30 câu trắc nghiệm Cực trị hình học không gian có lời giải chi tiết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=4,SC=6 và mặt bên (SAD) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy5. Tính thể tích lớn nhất V.max của khối c[r]

CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Câu 1 Cho hình chóp S.ABC có SA=a, SBa 2;SCa 3 Tính thể tích lớn nhất V.max của khối chóp đã cho

V a B

3 max

6 2

a

3 max

6 3

a

3 max

6 6

a

Câu 2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có độ dài đường chéo AC ' 18 Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp

đã cho Tìm giá trị lớn nhất S.max của S

A Smax36 3 B Smax18 3 C Smax18 D Smax36

Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=4, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC=6 Tính thể tích lớn nhất V.max của khối chóp đã cho

max

40 3

3

3

Câu 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SA=SB=SC=1 Tính thể tích lớn nhất V.max của khối chóp

đã cho

max

1

6

12

12

12

Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD=4 Các cạnh bên bằng nhau và bằng 6 Tìm thể tích lớn nhất V.max của khối chóp đã cho

A max 130

3

3

3

3

Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng 1; SO vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SC=1 Tính thể tích lớn nhất V.max của khối chóp đã cho

A max 2 3

9

V  B max 2 3

3

27

27

Câu 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD=4a Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng

6

a Tính thể tích lớn nhất V.max của khối chóp đã cho

3 max

8 3

a

max

4 6 3

Câu 8 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C,AB=2 Cạnh bên SA=1 và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính thể tích lớn nhất V.max của khối chóp đã cho

max

1 3

4

12

6

Biết SC=1 tính thể tích lớn nhất V.max của khối chóp đã cho

A max 3

12

V  B max 2

12

V  C max 2 3

27

27

Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB=1 Các cạnh bên SA=SB=SC=1 Tính thể tích lớn nhất V.max của khối chóp đã cho

max

5 8

4

3

3

Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=y (y>0) và vuông góc với mặt đáy(ABCD) Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM=x (0<x<a) Tính thể tích lớn nhất V.max của khối chóp S.ABCM biết

A

3 max

3 3

a

3 max

3 8

a

3 max

3 24

a

3 max

8

a

Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=4,SC=6 và mặt bên (SAD) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích lớn nhất V.max của khối chóp đã cho

A max 40

3

3

Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có SA=x 0 x 3, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1 Tính thể tích lớn nhất V.max của khối chóp đã cho

A max 1

4

8

12

16

Câu 14 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB=x và các cạnh còn lại đều bằng 2 3 Tìm x

để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất

3 2

x  B x  6 C x 2 3 D x  14

Câu 15 Trên ba tia Ox,Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các điểm A,B,C sao cho OAa OB, b OC,  c Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA=OB+OC Tính thể tích lớn nhất V.max của khối tứ diện OABC

A

3

6

a

3

8

a

24

a

3

32

a

Câu 16 Cho tứ diện ABC có SA,AB,AC đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh BC=a, SB=b,SC=c Tính thể tích lớn nhất V.max khối tứ diện đã cho

A max 2

4

abc

V  B max 2

8

abc

12

abc

24

abc

Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a và vuông góc với mặt đáy (ABCD) Trên SB,SD lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho SM m0,SN  n 0

SB SD Tính thể tích lớn nhất V.max của khối chóp S.AMN biết 2 2

2m 3n  1

A

3

6

a

3 max

6 72

a

3 max

3 24

a

3

48

a

Câu 18 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình vuông Biết tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng 32 Tính thể tích lớn nhất V.max của khối hộp đã cho

A max 56 3

9

V  B max 80 3

9

9

9

Câu 19 Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác đều Khi diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu?

3

6 V

Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có SAx0 x 3, tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1 Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất?

