − − − − + − + + − +
= − − − + − + + − + = − − − = +
Tính S : theo trên ta suy ra : = + S a b
* Xét với a và b cùng dấu, ta có các trường hợp sau xảy ra :
+ a và b cùng dương, hay a > b > 0, thì a + b > 0 : = + = + S a b a b
+ a và b cùng âm, hay 0 > a > b, thì a + b < 0 − + (a b) 0, nên suy ra :
= + = − + = − + −
* Xét với a và b khác dấu :
Vì a > b, nên suy ra : a > 0 và b < 0 − b 0, ta cần xét các trường hợp sau xảy ra :
Trang 7+ a b,hay a > -b > 0, do đó a + = − − b a ( b) 0, suy ra: = + = + S a b a b
+ a b, hay -b > a > 0, do đó a + = − − b a ( b) 0, hay − + ( a b ) 0 suy ra :
S a b (a b) a ( b)
= + = − + = − + −
Vậy, với : +S = + a b (nếu b < a < 0)
+ S = − + − a ( ) b (nếu b < a < 0, hoặc b < 0 < a b )
Bài 5
Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra :
OA < OB
Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên :
OM ; ON
Vì OA < OB, nên OM < ON
Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N
Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có :
OM MN ON
MN
−
Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc
vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB)
Đề số 4
Câu 1: Cho S = 5 + 52 + 53 + ………+ 52006
a) Tính S
b) Chứng minh S 126
Câu 2 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3; chia cho
6 dư 4 và chia hết cho 11
Câu 3 Tìm các giá trị nguyên của n để phân số A = 3 2
1
n n
+
− có giá trị là số nguyên
Câu 4 Cho 3 số 18, 24, 72
a) Tìm tập hợp tất cả các ước chung của 3 số đó
b) Tìm BCNN của 3 số đó
Câu 5 Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm;
OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD Tìm độ dài các đoạn BD; AC
Trang 8ĐÁP ÁN Câu 1 (2đ)
a) Ta có: 5S = 52 + 53 +54 +………+52007
5S – S = (52 + 53 +54 +………+52007) – (5 + 52 + 53 + ………+ 52006)
4S = 52007 – 5 Vậy S =
2007
4
−
b) S = (5 + 54) + (52 + 55) + (53 + 56) +……… + (52003 +52006)
Biến đổi được S = 126.(5 + 52 + 53 +………+ 52003) Vì 126 126 S 126
Câu 2 (3đ) Gọi số phải tìm là x
Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6 x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6
BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n Do đó x = 60.n – 2 (n = 1; 2; 3… )
Mặt khác x 11 lần lượt cho n = 1; 2; 3….Ta thấy n = 7 thì x = 418 11
Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418
Câu 3 (1đ) Ta có 3 2 3 3 5 3( 1) 5 3 5
Để A có giá trị nguyên 5
1
n − nguyên Mà
5 1
n − nguyên 5 (n – 1) hay n – 1 là ước của 5 Do Ư5
= 1 ; 5
Ta tìm được n = 2; n = 0; n = 6; n = -4
Câu 4 (2đ)
a) Tìm được các Ư(18); Ư (24) ; Ư(72) đúng cho 0,5đ
ƯC (18; 24; 72) = 1; 2; 3; 6
b) Ta có 72 B(18) ; 72 B(24) BCNN (18;24;72) = 72
Câu 5 (2đ)
O D B A C x
Vì A nằm giữa B và C nên BA +AC = BC BA +AC = 4 (1)
Lâp luân B nằm giữa A và D
Theo gt OD < OA D nằm giữa O và A (0,5đ)
Mà OD + DA = OA 2 + DA =5 DA =3 cm
Ta có DB + BA = DA DB +BA = 3 (2) (0,25đ)
theo đề ra : AC = 2BD thay và (3)
AC = 2BD AC = 2 cm
B
Trang 9Đề số 5
Câu 1 Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4… (-1)2010.(-1)2011
b) B = 70.(
565656
131313
+
727272
131313
+
909090
131313
)
c) C =
b
a
3
2
+
c
b
4
3
+
d
c
5
4
+
a
d
2
5
biết
b
a
3
2
=
c
b
4
3
=
d
c
5
4
=
a
d
2
5
Câu 2 Tìm x là các số tự nhiên, biết:
a)
2
1
+
x
=
1
8 +
x
b) x : (
2
1
9 -
2
3
) =
11
8 9
8 6 , 1
11
2 9
2 4 , 0
− +
− +
Câu 3
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho 34x5y chia hết cho 36
b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh
2010 2011
2011 2010
10
19 10
9
; 10
19 10
+
−
=
− +
−
A
Câu 4 Cho A =
4
1 +
−
n n
a) Tìm n nguyên để A là một phân số
b) Tìm n nguyên để A là một số nguyên
Câu 5: Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB
a) Tính số đo mỗi góc
b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC Tính số đo góc AOD
c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?
Đáp án Câu 1
a) (1,5 đ)
A = -1.1.(-1).1…(-1).1(-1) = -1
b) (1,5 đ)
B = 70.(
56
13
+
72
13
+
90
13
) = 70.13.(
8 7
1
+
9 8
1
+
10 9 1
)
Trang 10= 70.13.(
7
1
-
10
1
) = 39
c) (1,5 đ)
Đặt
b
a
3
2
=
c
b
4
3
=
d
c
5
4
=
a
d
2
5
= k
Ta có
b
a
3
2
c
b
4
3
d
c
5
4
a
d
2
5
= k4 => k4 = 1 k = 1
C =
b
a
3
2
+
c
b
4
3
+
d
c
5
4
+
a
d
2
5
= 4
Câu 2
a) (2,0 đ)
2
1
+
x
=
1
8 +
x (x + 1)
2= 16 = (4)2
+) x + 1 = 4 => x = 3
+) x + 1 = - 4 => x = -5 (loại)
Vậy x = 3
b) (1,5 đ)
x : (
2
1
9 -
2
3
) =
11
8 9
8 6 , 1
11
2 9
2 4 , 0
− +
− +
x :(
2
3 2
19 − ) =
− + 11
2 9
2 4 , 0 4
11
2 9
2 4 , 0
4
1
8x =
=> x = 2
Câu 3
a) (1,5 đ)
Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1
Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho 4 và 9
34x5y chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y 9 => 12 + x + y 9 (1)
34x5y chia hết cho 4 khi 5y4 => y = 2 hoặc y = 6
Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x 9 => x = 4
Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x 9 => x = 0 hoặc x = 9
Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6)
b) (1,5 đ)
Ta có 20109 192011 20109 102011 20119
Trang 11Ta thấy 102011 102010
=> Vậy A > B
Câu 4
a) (1,0 đ)
A =
4
1 +
−
n
n
là phân số khi n + 4 0 => n - 4
b) (2,0 đ)
A =
4
1 +
−
n
n
=
4
5 1 4
5 4
+
−
= +
− +
n n
n
Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên 5 n + 4 hay n + 4 Ư(5)
Lập luận tìm ra được n = -9, -5, -3, 1
Câu 5
a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800
Mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800
Do đó: AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC = 5 300 = 1500
b)Vì OD là tia phân giác của góc BOC nên BOD = DOC =
2
1
BOC = 750
Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800
Do đó AOD =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050
c) Tất cả có 2010 tia phân biệt Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc Có
2010 tia nên tạo thành 2010.2009góc, nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần Vậy có tất cả
2
2009
.
2010
=2 019 045 góc
Trang 12Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí