Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật có, điểm thuộc vào đường thẳng có phương trình:.. Đường thẳng đi qua và trung điểm của đoạn có phương trình:.[r]
Trang 1Trường THPT Nguyễn Duy Thì
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017
ĐỀ THI MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1(3 điểm): Cho hàm số: (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại sao cho ,
với
Câu 2 (2 điểm):
phương trình:
2
Giải phương trình:
Câu 3(1 điểm):
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa
độ , cho hình chữ nhật có, điểm thuộc vào đường thẳng có phương trình: Đường thẳng
đi qua và trung điểm của đoạn có phương trình: Tìm tọa độ của và , biết điểm có
hoành độ dương
Câu 4 (2 điểm): Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, tam giác đều cạnh và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng
1 Tính thể tích khối chóp theo
2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo
Câu 5(1 điểm) : Cho là ba số dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Trường THPT Nguyễn Duy Thì
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN
1 Cho hàm số: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
1,5
2
x y x
( )C,
A B2
AB I(2,2) IB
2
( , )
2
x y
x y
sin 2 3tan 2 sin 4
2 tan 2 sin 2
Oxy
x y AB D
3x 4y C B B 23 0
S ABCD ABCD
2
x y x
Trang 2biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
TXĐ:
phương trình
đường TCN: y = 2
phương trình đường
TCĐ: x = 2
0,5
Hàm số nghịch biến
trên từng khoảng xác
định
Hàm số không có cực trị
0,25
Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2)
Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0)
Đồ thị:
0,5
2 Viết phương trình tiếp
\ 2
D R
x
y
/
2
1 0 2
x
x
y’
y
∞
+∞
2
2
2
Trang 3tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A,
B sao cho , với I(2;2).
Gọi
PTTT của (C) tại M:
0,55
Do và tam giác AIB vuông
tại I IA = IB nên hệ số
góc của tiếp tuyến k = 1
hoặc k = -1 vì nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = -1
0,5
có hai phương trình tiếp tuyến:
;
0,25
2 1 Giải hệ
phương
trình:
1,0
Pt(1)
0,25
Hệ đã cho tương
đương:
Vậy hệ phương
trình có 2 nghiệm:
0,25
Pt tương đương:
0,25 Nghiệm thỏa mãn (*)
Phương trình có 2 họ
nghiệm:
0,25
3 Trong mặt phẳng với hệ
trục tọa độ , cho hình chữ
nhật có , điểm thuộc vào đường thẳng có phương trình: Đường
thẳng đi qua và trung điểm của đoạn có phương trình: Tìm tọa độ
của và , biết điểm có hoành độ dương.
1,0
Gọi , M là trung điểm AB, I
là giao điểm của AC và d2:
3x – 4y – 23 = 0
Ta có đồng
0,25
0 0 0
2
x
x
2
1
AB 2IB
/
2
1 0 2
y x
0 2
0 0
1 1
1
3 1
x x x
6
yx
2
, 2
x y
x y
2
yx
1 2 1 2
x y
x y
2
2 2
2
4
2
xy
1
3
sin 2 3tan 2 sin 4
2 tan 2 sin 2
cos 2 0 tan 2 sin 2 0
x
3sin 2xtan 2xsin 4x0
3sin 2 cos 2 sin 2 sin 4 cos 2 0 cos 2 1 sin 2 sin 4 0
2 cos 2 1
cos 2 1 0
sin 2 0
1 cos 2
x x
3
3
x k
Oxy ABCD(5, 7)
x y AB D
3x 4y C B B 23 0
; 4 1
AIM
Trang 4dạng
Mà nên ta có:
4 1 Cho hình chóp có đáy là
hình chữ nhật, tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng
1. Tính thể tích khối chóp theo
1,0
H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD
Ta có:
0,25 Góc giữa (SCD) và mặt đáy
0,25
2 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo 1,0
Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ
đường thẳng đi qua H , d và cắt d tại J, cắt BD tại I trong
(SHI) kẻ HK vuông góc với SI tại K
Khi đó:
0,25
Ta có đồng
Xét vuông tại H,
ta có:
Vậy
0,5
5 Cho là ba số duơng Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1,0
2
c
2
1 1
4
5
t
t
( 3; 3) ( )
33 21
;
33 21
5 5
B B
a
0
60
S ABCD
(ABCD.SCD SAB a )
S ABCD
2
a
SH
0 60
SMH
0 tan 60 2
.
S ABCD
V
BD SA, I S d,( , ) 2 H S d,( , ) 2 H SBD,( ) 2
BIH
BAD
10
IH
SHI
8
a HK
3 4
BD SA
a
, ,
a b c
1
P
Trang 50,25 Vậy
=
với
0,25
Vậy giá trị lớn nhất
của khi
0,25
a b c
P
3
( )
4 2
4
1( ) 2
t
f’(t)
f(t)
0
-1/4
3
1 1
a b c
c
1 4
P