A 3

3

2

2

2

x 

Câu 21 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,SA vuông góc với

đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3 Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC), tính cosa khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất

A cos 1

3

3

  C cos 2

2

  D cos 2

3

 

Câu 22 Cho khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2,

90

SABSCB Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S ABC có thể tích nhỏ nhất

A 10

2

a

AB  ABa 3 C AB2 a D AB3a 5

Câu 23 Cho tam giác OAB đều cạnh a Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng OAB lấy điểm M

sao cho OMx Gọi , E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB Gọi N là giao điểm của EF và d Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất

A xa 2 2

2

a

12

a

2

a

x 

Câu 24 Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AC 2 Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng ABC lấy các điểm M N, khác phía so với mặt phẳng ABC sao cho AM AN  1 Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện

MNBC

A min 1

3

6

12

3

Câu 25 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại ,C SAAB2 Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S AHK

2 6

6

3

3

Câu 26 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có ABx AD, 3, góc giữa đường thẳng A C và mặt phẳng

ABB A  bằng 0

30 Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất

A 3 15

5

x  3 6

2

2

5

x 

Câu 27 Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 Tính thể tích lớn nhất

max

V của khối hộp chữ nhật đã cho

A Vmax16 2 B Vmax 12 Vmax8 2 D Vmax6 6

Câu 28* Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là , , a b c Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên Biết rằng thể tích hình lập phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật Gọi S là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật Tìm giá trị lớn nhất Smax của S

A max 1

10

5

5

5

Câu 29* Cho hình chóp S ABC có SA1, SB2, SC Gọi 3 G là trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng   đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh SA SB SC, , lần lượt tại M N P, , Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức

2 2 2

T

A min 2

7

7

7

Câu 30* Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V Gọi M là trung điểm của cạnh SA N,

là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB; mặt phẳng   di động qua các điểm M N, và cắt các cạnh SC SD, lần lượt tại hai điểm phân biệt K Q, Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S MNKQ

A max

2

V

3

V

4

V

3

V

CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Câu 1 Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng SBCAH SBC

Ta có

 AHAS

Dấu '''' xảy ra khi ASSBC

SBC

S  SB SC BSC SB SC

Dấu '''' xảy ra khi SBSC

V S AH  SB SC AS   SA SB SC



Dấu '''' xảy ra khi SA SB SC, , đôi một vuông góc với nhau

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là

3 max

a

V  SA SB SC Chọn D

Câu 2 Gọi , , a b c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật

Khi đó Stp2abbcca

Theo giả thiết ta có 2 2 2 2

' 18

Từ bất đẳng thức 2 2 2

a b c abbcca, suy ra Stp2abbcca2.1836

Dấu '''' xảy ra    a b c 6 Chọn D

Câu 3 Đặt cạnh BC  x 0

Tam giác vuông ABC, có 2 2

16

Tam giác vuông SAC, có 2 2 2

SA SC AC  x

Diện tích hình chữ nhật S ABCDAB BC 4 x

.

S ABCD ABCD

Áp dụng BĐT Côsi, ta có

2

6

x

4

S

C D

C

B S

A

H

Suy ra . 4.10 40.

S ABCD

Dấu "" xảy ra 2

     Vậy max 40

3

V  Chọn A

Cách 2 Xét hàm số   4 2

20 3

f x  x x trên 0;2 5 

Câu 4 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC Vì S ABC là hình chóp đều SOABC

Đặt AB  Diện tích tam giác đều x 0

2

3 4

ABC

x

S 

BC AM  OA AM 

Tam giác vuông SOA, có

2

3

x

Khi đó

.

S ABC ABC

Xét hàm   1 2 2

12

f x  x x trên 0; 3, ta được

     

0; 3

1

6

f x  f  Chọn A

Cách 2 Ta có 2 2 1 2 2  2 1 2 2 6 2 2 3

3



Câu 5 Gọi OACBD Vì SASBSCSD suy ra hình chiếu của S trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy SOABCD

Đặt AB  x 0

Tam giác vuông ABC, có

16

AC  AB BC  x 

Tam giác vuông SOA, có

Khi đó

2

.4

S ABCD ABCD

x

Dấu '''' xảy ra 2

x x  x Suy ra . 128

3

S ABCD

V  Chọn B

O

6

D C

S

4

x

S

A

B

C

M

O

Câu 6 Đặt OAOCx

Tam giác vuông AOD, có

OD AD OA  x

2 1

ABCD

Tam giác vuông SOC, có

SO SC OC  x

Thể tích khối chóp . 1

3

S ABCD ABCD

 

Xét hàm    2

1

f x x x trên  0;1 , ta được

   

0;1

3 3 3

f x f 

 

 

Suy ra max 4 3

27

V  Chọn D

Cách 2 Áp dụng BDT Côsi, ta có

 2 2 2 21 21 2 2 2 2 3



Câu 7 Do SASBSCSDa 6 nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật Gọi H ACBD, suy ra SH ABCD

Đặt AB  Ta có x 0

16

AC AD AB  x  a

Tam giác vuông SHA, có

S ABCD ABCD

O

1

D C

S

1

x

H

D

C B

A S

Câu 8 Đặt AC  x 0.

CB AB CA  x

Diện tích tam giác

2

ABC

.

S ABC ABC

   

  Chọn A

Câu 9 Giả sử CACB x 0

SA SC AC  x

Diện tích tam giác 1 1 2

ABC

S  CA CB x

.

Xét hàm   1 2 2

1 6

f x  x x trên  0;1 , ta được

   

0;1

max

f x f

 





  Chọn D

Cách 2 Ta có 2 2 1 2 2  2 1 2 2 2 2 2 3 2 3



Câu 10 Gọi I là trung điểm của BC Suy ra IAIBICI là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Theo giả thiết, ta có SASBSC suy ra I là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABCSI ABC

Đặt AC x 0 Suy ra 2 2 2

1

BC AB AC  x 

Tam giác vuông SBI, có

2

2

x

Diện tích tam giác vuông 1

ABC

x

S  AB AC

Khi đó

2

S ABC ABC

2

C

B A

S

1

x x

S

C

I

C B

A S

Câu 11 Từ 2 2 2 2 2

ABCM

S   AB   a

   

Thể tích khối chóp . 1

3

S ABCM ABCM

1

  



Xét hàm     2 2

f x  ax a x trên 0;a, ta được

0;

3 3 max

a

f x  f   

Suy ra

3 max

3 8

a

V  Chọn B

Câu 12 Gọi H là trung điểm của ADSH AD

Mà SAD  ABCDSH ABCD

Giả sử AD  x 0

Suy ra

2

16

4

x

Tam giác vuông SHC, có

2

20 4

x

S ABCD ABCD

2

x

Câu 13 Ta có tam giác ABC và SBC là những tam giác đều cạnh bằng 1

Gọi N là trung điểm BC Trong tam giác SAN, kẻ SH AN  1

Ta có

● SN là đường cao của tam giác đều 3

2

SBCSN

● BC AN BC SAN BC SH

 

a a x

y

M

B A

S

S

C D

H

Từ  1 và  2 , suy ra SH ABC

Diện tích tam giác đều ABC là 3

4

ABC

S 

Khi đó . 1

3

S ABC ABC

3SABC SN 3 4 2 8

Dấu '''' xảy ra HN Chọn B

Câu 14 Hình vẽ

Cách làm tương tự như bài trên

Tam giác BCD đều cạnh bằng 2 3BN3

ABCD

V lớn nhất H N Khi đó ANB vuông

Trong tam giác vuông cân ANB, có

2 3 2

ABBN 

Chọn A

Câu 15 Từ giả thiết ta có a  b c

OABC



 

Dấu '''' xảy ra

2

a

b c

   Chọn C

Câu 16 Đặt ABx AC, y AS, z Ta có





  



Khi đó 2 2 2 2 

xy yz zx xyz

V V 

 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

V

Dấu '''' xảy ra khi x  y z    Chọn D a b c

N H

C

B A

S

x

N H

C

D B

A

x

c b

a

z

y

x

S

A

B

C

Câu 17 Thể tích khối chóp S ABD là

3

6

S ABD

a

Ta có .

.

S AMN

S ABD

mn

V  SB SD 

3

6

S AMN S ABD

mna

Mặt khác

2 3 2 3 1

Dấu '''' xảy ra



      Suy ra

3

6 72

S AMN

a

V  Chọn B

Câu 18 Đặt a là độ dài cạnh của hình vuông đáy, b là chiều cao của khối hộp với , a b 0

2

a



Do b 0 16 a 0 a 4

a

     

Khi đó thể tích của khối hộp 2 1 16 1 3

a



     

Xét hàm   1 3

8 2

f a   a  a trên 0; 4, ta được

   

0;4

4 64 3

9 3

f a  f 



 

  Chọn D

Câu 19 Gọi h 0 là chiều cao lăng trụ; a 0 là độ dài cạnh đáy

Theo giả thiết ta có

2

a

Diện tích toàn phần của lăng trụ:

2

3

a

Áp dụng BĐT Côsi, ta có

2 toan phan

2

S

a

3

V

Dấu '''' xảy ra khi

2

3

4 2

Câu 20 Gọi O là tâm của hình thoi ABCDOAOC  1

Theo bài ra, ta có SBD CBD OSOC  2

N S

A

B

C D

M

Từ  1 và  2 , ta có 1

2

OSOAOC AC SAC vuông tại S 2

1

Suy ra

2

1 2

x

2

2

x

Diện tích hình thoi  2  2

1 3

2

ABCD

Ta có SBSC SD , suy ra hình chiếu vuông góc 1 H của đỉnh S trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCDHAC

Trong tam giác vuông SAC, ta có

1

SH

2

1 3

S ABCD

x



Suy ra . 1

4

S ABCD

V  Dấu '''' xảy ra 2 6

2

     Chọn C

Câu 21 Gọi M là trung điểm của BC , kẻ AH SM HSM  1

Tam giác ABC cân suy ra BCAM Mà SAABCSABC

Suy ra BC SAMAH BC  2

Từ  1 và  2 , suy ra AH SBC nên d A SBC ,   AH 3

Tam giác vuông AMH, có 3

sin

AM





Tam giác vuông SAM, có tan 3

cos



Tam giác vuông cân ABC, BC2AM

ABC



O

S

A B

H

H

C

B A

S

M

Khi đó

 2 





Xét hàm    2 

1 cos cos

f x   x x, ta được   2

3 3

f x  Suy ra 27 3

2

V 

Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi cos 3

3

  Chọn B

Cách 2 Đặt ABACx SA;  Khi đó y 2

.

1 6

S ABC

Vì AB AC AS, , đôi một vuông góc nên

2

SABC

x y V  x y

Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi 3 3 cos 3

3

x y  

Câu 22 Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình vuông

90

AB AD

Tương tự, ta cũng có BCSD Từ đó suy ra SDABDC

Kẻ DH SC H SCDH SBC

Khi đó d A SBC , d D SBC , DH

Đặt AB  x 0

Trong tam giác vuông SDC, có

 

2

Suy ra

2 2

ax SD





Thể tích khối chóp

S ABC S ABCD

Xét hàm   3

2

x

f x



 trên a 2;, ta được

2 ;

a

Chọn B

H

D S

C

Câu 23 Do tam giác OAB đều cạnh aF là trung điểm

2

a

OBOF 

Ta có AF OB AF MOB AF MB

 



Mặt khác, MBAE

Suy ra MBAEFMBEF

Suy ra OBM ∽ONF nên

2

2

ON

OM OF   OM  x

Ta có V ABMN V ABOMV ABON

x



Đẳng thức xảy ra khi

2

2

x

   Chọn B

Câu 24 Đặt AM x AN,  suy ra y AM AN x y 1

Tam giác vuông ABC, có 2

2

AC

ABBC 

Diện tích tam giác vuông

2

1

2

ABC

AB

3

  Cosi

Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi x y 1 Chọn D

F E

N

M

B

A O

C A

B M

N

Câu 25 Đặt ACx 0 x 2 

Tam giác vuông ABC, có 2 2 2

4

BC  AB AC  x Tam giác SAB cân tại A, có đường cao AH suy ra H là

trung điểm của SB nên 1

2

SH

Tam giác vuông SAC, có

2 2

4

4

SK SA

SA SK SC



Ta có .

.

S AHK

S ABC

V SB SC  x x

2



Xét hàm   2 24 2

f x

x





 trên 0;2, ta được

   

0;2

6 3

f x  f 

 

  Chọn A

Câu 26 Vì ABCD A B C D     là hình hộp chữ nhật suy ra BCABB A 

Khi đó A B  là hình chiếu của A C trên mặt phẳng ABB A 

30 A C ABB A ,    A C A B ,  CA B

Đặt BB h h 0 

Tam giác vuông A B B  , có 2 2 2 2

A B  A B  BB  x h

Tam giác vuông A BC , có  0 2 2

3

Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD A B C D     là VBB S ABCD3xh

Áp dụng BĐT Côsi, ta có

max

x h



K

H S

B

h

x

3

C D

C' D'